Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens mit zwei Winkelfunktionen verschiedener Argumente

Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens mit zwei Winkelfunktionen verschiedener Argumente Übung

• Bestimme die richtigen Aussagen zur trigonometrischen Gleichung $\cos(x)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)=0$.

  Tipps

  Es gilt die Gleichheit:

  Der Kosinus von $180°$ ist $-1$ und der Sinus von $90°$ ist $0$. Also ist

  $\begin{align*} \cos(180°)-\sin(90°)=-1-0=-1\neq 0. \end{align*}$

  In der trigonometrischen Gleichung $\cos^2(x)-3\cos(x)-1=0$ kann man $z=\cos(x)$ substituieren, womit die quadratische Gleichung $z^2-3z-1=0$ entsteht. Hierbei ist dann $p=-3$ und $q=-1$.

  Lösung

  Wir gehen jede Aussage einzeln durch.

  1. „Für die Lösung der Gleichung kann man nur $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ nutzen.“ Neben der Beziehung $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ gilt außerdem $\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$. Beide Gleichungen gelten für alle $x\in\mathbb{R}$, weshalb also auch insbesondere $\cos(x)=\cos\left(2\cdot\frac{x}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ ist. Somit lässt sich die Gleichung zu $1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)=0$ umformen. Dies ist eine trigonometrische Gleichung, welche als höchste Potenz die $2$ besitzt. Diese Gleichung können wir also weiter lösen. Wir haben die Gleichung $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ in unseren Schritten nicht benutzt, weshalb die Aussage falsch ist.
  2. „Die Gleichung ist äquivalent zu $1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)=0$.“ In 1. haben wir mit Hilfe der Beziehung $\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$ gezeigt, dass folgende Äquivalenz gilt: $\cos(x)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)=0 ~\Leftrightarrow~ 1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)=0$. Die Aussage ist damit wahr.
  3. „Die Lösungen der Gleichung sind $60°$ und $180°$.“ Diese Aussage ist falsch, denn es ist $\cos(180°)-\sin\left(\frac{180°}{2}\right)=\cos(180°)-\sin(90°)=-1-0=-1\neq 0$.
  4. „Die Gleichung $-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)+1=0$ kann man mit einer Substitution und anschließender Verwendung der $p$-$q$-Formel lösen.“ Man kann $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ durch $z$ ersetzen bzw. substituieren. Dann ist also $z=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ und $z^2=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$, womit die quadratische Gleichung $-2z^2-z+1=0$ folgt, die man nach Division durch $-2$ mit der $p$-$q$-Formel lösen kann. Die Aussage ist also wahr.
  5. „Aus $\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}$ folgt $\frac{x}{2}=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=30°$.“ Wenn wir die Gleichung $\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}$ betrachten und auf beiden Seiten den $\arcsin$ bilden, dann folgt $\frac{x}{2}=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$. Der Taschenrechner ermittelt für $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$ einen Wert von $30°$, weshalb wir auch gleich etwas kompakter $\frac{x}{2}=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=30°$ schreiben können. Die Aussage ist damit wahr.

• Gib die Schritte zur Lösung der Gleichung $\cos(x)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)=0$ an.

  Tipps

  Die beiden Gleichungen liefern dir $\begin{align}\cos(x)=1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\end{align}$, womit du den Kosinus mit Hilfe des Sinus dargestellt hast.

  Ein Produkt ist Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Die Werte für $z$, die die quadratische Gleichung $-2z^2-z+1=0$ erfüllen, kann man daher leicht ablesen, denn es gilt:

  Hat man bspw. $z=\sin\left(\frac{x}{3}\right)$ substituiert und $z=1$ berechnet, dann ist $\sin\left(\frac{x}{3}\right)=1$ und für $x$ folgt $\frac{x}{3}=\arcsin(1)=90^\circ$. Daher ist $x=270^\circ$.

  Lösung

  Wenn wir die trigonometrische Gleichung lösen wollen, dann formen wir diese zunächst so um, dass nur eine Winkelfunktion vorhanden ist. Hierfür können wir die Gleichung $\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$ nutzen. Es gilt außerdem $\cos(x)=\cos\left(2\cdot\frac{x}{2}\right)$, womit insgesamt $\cos(x)=1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ folgt.

  Den Term für $\cos(x)$ setzen wir in die Ausgangsgleichung ein. Es folgt damit $1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)=0$. Wir ordnen die linke Seite der Gleichung nach der höchsten Potenz und erhalten damit $-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)+1=0$.

  Jetzt können wir eine Substitution durchführen, d.h. wir setzen $z=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ und dementsprechend ist $z^2=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$. Folglich erhalten wir die quadratische Gleichung $-2z^2-z+1=0$. Dividieren wir auf beiden Seiten durch $-2$, dann ergibt sich die Gleichung $z^2+\frac{1}{2}z-\frac{1}{2}=0$. Dabei ist $p=\frac{1}{2}$ und $q=-\frac{1}{2}$.

  Mit Hilfe der $p$-$q$-Formel erhält man dann:

  $\begin{align}z_{1,2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\\&=-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{2}}\\&=-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{9}{16}}\\&=-\frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}.\end{align}$

  Somit ergeben sich $z_1=\frac{1}{2}$ und $z_2=-1$.

  Jetzt müssen wir noch die Rücksubstitution durchführen. Wir erhalten $\sin\left(\frac{x_1}{2}\right)=\frac{1}{2}$ oder $\sin\left(\frac{x_2}{2}\right)=-1$. Bilden wir den $\arcsin$, dann folgen $\frac{x_1}{2}=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=30°$ oder $\frac{x_2}{2}=\arcsin(-1)=-90°$. Nach Multiplikation mit $2$ auf beiden Seiten folgen somit $x_1=60°$ oder $x_2=-180°$.

  Die Probe führt mit $\cos(60°)-\sin\left(\frac{60°}{2}\right)=\cos(60°)-\sin(30°)=0{,}5-0{,}5=0$ und $\cos(-180°)-\sin\left(\frac{-180°}{2}\right)=\cos(-180°)-\sin(-90°)=-1-(-1)=0$ außerdem zu wahren Aussagen.

• Ermittle die Lösungen der dargestellten trigonometrischen Gleichung.

  Tipps

  Aus der Beziehung $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ kannst du $\cos\left(\frac{x}{4}\right)=2\cos^2\left(\frac{x}{8}\right)-1$ folgern.

  Die trigonometrische Gleichung $3\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)-1+3\sin\left(\frac{x}{3}\right)+1=0$ können wir vereinfachen.

  Willst du $\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0$ nach $x$ umstellen, dann bildest du zunächst auf beiden Seiten den $\arccos$. Dann entsteht $\frac{x}{2}=\arccos(0)$. Der Arkuskosinus von $0$ ist $90°$, d.h. nach der Multiplikation mit $2$ erhältst du $x=180°$.

  Lösung

  Wir wollen die angegebene trigonometrische Gleichung lösen.

  Im ersten Schritt müssen wir die Argumente des Kosinus gleich machen. Dafür verwenden wir die Beziehung $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$, denn wegen $\frac{x}{4}=2\cdot \frac{x}{8}$ gilt somit für den ersten Summanden $\cos\left(\frac{x}{4}\right)$:

  $\begin{align} \cos\left(\frac{x}{4}\right)=\left(2\cdot \frac{x}{8}\right)=2\cos^2\left(\frac{x}{8}\right)-1. \end{align}$

  Unsere Ausgangsgleichung können wir daher zu

  $\begin{align} 2\cos^2\left(\frac{x}{8}\right)-1+2\cos\left(\frac{x}{8}\right)+1=0 \end{align}$

  umformen. Die $-1$ und $+1$ heben sich gegenseitig auf, womit

  $\begin{align} 2\cos^2\left(\frac{x}{8}\right)+2\cos\left(\frac{x}{8}\right)=0 \end{align}$

  übrig bleibt. Dividieren wir auf beiden Seiten der Gleichung durch $2$, dann ergibt sich

  $\begin{align} \cos^2\left(\frac{x}{8}\right)+\cos\left(\frac{x}{8}\right)=0. \end{align}$

  Jetzt klammern wir auf der linken Seite der Gleichung den Term $\cos\left(\frac{x}{8}\right)$ aus und es entsteht das Produkt

  $\begin{align} \cos\left(\frac{x}{8}\right)\cdot\left(\cos\left(\frac{x}{8}\right)+1\right)=0. \end{align}$

  Ein Produkt ist bekanntlich Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Konkret für diesen Fall bedeutet das also, dass $\cos\left(\frac{x}{8}\right)=0$ oder $\cos\left(\frac{x}{8}\right)=-1$ betrachtet werden muss. Um beiden trigonometrischen Gleichungen lösen zu können, muss auf beiden Seiten der Gleichungen der Arkuskosinus angewendet werden. Somit erhalten wir $\frac{x}{8}=\arccos(0)$ oder $\frac{x}{8}=\arccos(-1)$. Die Werte für $\arccos(0)$ oder $\arccos(-1)$ lassen sich mit einem Taschenrechner leicht ermitteln. Ist die Anzeige auf Grad eingestellt, dann ergeben sich $\frac{x}{8}=90°$ oder $\frac{x}{8}=180°$. Im letzten Schritt muss nur noch mit $8$ auf beiden Seiten multipliziert werden. Die Lösungen der trigonometrischen Gleichung lauten $x_1=720°$ oder $x_2=1440°$.

  Eine Probe liefert mit

  $\begin{align} \cos\left(\frac{720°}{4}\right)+2\cos\left(\frac{720°}{8}\right)+1&=\cos(180°)+2\cos(90°)+1\\&=-1+2\cdot 0+1=0 \end{align}$

  und

  $\begin{align} \cos\left(\frac{1440°}{4}\right)+2\cos\left(\frac{1440°}{8}\right)+1&=\cos(360°)+2\cos(180°)+1\\&=1+2\cdot (-1)+1=2-2=0 \end{align}$

  zwei wahre Aussagen.

• Bestimme die Lösungsmenge der trigonometrischen Gleichung.

  Tipps

  Wegen $x=2\cdot \frac{x}{2}$ gilt die Beziehung $\cos(x)=\cos\left(2\cdot \frac{x}{2}\right)=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$.

  Die Gleichungen $\sin^2(x)=0$ oder $\cos^2(x)=0$ sind äquivalent, d.h. gleichwertig zu $\sin(x)=0$ bzw. $\cos(x)=0$.

  Es kann hilfreich sein, einen Term in zwei Teile aufzuspalten. Zum Beispiel ist es sinnvoll, $-2\sin^2(x)$ als $-\sin^2(x)-\sin^2(x)$ zu schreiben.

  Die Gleichung $\tan^4(x)+6\cdot \tan^2(x)=0$ ist äquivalent zu $\tan^2(x)\cdot(\tan^2(x)+6)=0$. Die Lösungen dieser trigonometrischen Gleichung ergeben sich also aus $\tan^2(x)=0$ oder $\tan^2(x)=-6$.

  Lösung

  Wir wollen die trigonometrische Gleichung $\cos(x)+\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=0$ lösen.

  Wir müssen eine geeignete Winkelbeziehung des Kosinus verwenden, sodass nur noch eine trigonometrische Funktion in der Gleichung mit dem gleichen Argument vorkommt. In diesem Fall wird uns die Beziehung $\cos(x)=\cos\left(2\cdot\frac{x}{2}\right)=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ helfen, denn damit ergibt sich:

  $\begin{align} \cos(x)+\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=0 ~~&\Longleftrightarrow~~ \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=0\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=0\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ \cos\left(\frac{x}{2}\right)=0\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ \frac{x}{2}=\arccos(0)\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ \frac{x}{2}=90°\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ x=180°. \end{align}$

  Die Lösungsmenge der trigonometrischen Gleichung lautet demnach $\mathbb{L}=\{180°\}$.

  Eine Probe ergibt außerdem die wahre Aussage:

  $\begin{align} \cos(180°)+\sin^2\left(\frac{180°}{2}\right)=\cos(180°)+\sin^2\left(90°\right)=-1+1^2=0. \end{align}$

  Wir wollen dann die trigonometrische Gleichung $\cos^2(x)-\cos(2x)-2\sin^2(x)=0$ lösen.

  Für die Lösung werden wir verwenden, dass $-2\sin^2(x)=-\sin^2(x)-\sin^2(x)$ und $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$ ist:

  $\begin{align} \cos^2(x)-\cos(2x)-2\sin^2(x)=0 ~~&\Longleftrightarrow~~ \cos^2(x)-\sin^2(x)-\cos(2x)-\sin^2(x)=0\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ \cos(2x)-\cos(2x)-\sin^2(x)=0\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ \sin^2(x)=0\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ \sin(x)=0\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ x=\arcsin(0)\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ x=0. \end{align}$

  Die Lösungsmenge der trigonometrischen Gleichung lautet demnach: $\mathbb{L}=\{0°\}$.

  Eine Probe ergibt außerdem die wahre Aussage:

  $\begin{align} \cos^2(0°)-\cos(2\cdot 0°)-2\sin^2(0°)=1-1-2\cdot 0=0. \end{align}$

  Letztlich wollen wir die Lösungsmenge von $\cos(2x)-\tan^2(x)=1$ bestimmen.

  Aufgrund des Auftretens des Tangens ist es günstig die Beziehung $\cos(2x)=\frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}$ zu verwenden. Wir erhalten dann nämlich:

  $\begin{align} \cos(2x)-\tan^2(x)=1 ~~&\Longleftrightarrow~~ \frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}-\tan^2(x)=1\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ \frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}=1+\tan^2(x)\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ 1-\tan^2(x)=\left(1+\tan^2(x)\right)^2\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ 1-\tan^2(x)=1+2\tan^2(x)+\tan^4(x)\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ 3\tan^2(x)+\tan^4(x)=0\\ ~~&\Longleftrightarrow~~ \tan^2(x)\cdot\left(3+\tan^2(x)\right)=0.\\ \end{align}$

  Hieraus ergibt sich, dass die Lösungen aus $\tan^2(x)=0$ oder $\tan^2(x)=-3$ folgen. Da ein Quadrat nicht negativ werden kann, entfällt die Gleichung $\tan^2(x)=-3$. Die Gleichung $\tan^2(x)=0$ besitzt als Lösung nur $x=0$. Die Lösungsmenge der trigonometrischen Gleichung ist somit: $\mathbb{L}=\{0°\}$.

  Eine Probe ergibt außerdem die wahre Aussage:

  $\begin{align} \cos(2\cdot 0°)-\tan^2(0°)=1-0=1. \end{align}$

• Bestimme die richtigen Paare.

  Tipps

  In der Gleichung $\cos^2(x)+2\cos(x)=3$ kann man $\cos(x)$ durch bspw. $z$ ersetzen bzw. substituieren. Man erhält dann: $z^2+2z=3$.

  Mit Hilfe der beiden Gleichungen kannst du eine weitere Gesetzmäßigkeit für den Kosinus bzw. für $\cos(x)$ aufstellen.

  Lösung

  1. Wir betrachten als Erstes die Gleichung $\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}$. Dies ist eine trigonometrische Gleichung, die wir lösen können, wenn wir das Verfahren der Substitution anwenden. Hierfür setzen wir $z=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$, womit $z^2+\frac{1}{2}z=\frac{1}{2}$ folgt.
  2. Aus dem Tafelwerk kannst du die Beziehung $\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$ nachschlagen. Außerdem gilt: $\cos(x)=\cos\left(2\cdot\frac{x}{2}\right)$, womit insgesamt $\cos(x)=1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ gilt.
  3. Die Lösungen der trigonometrischen Gleichung $\cos(x)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)=0$ sind $60°$ und $-180°$, denn es gilt: $\cos(60°)-\sin\left(\frac{60°}{2}\right)=\cos(60°)-\sin(30°)=0{,}5-0{,}5=0$ und $\cos(-180°)-\sin\left(\frac{-180°}{2}\right)=\cos(-180°)-\sin(-90°)=-1-(-1)=0$.
  4. Zum Schluss betrachten wir $\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}$. Wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den $\arcsin$ an, dann erhalten wir $\frac{x}{2}=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$. Der Taschenrechner ermittelt für $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$ einen Wert von $30°$, weshalb wir auch gleich etwas kompakter $\frac{x}{2}=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=30°$ schreiben können.

  Die Ausdrücke $2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)-1$ und $2z^2+z+1=0$ bleiben also ohne Zuordnung.

• Arbeite die beiden Lösungen der trigonometrischen Gleichung heraus.

  Tipps

  In der nebenstehenden Gleichung kann man im zweiten Summanden die $3$ ausklammern und es ergibt sich $3\cdot\cos(x)+3\cdot \frac{1-\sin^2(x)}{1+\tan^2(x)}=3$. Anschließend dividiert man noch auf beiden Seiten durch $3$ und erhält:

  $\cos(x)+\frac{1-\sin^2(x)}{1+\tan^2(x)}=1$.

  Die Gleichung $\cos^2(x)-3\cos(x)+4=0$ lässt sich mit Hilfe einer Substitution von $\cos(x)=z$ lösen. Es ergibt sich dann $z^2-3z+4=0$ und diese quadratische Gleichung kann man mit der p-q - Formel lösen. Wenn du die Lösungen für $z_1$ und $z_2$ hast, dann musst du danach noch Resubstituieren.

  Wenn du die beiden Gleichungen nach $x_1$ bzw. $x_2$ umstellen möchtest, dann berechnest du dafür

  $x_1=\arcsin\left(\frac{1+\sqrt{3}}{7}\right)$ oder

  $x_2=\arcsin\left(\frac{1-\sqrt{3}}{7}\right)$

  Dafür kannst du dann einen Taschenrechner zur Hilfe nehmen.

  Lösung

  Wir wollen die nebenstehende trigonometrische Gleichung lösen.

  Zunächst fällt auf, dass wir den Faktor $2$ aus dem zweiten Summanden herausziehen können, womit sich

  $2\cdot \sin(x)+ 2\cdot \frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}=1$

  ergibt. Im nächsten Schritt können wir auf beiden Seiten durch $2$ dividieren, sodass die äquivalente Gleichung $\sin(x)+\frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}=\frac{1}{2}$ entsteht. Nun bringen wir die $\frac{1}{2}$ noch auf die andere Seite und erhalten damit: $\sin(x)+\frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}-\frac{1}{2}=0$.

  Mit Hilfe der Beziehung $\cos(2x)=\frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}$ erhalten wir: $\sin(x)+\cos(2x)-\frac{1}{2}=0$. Des Weiteren wissen wir, dass $\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$ gilt. Es ergibt sich demnach: $\sin(x)+1-2\sin^2(x)-\frac{1}{2}=0$. Nach dem Zusammenfassen von $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ und Division durch $-2$ erhalten wir:

  $\sin^2(x)-\frac{1}{2}\sin(x)-\frac{1}{4}=0$.

  Wenn wir nun $\sin(x)$ durch $z$ ersetzen, dann folgt:

  $z^2-\frac{1}{2}z-\frac{1}{4}=0$.

  Diese quadratische Gleichung können wir mit Hilfe der p-q - Formel lösen. Es ergibt sich dann:

  $z_{1,2}=\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{4}{16}}=\frac{1}{4}\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$.

  Demzufolge gelten $\sin(x_1)=z_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ oder $\sin(x_2)=z_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$. Durch Anwenden des Arkussinus und unter Zuhilfenahme des Taschenrechners erhalten wir als Lösungen $x_1=\arcsin(z_1)=54°$ oder $x_2=\arcsin(z_2)=-18°$.

  Eine Probe liefert mit Hilfe des Taschenrechners die beiden wahren Aussagen:

  $\begin{align} 2\cdot \sin(54°)+ \frac{2-2\cdot\tan^2(54°)}{1+\tan^2(54°)}&=1\\ 2\cdot \sin(-18°)+ \frac{2-2\cdot\tan^2(-18°)}{1+\tan^2(-18°)}&=1. \end{align}$