Faktorisieren quadratischer Terme (a=1)

Faktorisieren quadratischer Terme (a=1) Übung

• Ergänze die Schritte der Faktorisierung von quadratischen Termen.

  Tipps

  Manchmal steht vor einer Variablen wie $x$ oder $x^2$ keine Zahl. Das bedeutet, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:

  $x^2~=~1x^2$

  Unser Term sieht eigentlich so aus:

  $\begin{array}{rrrrrr} &x^2&+&6x&-&27 \\ =&1x^2&+&6x&-&27 \end{array}$

  Zum Vereinfachen können wir einen gemeinsamen Faktor ausklammern. Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $(2x+2y)=(x+y)\cdot2$

  Lösung

  Zuerst einmal betrachten wir die Formel der Schatztruhe und erstellen damit die allgemeine Form von quadratischen Termen:

  $x^2+6x-27$
  $=ax^2+bx+c$

  $a$, $b$ und $c$ stehen hier für Zahlenwerte.

  Jetzt brauchen wir die allgemeine Form von Binomen und wir formen sie so um:

  $(x+m)\cdot(x+n)\quad\vert \text{~Multiplizieren}$
  $=x^2+nx+mx+mn$
  $=x^2+(n+m)\cdot x+mn$

  Wir vergleichen die umgeformte Formel für Binome mit der allgemeinen Form von quadratischen Gleichungen:

  $\begin{array}{llcclll} =&x^2 &+ &(n+m)~&x &+ &mn \\ =&x^2 &+ &b &x &+ &c \end{array}$

  Wir erkennen:

  $b=(n+m)$, $c=mn$

• Ergänze die Faktorisierung des Terms.

  Tipps

  Erinnere dich, die allgemeine Form von quadratischen Termen sieht so aus:

  $ax^2+bx+c$

  Steht vor einer Variablen keine Zahl, bedeutet dies, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:

  $y=1y$

  Lösung

  Bestimme $a$, $b$ und $c$ bei $1x^2+6x-27$:

  $a=1$
  $b=6$
  $c=-27$

  Setze die Werte von $b$ und $c$ in die allgemeine Form von Binomen ein:

  $b=n+m$
  $\rightarrow$ $6=n+m$

  $c=m\cdot n$
  $\rightarrow$ $-27~=m\cdot n$

  Durch Ausprobieren wissen wir, dass folgende Zahlen für $m$ und $n$ passen:

  $\begin{array}{llcl} c&=&m &\cdot &n \\ -27&=&m &\cdot &n \\ -27&=&-9 &\cdot &3 \\ -27&=&9 &\cdot &(-3) \end{array}$

  Das sind mögliche Codekombinationen von $m$ und $n$:

  $m=-9$ mit $n=3$ und $m=9$ mit $n=-3$

  Diese Werte für $m$ und $n$ setzen wir nun hier ein:

  $\begin{array}{llcl} (n+m)&=&b \\ (n+m)&=&6 \end{array}$

  Wir überprüfen, welche der beiden Wertekombinationen $6$ ergibt:

  $-9+3=-6$
  $9+(-3)=6$.

  Diese Werte für $m$ und $n$ knacken also den Code:

  $m=9$, $n=-3$

  Und so lautet der fertige Code:

  $(x-3)\cdot(x+9)$

  Geschafft!

• Bestimme die Werte der quadratischen Terme.

  Tipps

  Vergleiche mit diesem Beispiel:

  $5x^2-x+8$

  $\begin{array}{rl} \Rightarrow &a=5 \\ &b=-1 \\ &c=8 \end{array}$

  Erinnere dich daran, dass die allgemeine Form so lautet:

  $ax^2+bx+c$

  Lösung

  Die allgemeine Form von quadratischen Termen lautet $ax^2+bx+c$.

  • Der Wert, der vor $x^2$ steht, ist $a$.
  • Der Wert, der vor $x$ steht, ist $b$.
  • Der Wert, der kein $x$ oder $x^2$ hat, ist $c$.

  • $1x^2+9x+43$

  $\begin{align} \Rightarrow~ &a=1 \\ &b=9 \\ &c=43 \end{align}$

  • $9x^2+43x+1$

  $\begin{align} \Rightarrow~ &a=9 \\ &b=43 \\ &c=1 \end{align}$

  • $43x^2+1x+9$

  $\begin{align} \Rightarrow~ &a=43 \\ &b=1 \\ &c=9 \end{align}$

• Berechne die Binome des quadratischen Terms.

  Tipps

  Beachte: Gibt es ein negatives Vorzeichen, so musst du dieses auch in die Lücke schreiben, z. B. $-18$.

  Erinnere dich: Steht vor einer Variablen wie $x$ oder $x^2$ keine Zahl, bedeutet das, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:

  $x=1x$

  Denke daran, dass du bei Produkten und Summen das Kommutativgesetz anwenden kannst:

  $\begin{array}{ll} &m+n &=n+m \\ &m\cdot n &=n\cdot m \end{array}$

  Lösung

  Bestimme $a$, $b$ und $c$ bei $x^2+3x-18$:

  $a=1$
  $b=3$
  $c=-18$

  Setze die Werte von $b$ und $c$ in die allgemeine Form von Binomen ein:

  $b~=n+m$
  $3~=n+m$

  $\quad c~=m\cdot n$
  $-18=m\cdot n$

  Durch Ausprobieren wissen wir, dass folgende Zahlen für $m$ und $n$ passen:

  $\quad\, c=m\cdot n$
  $-18=m~\cdot n$
  $-18=~~\,1~\cdot-18$
  $-18=-1~\cdot~~\,18$
  $-18=~~\,2~\cdot-9$
  $-18=-2~\cdot~~\,9$
  $-18=~~\,3~\cdot-6$
  $-18=-3~\cdot~~\,6$

  Diese sechs möglichen Kombinationen von $m$ und $n$ setzen wir nun in $b=n+m$ ein:

  $b=n+m$
  $3=n+m$

  Dabei passt nur eine Zahlenkombination, die zusammen $3$ ergibt:

  $3=-3+6$

  So sieht also die Kombination aus Binomen aus, die den Briefkasten öffnet:

  $(x-3)\cdot(x+6)$

• Gib korrekte Aussagen über das Faktorisieren quadratischer Terme wieder.

  Tipps

  Ein Term, der keine konkreten Zahlenwerte besitzt, hat die allgemeine Form.

  Die Vorsilbe „Bi-“ bedeutet in der Fachsprache „zweifach“, „zweimal“.

  Lösung

  Dies sind die richtigen Merksätze für die Erklärung des Käpt’ns:

  • „Faktorisieren“ heißt, dass man herausfindet, welche beiden Binome man multiplizieren muss, damit der gegebene Term herauskommt.

  • $x^2 + 6x -27$ ist ein quadratischer Term mit konkreten Werten. Man nennt ihn quadratisch, weil er ein $x^2$ (gesprochen „x Quadrat“) enthält.

  • Und $ax^2+bx+c$ ist die allgemeine Form eines quadratischen Terms, auch genannt Polynom zweiten Grades.

  • „Binom“ heißt, dass ein Term genau zwei Glieder hat. Der Term $x+m$ hat die zwei Glieder $x$ und $m$.

  • Und so sieht es aus, wenn Binome multipliziert werden: $(x+m) \cdot (x+n)$.

• Bestimme, welche Ausklammerung zum Term passt.

  Tipps

  Vergleiche:

  $x^2+2x=(x+2)\cdot x$

  Beide Teile des Binoms werden mit $x$ multipliziert:

  $\begin{array}{lcccc} (x+2)\cdot x&=&(x\cdot x)&+&(2\cdot x) \\ \rightarrow&=&x^2&+&2x \end{array}$

  $x$ kann auch weiter als bis $x^2$ gesteigert werden. Vergleiche:

  $x^2\cdot x^2=x^{2+2}=x^4$

  Beachte:

  $x=x^1$

  Lösung

  Folgende Ausklammerungen passen zum jeweils angegebenen Term:

  1. Term

  $2x+5x^2=(2+5x)\cdot x$

  2. Term

  $3x+x=(3+1)\cdot x$

  Denn erinnere dich:

  $x=1x$

  3. Term

  $8x-2x^2=(8-2x)\cdot x\quad$ und
  $\quad\quad 8x-2x^2=(-2x+8)\cdot x$

  Denn bei Summen kannst du das Kommutativgesetz anwenden.

  4. Term

  $3x^3+3x=(3x^2+3)\cdot x$

  So wird ausgeklammert:

  $\begin{array}{llc} &3x^3&+&3x \\ =&(3x^2\cdot x)&+&(3\cdot x) \\ =&(3x^2+3)\cdot x && \end{array}$

  5. Term

  Bei der letzten Aufgabe sind ebenfalls zwei Ausklammerungen richtig. Einmal diese:

  $\quad 12x^2+6x=(12x+6)\cdot x$, $\quad$

  Und einmal diese:

  $\quad 12x^2+6x=(4x+2)\cdot 3x$

  Hier wird so ausgeklammert:

  $\begin{array}{llc} &12x^2&+&6x\\ =&(4x\cdot 3x)&+&(2\cdot 3x) \\ =&(4x+2)\cdot 3x && \end{array}$