Linearfaktorzerlegung (2)

Linearfaktorzerlegung (2) Übung

• Benenne die Formeln oder Gesetze, welche du anwenden kannst, um eine Linearfaktorzerlegung durchzuführen.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel für das Ausklammern: $x^2+3x$.

  Da der Faktor $x$ in beiden Summanden vorkommt, kannst du diesen Faktor ausklammern zu $x^2+3x=x\cdot (x+3)$.

  Die zweite binomische Formel lautet $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

  Der Satz des Pythagoras besagt: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

  Oft wird dies, nicht ganz korrekt, abgekürzt zu $a^2+b^2=c^2$.

  Lösung

  Um Polynome zu faktorisieren, kannst du verschiedene Rechenregeln verwenden.

  Distributivgesetz

  Du kannst ausklammern. Das bedeutet, du verwendest das Distributivgesetz $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

  Potenzgesetz

  Potenzen $x^n$ kannst du so als Produkt von Linearfaktoren schreiben: $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot ...\cdot x}_{n\text{-mal}}$.

  Binomische Formeln

  Oft helfen dir auch die binomischen Formeln weiter.

  Erste binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ Zweite binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ Dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Polynomdivision

  Was tust du, wenn alle zuvor genannten Möglichkeiten nicht funktionieren? Du schaust, ob du ein $x_0$ findest, für welches das Polynom den Wert $0$ annimmt. Dann führst du eine Polynomdivision mit dem Polynom $:(x-x_0)$ durch. Dadurch erhältst du ein Polynom von einem um $1$ verringerten Grad. Vielleicht kannst du nun eine der oben genannten Möglichkeiten nutzen.

• Beschreibe, wie du das Polynom $x^3+2x^2$ in Linearfaktoren zerlegen kannst.

  Tipps

  Hier siehst du das Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

  Dies kannst du auch von rechts nach links anwenden. Dies entspricht dem Ausklammern.

  Du kannst jede Potenz in $x$, also $x^n$, als Produkt von linearen Faktoren schreiben: $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot ...\cdot x}_{n\text{-mal}}$.

  Beachte, dass bei einer Linearfaktorzerlegung jeder Faktor linear sein muss.

  Lösung

  Wir schauen uns das Polynom $x^3+2x^2$ oder, alternativ, die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3+2x^2$ an. Du erkennst, dass der Funktionsterm gerade das obige Polynom ist.

  Da der Faktor $x^2$ in beiden Summanden vorkommt, kannst du diesen ausklammern. Du verwendest also das Distributivgesetz: $f(x)=x^2(x+2)$.

  Der Faktor $x+2$ ist bereits ein Linearfaktor. Der andere Faktor $x^2$ ist sicher kein Linearfaktor. Warum ist das so? Die Variable $x$ wird hier quadriert.

  Du kannst nun das Potenzgesetz $x^2=x\cdot x$ nutzen, um die Funktion weiter umzuformen zu $f(x)=x\cdot x\cdot (x+2)$. Nun ist jeder der Faktoren ein Linearfaktor.

  Du hast also die Linearfaktorzerlegung von $f(x)=x^3+2x$ gefunden. Diese ist gegeben durch $f(x)=x\cdot x\cdot(x+2)$.

• Ermittle eine Linearfaktorzerlegung zu $f(x)=x^3-6x^2+9x$

  Tipps

  Hier siehst du die binomischen Formeln.

  Erste binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ Zweite binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ Dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Beachte: Es darf kein Term mehr quadratisch oder kubisch oder mit noch höherer Potenz vorliegen.

  Das Potenzgesetz lautet: $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot ...\cdot x}_{n\text{-mal}}$.

  Dies gilt so auch, wenn du $x$ durch zum Beispiel $x-3$ ersetzt.

  Achte auf die Klammern.

  Lösung

  Hier siehst du Schritt für Schritt die Verwendung des Distributivgesetzes, einer binomischen Formel sowie des Potenzgesetzes. Du sollst den Funktionsterm der Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-6x^2+9x$ in Linearfaktoren zerlegen.

  Das Erste, was du dir immer überlegen kannst, ist, ob du ausklammern kannst. In diesem Beispiel kannst du $x$ ausklammern. Dies führt zu $f(x)=x\cdot (x^2-6x+9)$.

  Erkennst du die zweite binomische Formel in dem Term $x^2-6x+9$? Erinnere dich, es gilt $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Hier ist $a=x$ und $b=3$. Damit ist $f(x)=x\cdot (x-3)^2$.

  Das ist allerdings noch keine Linearfaktorzerlegung. Du musst den Faktor $(x-3)^2$ noch mit Hilfe des Potenzgesetzes schreiben als $(x-3)\cdot (x-3)$. Nun bist du fertig.

  $f(x)=x\cdot (x-3)\cdot(x-3)$ ist die gesuchte Linearfaktorzerlegung.

• Untersuche, bei welchem der Polynome eine Linearfaktorzerlegung möglich ist.

  Tipps

  Prüfe jeweils, ob du die Gleichung lösen kannst, welche du erhältst, wenn du das Polynom gleich $0$ setzt.

  Bei drei Polynomen kannst du ausklammern.

  Verwende das Potenzgesetz $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot ...\cdot x}_{n\text{-mal}}$.

  Lösung

  Die angegebenen Polynome sehen zum Teil recht ähnlich aus wie $x^2+1$. Trotzdem ist bei $4$ der $6$ Polynomen eine Linearfaktorzerlegung möglich.

  Nicht möglich ist diese bei den folgenden beiden:

  • $-x^2-1=-(x^2+1)$: Von dem Term in der Klammer weißt du bereits, dass eine Linearfaktorzerlegung nicht möglich ist.
  • $x^3+x=x(x^2+1)$: Auch hier ist eine Linearfaktorzerlegung des Terms in der Klammer nicht möglich.

  Schau dir nun die übrigen Beispiele an.

  • $x^2-1=(x+1)\cdot (x-1)$: Dies ist die dritte binomische Formel.
  • $(x+1)^2=(x+1)\cdot (x+1)$: Dies ist das Potenzgesetz.
  • $x^2+x=x\cdot (x+1)$: Dies ist das Distributivgesetz (Ausklammern).
  • $x^3-x=x\cdot (x^2-1)=x\cdot (x+1)\cdot(x-1)$: Dies ist eine Kombination von Distributivgesetz und dritter binomischer Formel.

• Gib an, warum es keine Linearfaktorzerlegung für $x^2+1$ gibt.

  Tipps

  Beachte, dass du in diesem Beispiel weder das Distributivgesetz noch das Potenzgesetz noch eine der binomischen Formeln anwenden kannst.

  Du müsstest also eine Polynomdivision durchführen. Hierfür teilst du das Polynom, also hier $x^2+1$, durch $x-x_0$. Dabei ist $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2+1$.

  Um eine Nullstelle einer Funktion zu finden, musst du die Gleichung $f(x)=0$ lösen.

  Beachte:

  • Wenn du eine beliebige Zahl quadrierst, erhältst du eine Zahl, welche größer oder gleich $0$ ist.
  • Addierst du nun $1$, erhältst du eine Zahl, welche größer oder gleich $1$ ist.

  Lösung

  Du kannst bei dem Term $x^2+1$

  • nicht ausklammern,
  • kein Potenzgesetz zum Faktorisieren und
  • auch keine binomische Formel anwenden.

  Es bleibt also nur noch die Polynomdivision. Hierfür suchst du zunächst eine Nullstelle von $f$ mit $f(x)=x^2+1$. Du musst also die Gleichung $x^2+1=0$ lösen.

  • Subtrahiere $1$. Dies führt zu $x^2=-1$.
  • Ziehe nun die Wurzel ... aber halt, die Wurzel aus einer negativen Zahl ist gar nicht definiert.

  Das bedeutet, dass die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2+1$ keine Nullstelle besitzt. Insbesondere ist eine Polynomdivision nicht möglich. Damit ist auch eine Linearfaktorzerlegung nicht möglich.

  Du siehst, es gibt nicht immer eine Linearfaktorzerlegung.

• Bestimme die Linearfaktoren der Funktion $f(x)=x^4-5x^2+4$.

  Tipps

  Die einzutragenden Zahlen stimmen paarweise überein.

  Durch die Substitution erhältst du eine quadratische Gleichung, welche du mit Hilfe der p-q-Formel lösen kannst.

  Die Lösungen der quadratischen Gleichung (in $z$) sind $z_1=1$ sowie $z_2=4$.

  Die Linearfaktoren „enthalten“ die Nullstellen.

  Hast du die Nullstellen schon berechnet? Denn jeder einzelne Linearfaktor ergibt sich so: $x-x_N$, wobei $x_N$ eine Nullstelle ist.

  Lösung

  Du kannst bei der Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-5x^2+4$ eine, genauer zwei, Polynomdivision durchführen. Dies ist zum einen recht aufwändig und zum anderen hier nicht nötig.

  Du siehst, dass der Funtionsterm $x^4-5x^2+4$ biquadratisch ist. Anstatt die Gleichung $x^4-5x^2+4=0$ zu lösen, kannst du auch $z=x^2$ ersetzen. So erhältst du die quadratische Gleichung (in $z$) $z^2-5z+4=0$. Diese kannst du mit der p-q-Formel lösen.

  $\begin{array}{rcl} z_{1,2}&=&-\frac{-5}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2-4}\\ &=&2,5\pm\sqrt{2,25}\\ z_1&=&2,5+1,5=4\\ z_2&=&2,5-1,5=1 \end{array}$

  Nun kannst du resubstituieren: $x=\pm\sqrt{z}$. Dies führt zu den folgenden Nullstellen:

  • $x_1=\sqrt 4=2$,
  • $x_2=-\sqrt 4=-2$,
  • $x_3=\sqrt 1=1$ und
  • $x_4=-\sqrt 1=-1$.

  Nun kannst du mit Hilfe dieser Nullstellen die Linearfaktorzerlegung aufschreiben. Jeder einzelne Linearfaktor ergibt sich so durch $x-x_N$, wobei $x_N$ eine Nullstelle ist.

  So erhältst du $f(x)=(x-2)\cdot (x-({-2}))\cdot (x-1)\cdot (x-({-1}))=(x-2)\cdot (x+2)\cdot(x-1)\cdot (x+1)$.