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Grundlagen zum Thema Linearfaktorzerlegung (1)
Die Linearfaktorzerlegung wird an den einen oder anderen Stellen in der Mathematik benötigt. Hier lernst du etwas über die Linearfaktorzerlegung. Dieses Thema ist recht umfassend und wird daher in zwei Teilen erklärt. In diesem ersten Teil erfährst du anhand von Beispielen, was Linearfaktoren sind, was die Linearfaktorzerlegung ist und wozu man die Linearfaktorzerlegung braucht. Dazu gibt es einen kleinen Tipp: die Nullstellen spielen eine große Rolle! Am Ende gibt es eine Zusammenfassung, in der die wichtigsten Informationen gesammelt werden. Zusätzlich gibt es einen Ausblick auf Teil 2 der Linearfaktorzerlegung.
Transkript Linearfaktorzerlegung (1)
Hallo, mein Name ist Mandy. Heute werde ich dir die Linearfaktorzerlegung erklären. Dazu werde ich dir die folgenden Fragen beantworten. 1. Was sind Linearfaktoren? 2. Was ist die Linearfaktorzerlegung? 3. Wozu braucht man die Linearfaktorzerlegung? 4. Wie führt man die Linearfaktorzerlegung durch? Und 5. Wann ist ein Zerlegen in Linearfaktoren möglich? Da das Thema nicht in ein Video passt, gibt es zwei Teile. Im ersten Teil werde ich dir die ersten drei Fragen beantworten und im zweiten Teil die letzten beiden. Bevor man die Linearfaktorzerlegung verstehen kann, ist es wichtig zu wissen, was Linearfaktoren sind. Daher lautet die Überschrift „Was sind Linearfaktoren?“. “Linearfaktoren sind diejenigen Faktoren eines Polynoms, die linear sind.” Klingt logisch oder? Aber was heißt das jetzt genau? Nehmen wir uns einfach ein paar Polynome als Beispiel. Dazu nehmen wir einmal Polynome mit Linearfaktoren und einmal Polynome ohne Linearfaktoren als Gegenbeispiele. Beispiele für Linearfaktoren sind f(x) = (x - 1)×(x + 3), g(x)=x×(2x - 5)×(1 + x) und k(x)=2×x×x. Hierbei handelt es sich ausschließlich um Polynome, die aus Linearfaktoren zusammengesetzt sind, denn jeder Faktor des Polynoms hat den Grad 1. Das heißt, der Exponent jeder Variable ist 1. Dabei ist es völlig egal, wie viele Faktoren das Polynom besitzt. So kann es einen, zwei, wie in f(x), drei, wie in g(x), und so weiter, Faktoren enthalten. Ebenso egal ist es, ob ein Koeffizient, auch Vorfaktor genannt, vor der Variablen steht, so wie bei k(x), die 2. Als Gegenbeispiel haben wir Polynome ohne Linearfaktoren, das sind zum Beispiel: b(x) = x2×(x4 - 4), h(x) = x7×(x3 + 9) und j(x) = (3 + 2x2)×x5. Hier kannst du Faktoren erkennen, die nicht linear sind. Sie enthalten Variablen, mit den Exponenten ≠ 1. So haben wir bei b(x) die Exponenten 2 und 4, bei h(x) die Exponenten 7 und 3 und bei j(x) die Exponenten 2 und 5. Lineare Faktoren und nicht-lineare Faktoren können aber auch gemischt vorkommen, wie zum Beispiel bei (x2 + 1)×(2 - x). Hier haben wir einen nicht-linearen Faktor x2 + 1, weil x den Exponenten 2 hat. Und einen linearen Faktor, 2 - x, weil x den Exponenten 1 hat. Jetzt weißt du schon mal, was Linearfaktoren sind, dann können wir uns der Linearfaktorzerlegung selbst zuwenden. Dazu klären wir zunächst, was die Linearfaktorzerlegung ist. Man spricht von einer Linearfaktorzerlegung, wenn man ein Polynom mit dem Grad größer 1, also mit Variablen mit dem Exponenten größer als 1, in lineare Faktoren zerlegt. Notieren wir also als Antwort auf die Frage „Was ist die Linearfaktorzerlegung?“: “Zerlegung eines Polynoms mit dem Grad > 1 in lineare Faktoren.” Mit dem Grad wird der höchste Exponent im Polynom bezeichnet. Nehmen wir als Beispiel f(x) = x3 + 2×x2. Es handelt sich bei diesem Polynom um ein Polynom dritten Grades, da der höchste Exponent 3 ist. Zerlegen kann man das Polynom in die Faktoren x×x×(x+2). Allesamt sind es Linearfaktoren, da der Exponent der Variablen gleich 1 ist. Zuletzt klären wir die Frage: “Wozu braucht man die Linearfaktorzerlegung?” Bei Polynomen höheren Grades weiß man oft nicht, wo die Nullstellen der entsprechenden Funktion liegen, so auch bei unserem Beispiel, f(x) = x2 + 2x2. Kannst du die Nullstellen auf Anhieb bestimmen? Nein? Ich auch nicht. Aber das kriegen wir mit der Linearfaktorzerlegung hin. Doch zuerst klären wir einmal: Was sind eigentlich nochmal Nullstellen? Nullstellen sind diejenigen x-Werte der Funktion, an denen die Funktion die x-Achse schneidet. Das heißt, an dieser Stelle ist der y-Wert des Schnittpunktes mit der x-Achse gleich 0. Und nun zurück zur Funktion f(x). Wir können deren Nullstellen bestimmen, indem wir dieses Polynom in Linearfaktoren zerlegen. Für diese Funktion ergeben sich die Linearfaktoren x, x und x+2. Wie ich darauf gekommen bin, lernst du in Teil zwei. Zur Berechnung der Nullstellen setzen wir das Polynom gleich 0, also 0=x×x×(x + 2). Wir erinnern uns weiterhin daran, dass ein Produkt 0 wird, wenn einer der Faktoren 0 wird. Wir müssen uns also überlegen, für welche x-Werte die einzelnen Faktoren 0 werden. Beginnen wir links. Die ersten beiden Faktoren stehen allein und das Polynom wird 0, wenn die Faktoren selbst 0 sind. Also x1 = 0 und x2 = 0, der letzte Faktor ist x+2. Dieser wird 0, wenn x = -2 ist, denn wenn wir die Gleichung x + 2 = 0 nach x umstellen, erhalten wir x = -2. Somit erhalten wir noch die Nullstelle x3 = -2. Da die erste Nullstelle doppelt ist, haben wir insgesamt zwei verschiedene Nullstellen. Stimmen denn die Nullstellen, die wir bestimmt haben? Zeichnen wir doch einfach mal die Funktion, um zu überprüfen, ob wir die richtigen Nullstellen gefunden haben. Ich habe mir dazu eine Wertetabelle angelegt und habe beliebige x-Werte gewählt. Diese habe ich in die Funktionsgleichung eingesetzt und den y-Wert berechnet. Damit erhalte ich für x = -2 den y-Wert 0, für x = 1 die 1, für x = 0 die 0 und für x = 1 die 3. Die ermittelten Punkte trage ich in das Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte. Ich erhalte den Graphen der Funktion f(x) mit den Nullstellen x1/2 = 0 und x3 = -2. Es gibt auch nicht mehr als diese Nullstellen, da die Funktion den Grad 3 besitzt und sie daher maximal drei Nullstellen besitzen kann. Wir sehen, dass diese Nullstellen mit den ermittelten Nullstellen aus der Linearfaktorzerlegung übereinstimmen. Wir können zwar nicht sehen, dass 0 eine doppelte Nullstelle ist, aber das interessiert uns an dieser Stelle auch nicht. Du siehst, dass das Zerlegen in Linearfaktoren ein schneller Weg ist, um die Nullstellen von Funktionen höheren Grades zu bestimmen. Das konntest du ja mit deinem bisherigen Wissen noch nicht. Außerdem geht dies oft schneller als zum Beispiel die pq-Formel bei quadratischen Gleichungen anzuwenden. Und nun kommen wir zur Zusammenfassung: Du hast heute schon viel über die Linearfaktorzerlegung gelernt. Zuerst hast du erfahren, was Linearfaktoren sind. “Linearfaktoren sind lineare Faktoren, deren Variablen den Exponenten 1 besitzen.” Bei der Linearfaktorzerlegung zerlegt man Polynome mit dem Grad > 1 in Linearfaktoren mit dem Exponenten = 1. Die Linearfaktorzerlegung erleichtert das Bestimmen der Nullstellen von Polynomen höheren Grades und bietet manchmal eine Alternative zu der pq-Formel. Nun gebe ich euch noch einen kurzen Ausblick auf Teil zwei der Linearfaktorzerlegung. Dort beantworte ich euch die Fragen: Wie führt man eine Linearfaktorzerlegung durch? Und wann ist ein Zerlegen in Linearfaktoren möglich? Ich freue mich auf euch, bye bye und bis zum nächsten Mal.
Linearfaktorzerlegung (1) Übung
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Definiere die Begriffe Linearfaktor und Linearfaktorzerlegung.
TippsDie Bestandteile der Addition heißen Summanden.
Wir betrachten das Polynom $3x\cdot(x+1)$.
Es besteht aus den Faktoren $3x$ und $x+1$, welche jeweils die Variable $x$ mit dem Grad $1$ enthalten. Dementsprechend sind sie linear.
LösungDie Bestandteile einer Multiplikation werden Faktoren genannt. Bei der Multiplikation $2\cdot 3$ gibt es beispielsweise den Faktor $2$ und den Faktor $3$.
Lineare Funktionen werden oft in der Form $f(x) = mx+b$ aufgeschrieben. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Gerade. Das Verhältnis zwischen $f(x) = y$ und $x$ ist dabei also linear.
Der Begriff Linearfaktor bezieht sich auf Faktoren eines Polynoms. Wenn man ein Polynom so in seine Faktoren aufteilt, dass die Faktoren alle die Form $mx + b$ haben, dann sind die Faktoren linear.
Zum Beispiel setzt sich das Polynom $2x^2 + x$ aus den Linearfaktoren $2x+1$ und $x$ zusammen, da $(2x+1)\cdot x = 2x^2 + x$ gilt. Beachte, dass $x$ auch die obige lineare Form hat, da $x$ auch als $1x+0$ geschrieben werden kann.
Die Linearfaktorzerlegung ist also eine Zerlegung eines Polynoms in seine linearen Faktoren.
Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Das Polynom $f(x) = x^3+2x^2$ kann man in die linearen Faktoren $x$, $x$ und $x+2$ zerlegen, da gilt:
$f(x) = x\cdot x\cdot(x+2) = x^3 + 2x^2$
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Bestimme jeweils, ob es sich um eine Funktion handelt, die nur aus Linearfaktoren besteht.
TippsMan nennt einen Term linear, wenn die Variable in ihm mit dem Grad $1$ vorkommt. Hier siehst du Beispiele:
- $x$
- $x+3$
- $3x + 6$
Schau dir die Faktoren der Funktionsgleichung einzeln an und entscheide jeweils, ob es sich um einen linearen Term bzw. Faktor handelt.
LösungWir betrachten nun die einzelnen Funktionen. Dabei entscheiden wir jeweils, ob es sich um eine Funktion handelt, die nur aus Linearfaktoren besteht oder nicht.
$f(x) = (x-1)(x+3)$
Sowohl $x-1$ als auch $x+3$ sind linear, da der Exponent der jeweiligen Variable $1$ ist. Man könnte auch $x^1 - 1$ bzw. $x^1 + 3$ schreiben.
$g(x) = x\cdot (2x-5)(1+x)$
Auch hier sind alle Faktoren ($x$, $2x-5$ und $1+x$) linear.
$k(x) = 2x\cdot x$
Sowohl $2x$ als auch $x$ sind lineare Faktoren.
$b(x) = x^2 \cdot (x^4 - 4)$
Beide Faktoren sind nicht linear. Der erste Faktor ist quadratisch, während der zweite sogar den Grad $4$ hat.
$h(x) = x^7\cdot(x^3 + 9)$
Auch hier sind beide Faktoren nicht linear.
$j(x) = (3+2x^2)\cdot x^5$
Auch hier sind beide Faktoren nicht linear.
$m(x) = (x^2 + 1)(2-x)$
Dieser Funktionsterm setzt sich aus einem linearen Faktor ($2-x$) und einem nichtlinearen Faktor $(x^2 + 1)$ zusammen.
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Ermittle die Nullstellen der Polynome.
TippsEin Produkt wird immer dann $0$, wenn mindestens ein Faktor $0$ ist.
Wenn man z.B. weiß, dass $a\cdot b = 0$ gilt, dann gilt entweder $a=0$, $b=0$ oder $a=b=0$.
Bei einem Polynom, das in seine Linearfaktoren zerlegt ist, kann man die Nullstellen ablesen. Betrachten wir folgendes Polynom:
$(x+2)(x-1)$.
Die Nullstellen sind $x_1 = -2$ und $x_2 = 1$.
LösungIn dieser Aufgabe musst du die Nullstellen von Polynomen ablesen, die in ihre Linearfaktoren zerlegt sind.
Das Polynom $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$
Die Nullstellen ergeben sich durch Ablesen aus der zerlegten Form:
$x_1 = -1$ und $x_2 = 1$.
Das Polynom $x^2 + 4x + 4 = (x+2)(x+2)$
Die doppelte Nullstelle lautet also $x_{1,2} = -2$.
Das Polynom $x^2 +x -6 = (x-2)(x+3)$
Die Nullstellen lauten $x_1 = 2$ und $x_2 = -3$.
Das Polynom $x^2 -16 = (x+4)(x-4)$
Die Nullstellen lauten $x_1 = -4$ und $x_2 = 4$.
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Ordne den Polynomen die entsprechenden Linearfaktoren zu.
TippsWir wollen die Linearfaktoren des Polynoms $x^2 + 2x + 1$ finden.
Da das Polynom vorne ein $x^2$ hat, wissen wir schon, dass die Form der Linearfaktoren so aussieht:
$(x+\_)(x+\_)$
Nun müssen wir die Leerstellen noch so füllen, dass sich $+2x$ und $+1$ ergeben.
Durch Ausprobieren oder genaues Hinsehen ergeben sich die Werte $1$ und $1$, da $1\cdot 1 = 1$ und $1x + 1x = 2x$ gilt.
Insgesamt folgt also:
$(x+1)(x+1) = x^2 + 2x +1$
Die Linearfaktoren $(x+5)$ und $(x+4)$ ergeben zum Beispiel das Polynom $x^2 + 9x + 20$. Dies kann man hier sehen:
$(x+5)(x+4) = x^2 + 5x + 4x + 20 = x^2 + 9x +20$
LösungDie angegebenen Polynome lassen sich in ihre Linearfaktoren zerlegen.
Um die Linearfaktoren zu ermitteln, muss man sich das Polynom genau anschauen.
Das Polynom: $x^2 -2x -3$
Zuerst betrachten wir, aus welchen Termen das Polynom besteht. Vorne steht ein $x^2$. Dieses verrät uns, dass es $2$ Linearfaktoren gibt, die beide ein $x$ ohne Vorfaktor enthalten. Nun müssen wir noch auf $-2x$ und $-3$ kommen. Durch Ausprobieren oder genaues Hinsehen erhalten wir die Linearfaktoren $(x-3)$ und $(x+1)$. Diese ergeben multipliziert das gesuchte Polynom. Hier siehst du die genaue Rechnung:
$(x-3)(x+1) = x^2 -3x +1x -3 = x^2 -2x-3$.
Das Polynom: $x^2 +x -2$
Auf die gleiche Weise finden wir die Linearfaktoren $(x-1)$ und $(x+2)$.
Das Polynom: $x^2 -6x +8$
Auf die gleiche Weise finden wir die Linearfaktoren $(x-4)$ und $(x-2)$.
Das Polynom: $x^2 + 7x + 12$
Auf die gleiche Weise finden wir die Linearfaktoren $(x+3)$ und $(x+4)$.
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Gib die korrekten Aussagen zur Linearfaktorzerlegung an.
TippsDie Linearfaktorzerlegung ändert nur das Aussehen des Funktionsterms.
Schaue dir folgendes Beispiel an:
$x^2 + x = x\cdot (x+1)$
Dieser Funktionsterm wurde hier in seine Linearfaktoren zerlegt. Man kann die Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2 = -1$ ablesen.
LösungBei der Linearfaktorzerlegung wird ein Polynom in seine Linearfaktoren zerlegt (wie der Name auch ausdrückt).
Man kann beispielsweise das Polynom der Polynomfunktion $f(x) = x^3 + 2x^2$ in seine Linearfaktoren $x$, $x$ und $x+2$ zerlegen. Da man dadurch nur das Aussehen der Funktionsgleichung verändert hat, verändert sich der Graph der Funktion dadurch nicht.
Die Nullstellen lassen sich an der Gleichung $f(x) = x\cdot x\cdot(x+2)$ aber viel besser ablesen, da man die Faktoren einzeln betrachten kann.
Erinnere dich daran, dass ein Produkt $0$ wird, wenn mindestens einer der Faktoren $0$ ist. Der erste Faktor ($x$) wird $0$, wenn man $x=0$ setzt. Das Gleiche gilt für den zweiten Faktor. Der dritte Faktor wird $0$, wenn man für $x$ den Wert $-2$ einsetzt:
$-2+2 = 0$.
Also sind die Nullstellen $x_{1,2} = 0$ und $x_3 = -2$.
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Bestimme die Linearfaktoren und die Nullstellen der Polynome.
TippsPolynome können in manchen Fällen in ihre Linearfaktoren zerlegt werden. Dabei ändert sich das Aussehen des Terms, nicht jedoch der Graph der zugehörigen Polynomfunktion.
Zum Beispiel kann man das Polynom $x^2+x$ zerlegen in $x$ und $x+1$, da $x\cdot(x+1) = x^2 +x$ gilt.
Die Nullstellen von in Linearfaktoren zerlegten Polynomfunktionen lassen sich ablesen.
Dazu musst du dir überlegen, welche Zahl du jeweils einsetzen musst, damit eine der Klammern $0$ wird.
Beispielsweise hat das Polynom $(x-5)(x+2)$ die Nullstellen $5$ und $-2$.
LösungWir schauen uns jetzt die drei Polynome aus der Aufgabe an, bestimmen die Linearfaktoren und die Nullstellen.
Das Polynom: $18x^2 - 2$
Dieses Polynom lässt sich in die Linearfaktoren $6x-2$ und $3x+1$ zerlegen. Betrachtet man nämlich $(6x-2)(3x+1)$ dann ergibt sich nach dem Distributivgesetz $6x\cdot 3x - 2\cdot 3x +6x\cdot 1 - 2\cdot 1 = 18x^2 - 2$.
Die Nullstellen liest man aus der zerlegten Form ab, indem man sich überlegt, wann die jeweiligen Klammern $0$ werden. Denn genau dann wird auch der gesamte Term $0$. In diesem Fall sind die Nullstellen $\frac13$ und $-\frac13$.
Das Polynom: $21x^2 + 6x$
Das Polynom lässt sich in die Linearfaktoren $7x+2$ und $3x$ zerlegen. Die Nullstellen lauten dementsprechend $-\frac27$ und $0$.
Das Polynom: $x^3 + 2x^2 -5x -6$
Das Polynom lässt sich in die Linearfaktoren $x-2$, $x+3$ und $x+1$ zerlegen. Die Nullstellen lauten dementsprechend $2$, $-3$ und $-1$.
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Man kann aufgrund des Graphenverlaufs sehr wohl erkennen, dass es sich bei x=0 um eine doppelte Nullstelle (zumindest eine geradzahlige, da die Funktion aber 3. Grades ist, kann es nur eine doppelte sein) handelt.