Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens mit zwei Winkelfunktionen desselben Arguments

Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens mit zwei Winkelfunktionen desselben Arguments Übung

• Stelle einige Gesetzmäßigkeiten von Winkelfunktionen dar, die zur Lösung unserer Gleichung benötigt werden.

  Tipps

  Es gilt $\cos(90°)=0$ und die Nullstellen der Kosinusfunktion treten in regelmäßigen Abständen von $180°$ auf.

  Gleichungen mit Winkelfunktionen kann man wie jede andere Gleichung auch mit Rechengesetzen vereinfachen oder umschreiben. Z.B. ist $\sin^2(x)+\cos(x)\cdot \sin(x)=\sin(x)\cdot\left(\sin(x)+\cos(x)\right).$

  Die Gleichung $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ kann sich bei vielen Rechnungen mit Winkelfunktionen als nützlich erweisen.

  Lösung

  $~$ 1. Wir wollen die Gleichung $\cos(x)=0$ lösen.

  Eine Lösung dieser Gleichung kann man mit dem Taschenrechner durch die Eingabe von $\cos^{-1}$ gefolgt von $0$ erhalten. Es wird sich als erste Lösung $x_1=90°$ ergeben. Wegen der Beziehung $\cos(x)=\cos(-x)$ ist eine zweite Lösung damit $x_2=-90°$. Die Kosinusfunktion besitzt die Periode von $360°$, d.h. es gilt $\cos(x)=\cos(x+360°)$, womit wir anstelle des negativen Winkels von $-90°$ den Winkel von $270°$ angeben können. Damit haben wir zwei Lösungen im Intervall von $0°$ bis $360°$. Somit sind $x=90°+k\cdot 360°$ oder $x=270°+k\cdot 360°$ mit $k\in\mathbb{Z}$ Lösungen. Diese Lösungen schreiben wir jetzt ein wenig um, wir verändern sie aber natürlich nicht.

  $\begin{align} && x & =90°+k\cdot 360°\\ &\Leftrightarrow& x & =90°+2k\cdot 180° \end{align}$

  und

  $\begin{align} && x & =270°+k\cdot 360°\\ & \Leftrightarrow & x & =90°+180°+2k\cdot 180°\\ &\Leftrightarrow & x & =90°+(2k+1)\cdot 180° \end{align} $

  Es sind also nach Addition von $90°$ alle geraden und alle ungeraden Vielfachen von $180°$ Lösungen der Gleichung. Das bedeutet, dass wir die Lösung zu $x=90°+k\cdot 180°$ vereinfachen können. Auf der rechten Seite dieser Gleichung kann man $90°$ ausklammern, womit $x=(2k+1)\cdot 90°$ mit $k\in\mathbb{Z}$ übrig bleibt. Diese Lösung kann man jetzt noch mit dem Index $k$ versehen, um so die Abhängigkeit von $k$ besser zu verdeutlichen. Also löst $x_k=(2k+1)\cdot 90°$ mit $k\in\mathbb{Z}$ die Gleichung $\cos(x)=0$.

  2. Wir ordnen jetzt den Ausdruck $\cos^2(x)$ richtig zu.

  Im Tafelwerk findest du die Beziehung $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$. Diese können wir äquivalent zu $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ umformen, wenn wir auf beiden Seiten der Gleichung $\sin^2(x)$ abziehen.

  3. Wir betrachten den Term $\cos^3(x)-2\cos(x)\cdot \sin^2(x)$.

  Man kann erkennen, dass wir $\cos(x)$ ausklammern können. Es ist nämlich: $\begin{align} \cos^3(x)-2\cos(x)\cdot \sin^2(x)&=\cos(x)\cdot\cos^2(x)-2\cos(x)\cdot \sin^2(x)\\ &=\cos(x)\cdot\left(\cos^2(x)-2 \sin^2(x)\right) \end{align}$

  4. Jetzt lösen wir die Gleichung $\cos^2(x)-2 \sin^2(x)=0$.

  Es gilt die Beziehung $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$. Diese Gleichung können wir zu $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ umformen, womit eingesetzt in die betrachtete Gleichung $1-\sin^2(x)-2 \sin^2(x)=0$ folgt. Zusammengefasst erhalten wir $1-3\cdot \sin^2(x)=0$, was wir weiterhin zu $\begin{align}\sin^2(x)=\frac{1}{3}\end{align}$ umformen können. Ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel, dann folgt $\begin{align}\sin(x)=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}\end{align}$. Mit Hilfe des Taschenrechners erhalten wir für $x$ annähernd $\pm 35{,}26°$.

• Bestimme die Lösungen der angegebenen trigonometrischen Gleichung.

  Tipps

  Die Lösungen der trigonometrischen Gleichung $\sin(x)\cdot(\cos^2(x)+\sin(x))=0$ folgen aus $\sin(x)=0$ oder $\cos^2(x)+\sin(x)=0$.

  Die Nullstellen der Kosinusfunktion liegen in regelmäßigen Abständen von $180°$ und können im Tafelwerk nachgeschlagen werden.

  Aus der Gleichung $\sin^2(x)-5\cos^2(x)=-5$ folgt wegen $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ die Gleichung $1-\cos^2(x)-5\cos^2(x)=-5$. Weiter zusammengefasst erhält man sogar $\cos^2(x)=1$.

  Lösung

  Es soll die trigonometrische Gleichung $\cos^3(x)-2\cos(x)\cdot\sin^2(x)=0$ gelöst werden.

  1. Wir klammern dafür im ersten Schritt $\cos(x)$ aus und erhalten $\cos(x)\cdot\left(\cos^2(x)-2 \sin^2(x)\right)=0$.

  2. Ein Produkt ist bekanntlich Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Für diesen Fall bedeutet das also, ist $\cos(x)=0$ oder $\cos^2(x)-2 \sin^2(x)=0$, dann ist die Gleichung erfüllt.

  3. Hinter der Gleichung $\cos(x)=0$ stecken die Nullstellen der Kosinusfunktion. Diese liegen bei $x_k=(2k+1)\cdot 90°$ für $k\in\mathbb{Z}$. Die Nullstellen der Sinus- oder Kosinusfunktion sind im Tafelwerk zu finden.

  4. Wir betrachten jetzt $\cos^2(x)-2 \sin^2(x)=0$. Wir wollen anstelle von zwei Winkelfunktionen nur noch eine zu stehen haben. Hierfür wird uns die Gleichung $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ helfen. Diese können wir nämlich äquivalent zu $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ umformen und in unsere zu betrachtende Gleichung einsetzen. Es folgt $1-\sin^2(x)-2 \sin^2(x)=0$.

  5. Die Gleichung $1-\sin^2(x)-2 \sin^2(x)=0$ können wir weiter vereinfachen:

  $\begin{align} 1-\sin^2(x)-2 \sin^2(x)=0 ~~~&\Leftrightarrow~~~ 1-3\sin^2(x)=0\\ ~~~&\Leftrightarrow~~~ -3\sin^2(x)=-1\\ ~~~&\Leftrightarrow~~~ \sin^2(x)=\frac{1}{3}\\ ~~~&\Leftrightarrow~~~ \sin(x)=\pm\sqrt{\frac{1}{3}} \end{align}$

  6. Mit Hilfe des Taschenrechners errechnet man für $x$ einen Wert, der annähernd bei $\pm 35{,}26°$ liegt.

  Eine Probe liefert unter zur Hilfenahme des Taschenrechners

  $\begin{align} \cos^3(35{,}26°)-2\cos(35{,}26°)\cdot\sin^2(35{,}26°)&=0\\ \cos^3(-35{,}26°)-2\cos(-35{,}26°)\cdot\sin^2(-35{,}26°)&=0 \end{align}$

  Ist bspw. $k=0$, dann ist $x_0=90°$ und es folgt ebenfalls $\cos^3(90°)-2\cos(90°)\cdot\sin^2(90°)=0$.

• Erschließe dir den Lösungsweg zur gegebenen trigonometrischen Gleichung.

  Tipps

  In Gleichungen können auch Summen oder Differenzen ersetzt werden, d.h. ist z.B. $\cos^3(x)+\sin^2(x)-1=0$ gegeben, dann ist diese Gleichung wegen der gültigen Beziehung $\sin^2(x)-1=-\cos^2(x)$ äquivalent zu $\cos^3(x)-\cos^2(x)=0$.

  Es ist $\sin(180°)=0$ und die weiteren Nullstellen liegen in regelmäßigen Abständen von $180°$.

  Lösung

  Wir wollen die dargestellte trigonometrische Gleichung lösen. Wie gehen wir dafür vor?

  Wir werden die Gleichung zunächst dahingehend vereinfachen, dass wir anstelle von zwei Winkelfunktionen nur noch eine Winkelfunktion zu stehen haben. Dabei verwenden wir die Beziehung $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, welche zu $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ äquivalent ist. Wir können also $1-\cos^2(x)$ in unserer Gleichung durch $\sin^2(x)$ ersetzen. Wir erhalten also $\frac{1}{2}\sin(x)-\sin^2(x)=0$.

  Jetzt können wir $\sin(x)$ ausklammern, sodass wir $\sin(x)\cdot\left(\frac{1}{2}+\sin(x)\right)=0$ erhalten. Ein Produkt ist nun Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Das bedeutet, dass die Lösungen aus $\sin(x)=0$ oder $\frac{1}{2}+\sin(x)=0$ folgen.

  Die Gleichung $\sin(x)=0$ ermittelt die Nullstellen der Sinusfunktion. Diese ergeben sich aus $x_k=180°\cdot k$, wobei $k\in\mathbb{Z}$ ist. Die Nullstellen der Sinusfunktion lassen sich auch im Tafelwerk nachschlagen. Die zweite Gleichung können wir äquivalent zu $\sin(x)=-\frac{1}{2}$ umformen. Der Taschenrechner berechnet dann den gesuchten Wert von $x=-30°$.

  Für die Probe schauen wir uns bspw. für $k=1$ den Wert $x_1=180°$ an. Es ist

  $\begin{align} \frac{1}{2}\sin(180°)+1-\cos^2(180°)= 0+1-1=0. \end{align}$

  Für $x=-30°$ folgt

  $\begin{align} \frac{1}{2}\sin(-30°)+1-\cos^2(-30°)=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=-\frac{1}{4}+1-\frac{3}{4}=0. \end{align}$

  Die Probe ergibt demnach eine wahre Aussage.

• Ermittle die Nullstellen der Funktion $f(x)=\sin(x)-\cos(x)$.

  Tipps

  Will man die Nullstelle(n) einer Funktion $f$ ermitteln, dann setzt man $f(x)=0$ und bestimmt alle $x$, für die die Gleichung gilt. Bspw. ist $x_0=2$ eine Nullstelle von der Funktion $f(x)=3x-6$, denn es gilt $f(2)=3\cdot 2-6=6-6=0$.

  Im Tafelwerk kann man folgende Beziehung zwischen dem Sinus und dem Kosinus nachschlagen.

  Die Periode der Tangensfunktion beträgt $180°$, d.h. es gilt $\tan(x)=\tan(x+180°)$.

  Lösung

  Es sind die Nullstellen der Funktion $f(x)=\sin(x)-\cos(x)$ zu ermitteln.

  Eine Nullstelle ist bekanntlich der Wert $x_0$, für den $f(x_0)=0$ gilt. Wir suchen also alle $x$, sodass $0=f(x)=\sin(x)-\cos(x)$ gilt. Als zu betrachtende Gleichung erhalten wir also $\sin(x)-\cos(x)=0$. Bringen wir $\cos(x)$ auf die rechte Seite, dann ergibt sich $\sin(x)=\cos(x)$. Wir können bereits $x=90°$ ausschließen, da $\sin(90°)=1\neq 0=\cos(90°)$ gilt. Wir können also die Gleichung $\sin(x)=\cos(x)$ durch $\cos(x)$ dividieren und erhalten damit $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=1$. Nun gilt folgende Äquivalenz:

  $\begin{align} \frac{\sin(x)}{\cos(x)}=1 ~~~\Leftrightarrow~~~ \tan(x)=1 \end{align}$

  Mit Hilfe des Taschenrechners ermittelt man $x=45°$, da dieser intern $\arctan(1)=tan^{-1}(1)=45°$ berechnet.

  Die Nullstelle der Funktion $f$ im abgeschlossenen Intervall $\left[0,180°\right]$ lautet demnach $x_0=45°$.

  Wegen der Periodizität der Tangens- bzw. Sinus- und Kosinusfunktion oder der gültigen Gleichung $\tan(x)=\tan(x+k\cdot 180°)$ mit $k\in\mathbb{Z}$ ergeben sich damit alle Nullstellen der Funktion $f$ aus $x_k=45°+k\cdot 180°$ mit $k\in\mathbb{Z}$.

  Die Probe würde bspw. im Fall von $k=0$ die wahre Aussage

  $\begin{align} f(45°)=\sin(45°)-\cos(45°)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \end{align}$

  liefern.

• Gib an, welche der folgenden Sätze korrekt sind.

  Tipps

  Es ist $x^2+y^2=1$ äquivalent zu $y^2=1-x^2$ oder $x^2=1-y^2$.

  Es gilt $\cos(180°)=-1\neq 0 $, weshalb $180°$ keine Lösung der Gleichung $\cos(x)=0$ ist.

  Der Tangens ist an der Stelle $0°$ definiert, denn es ist $\tan(0°)=0$. Demzufolge müsste das auch für den Quotienten $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ zutreffen. Tut es das auch?

  Lösung

  Wir betrachten jede Aussage separat.

  1. Aus der Gleichung $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ kann man $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ oder $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ folgern.

  Diese Aussage ist wahr, denn es handelt sich hierbei lediglich um Äquivalenzumformungen, d.h. es gilt

  $\begin{align} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 ~~~\overset{-\sin^2(x)}{\Leftrightarrow}~~~ \cos^2(x)=1-\sin^2(x) \end{align}$

  oder

  $\begin{align} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 ~~~\overset{-\cos^2(x)}{\Leftrightarrow}~~~ \sin^2(x)=1-\cos^2(x) \end{align}$

  2. Die Lösungen der Gleichung $\cos(x)=0$ ergeben sich aus $x_k=(k+1)\cdot 90°$ mit $k\in\mathbb{Z}$.

  Wir betrachten hierfür $x_1=(1+1)\cdot 90°=2\cdot 90°=180°$. Es gilt nun $\cos(180°)=-1\neq 0$, weshalb diese Aussage falsch ist.

  3. Man kann $\cos(x)$ aus dem Term $\cos^3(x)-2\cos(x)\cdot\sin^2(x)$ ausklammern.

  Es gilt $\cos^3(x)-2\cos(x)\cdot\sin^2(x)=\cos(x)\cdot\left(\cos^2(x)-2\sin(x)\right)$, weshalb man $\cos(x)$ ausklammern kann und diese Aussage damit wahr ist.

  4. Es gilt $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\tan(x)$.

  Wir wissen, dass $\tan(0°)=0$ ist. Damit würde

  $\begin{align} 0=\tan(0°)=\frac{\cos(0°)}{\sin(0°)}=\frac{1}{0} \end{align}$

  folgen, was nicht möglich ist, da man durch die Zahl Null nicht teilen kann. Die Gleichung wäre damit nicht erfüllt, womit die Aussage falsch ist.

  5. Es gilt die Äquivalenz: $\frac{1}{3}=\sin^2(x) ~~\Leftrightarrow~~ \pm\sqrt{\frac{1}{3}}=\sin(x)$.

  Die Gleichung $\frac{1}{3}=\sin^2(x)$ besitzt aufgrund des Quadrates zwei Lösungen, eine positive und eine negative Lösung. Zieht man also auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel, dann erhält man gerade $\pm\sqrt{\frac{1}{3}}=\sin(x)$.

  Aus der Gleichung $\pm\sqrt{\frac{1}{3}}=\sin(x)$ erhält man andersherum durch Quadrieren auf beiden Seiten die Gleichung $\frac{1}{3}=\sin^2(x)$.

  Die Äquivalenz gilt damit und die Aussage ist wahr.

• Entscheide, welche der folgenden Aussagen korrekt sind.

  Tipps

  Die dargestellte Gleichung kann bei der Lösung vieler trigonometrischer Gleichungen mit mehreren Winkelfunktionen nützlich sein.

  Die Gleichung $\cos^2(x)-2\cos(x)+1=0$ kann man durch Faktorisieren bzw. Anwenden der binomischen Formel zu $(\cos(x)-1)^2=0$ umformen.

  Der Wertebereich der Sinusfunktion liegt zwischen $-1$ und $1$, weshalb z.B. die Gleichung $\sin(x)=2$ keine Lösung für $x$ besitzt.

  Lösung

  Wir betrachten jede Aussage separat.

  1. Es gilt die Äquivalenz: $4\sin^2(x)-4\cos(x)=1 ~~\Longleftrightarrow~~ \cos^2(x)+\cos(x)-2=0$

  Es gilt zunächst die Gleichung $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$. Umgestellt nach $\sin^2(x)$ erhalten wir $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$, was wir in $4\sin^2(x)-4\cos(x)=1$ einsetzen können. Es ergibt sich also $4\cdot(1-\cos^2(x))-4\cos(x)=1$. Nach Auflösen der Klammern erhalten wir $4-4\cos^2(x)-4\cos(x)=1$. Leicht umgeformt ergibt sich $-4\cos^2(x)-4\cos(x)+3=0$. Man erhält nach Division durch $-4$ die Gleichung $\cos^2(x)+\cos(x)-\frac{3}{4}=0$. Man kann offensichtlich erkennen, dass die Gleichungen $\cos^2(x)+\cos(x)-\frac{3}{4}=0$ und $\cos^2(x)+\cos(x)-2=0$ nicht identisch bzw. äquivalent zueinander sind, weshalb die Aussage falsch ist.

  2. Die Frage nach den Lösungen der Gleichung $(2\cos^2(x)-1)-4\cos(x)+3=0$ ist gleichbedeutend mit der Frage nach den Lösungen der Gleichung $\cos(x)=1$.

  Es gilt

  $\begin{align} (2\cos^2(x)-1)-4\cos(x)+3=0 ~~~&\Leftrightarrow~~~ 2\cos^2(x)-4\cos(x)+2=0\\ ~~~&\Leftrightarrow~~~ \cos^2(x)-2\cos(x)+1=0\\ ~~~&\Leftrightarrow~~~ (\cos(x)-1)^2=0 \end{align}$

  Dabei haben wir im letzten Schritt den Term $\cos^2(x)-2\cos(x)+1$ faktorisiert bzw. die binomische Formel rückwärts angewendet. Die Gleichung $(\cos(x)-1)^2=0$ ist genau dann erfüllt, wenn $\cos(x)-1=0$ erfüllt ist. Addiert man auf beiden Seiten der Gleichung noch mit $1$, dann ergibt sich der äquivalente Ausdruck $\cos(x)=1$.

  Da es sich bei unseren Umformungsschritten stets um Äquivalenzen handelte, ist die Frage nach den Lösungen der Gleichung $(2\cos^2(x)-1)-4\cos(x)+3=0$ gleichbedeutend mit der Frage nach den Lösungen der Gleichung $\cos(x)=1$. Die Aussage ist damit wahr.

  3. Die trigonometrische Gleichung $2\cos(x)\cdot \sin(x)=4\cos(x)$ besitzt als Lösungen nur die Nullstellen der Kosinusfunktion.

  Wir dividieren auf beiden Seiten der Gleichung zunächst durch $2$. Dann erhalten wir $\cos(x)\cdot \sin(x)=2\cos(x)$. Äquivalent dazu ist $\cos(x)\cdot \sin(x)-2\cos(x)=0$. Jetzt klammern wir $\cos(x)$ aus und erhalten $\cos(x)\cdot(\sin(x)-2)=0$. Die Lösungen ergeben sich also aus $\cos(x)=0$ oder $\sin(x)-2=0$. Die letztere Gleichung ist weiterhin äquivalent zu $\sin(x)=2$. Diese Gleichung besitzt jedoch keine Lösungen für $x$, da der Wertebereich der Sinusfunktion nur zwischen $-1$ und $1$ liegt. Somit ergeben sich die Lösungen nur aus $\cos(x)=0$, was gerade die Nullstellen der Kosinusfunktion sind. Die Aussage ist damit wahr.

  4. Es existiert mindestens eine Lösung für die trigonometrische Gleichung $3-3\cos^2(x)+2\sin(x)=4+3\sin^2(x)$.

  Wir formen die gegebene Gleichung einfach äquivalent um. Wir werden dabei wieder die Gleichung $1-\cos^2(x)=\sin^2(x)$ benutzen.

  $\begin{align} 3-3\cos^2(x)+2\sin(x)=4+3\sin^2(x) ~~~&\Leftrightarrow~~~ 3\cdot(1-\cos^2(x))+2\sin(x)=4+3\sin^2(x)\\ ~~~&\Leftrightarrow~~~ 3\sin^2(x)+2\sin(x)=4+3\sin^2(x)\\ ~~~&\Leftrightarrow~~~ 2\sin(x)=4\\ ~~~&\Leftrightarrow~~~ \sin(x)=2 \end{align}$

  Wie bei 3. wird die Gleichung $\sin(x)=2$ keine Lösungen besitzen, da der Wertebereich der Sinusfunktion nur zwischen $-1$ und $1$ liegt. Die Lösungsmenge ist damit leer und die Aussage somit falsch.