Goldener Schnitt

Was ist der Goldene Schnitt?

Der Goldene Schnitt ist ein Phänomen, das sich in vielen Bereichen unserer Welt wiederfindet. Es handelt sich dabei um ein Verhältnis zwischen zwei Streckenlängen, das für das menschliche Auge als besonders ansprechend empfunden wird. Dementsprechend findet der Goldene Schnitt insbesondere in Bereichen wie Kunst oder Architektur Anwendung. Schau dir beispielsweise das Alte Rathaus in Leipzig an:

Der Turm teilt das Gebäude in einem ästhetischen Verhältnis, im Goldenen Schnitt. Doch was heißt das eigentlich?

Goldener Schnitt – Definition

Mithilfe der Mathematik kann man das Phänomen sehr präzise beschreiben. Der Goldene Schnitt stellt das Teilungsverhältnis einer Strecke durch zwei Teilstrecken $a$ und $b$ dar. $a$ ist dabei die größere und $b$ die kleinere Teilstrecke.

In Worten beschrieben heißt das:

Per Definition ist $a$ die größere Teilstrecke. Würde man $b$ per Definition als größere Strecke betrachten, müsste man die Gleichung umformulieren zu $\dfrac{b}{a} = \dfrac{a + b}{b}$.

Goldener Schnitt – Konstruktion

Wir können den Goldenen Schnitt zu einer gegebenen Strecke auch konstruieren. Dazu zeichnen wir uns zunächst eine Strecke $s$, die die Punkte $A$ und $B$ miteinander verbindet. Wir möchten diese Strecke $s$ nun so teilen, dass sie die Summe zweier Strecken $a$ und $b$ ist, deren Längen im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Dafür konstruieren wir zunächst mithilfe dieser Strecke $s$ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe $\dfrac{s}{2}$.

Vom neuen Punkt $C$ aus zeichnen wir einen Kreisbogen mit dem Radius $\dfrac{s}{2}$ und erhalten so den Schnittpunkt $D$ mit der Hypotenuse.

Zuletzt zeichnen wir noch einen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt $A$ und dem Radius $\vert AD \vert$, also der Länge der Strecke zwischen $A$ und $D$.

Der Schnittpunkt S dieses Kreisbogens mit der Strecke $s$ teilt die Strecke zwischen $A$ und $B$ im Goldenen Schnitt. Die längere Teilstrecke zwischen $A$ und $S$ ist dabei $a$, die kürzere Teilstrecke zwischen $S$ und $B$ ist unser $b$.

Goldener Schnitt – Beweis

Wir wollen nun den Goldenen Schnitt mithilfe der obigen Konstruktion und damit mit dem Satz des Pythagoras beweisen. Wir stellen zunächst den Satz des Pythagoras mit den obigen Beziehungen auf: Die beiden Katheten kennen wir. Sie haben die Länge $s$ und $\dfrac{s}{2}$. Auch die Hypotenuse kennen wir aufgrund unserer Konstruktion. Die Länge der Hypotenuse ist gleich $\dfrac{s}{2}$ (Radius unseres ersten Kreisbogens) plus $a$ (Radius unseres zweiten Kreisbogens). Mit diesen Werten stellen wir nun eine Gleichung auf, die dem Satz des Pythagoras entspricht, und formen diese um.

$\begin{array}{rccccccl} s^2 & + & (\dfrac{s}{2})^2 & = & (a & + & \dfrac{s}{2})^2 & \\ \\ s^2 & + & \dfrac{s^2}{4} & = & (a & + & \dfrac{s}{2})^2 & \\ \\ s^2 & \cdot & (1 + \dfrac{1}{4}) & = & (a & + & \dfrac{s}{2})^2 & \\ \\ s^2 & \cdot & \dfrac{5}{4} & = & (a & + & \dfrac{s}{2})^2 & \vert \sqrt{ } \\ \\ s & \cdot & \dfrac{\sqrt{5}}{2} & = & a & + & \dfrac{s}{2} & \vert – \dfrac{s}{2} \\ \\ s & \cdot & \dfrac{\sqrt{5}}{2} – \dfrac{s}{2} & = & a & & & \\ \\ s & \cdot & (\dfrac{\sqrt{5}}{2} – \dfrac{1}{2}) & = & a & & & \\ \\ s & \cdot & (\dfrac{\sqrt{5}~–~1}{2}) & = & a & & & \vert s = a + b \\ \end{array}$

Nun können wir den Fakt nutzen, dass $s = a + b$ ist (unsere Gesamtstrecke $s$ ist gleich der Summe der Teilstrecken $a$ und $b$).

$\begin{array}{rccccl} (a + b) & \cdot (\dfrac{\sqrt{5}~–~1}{2}) & = & a & & \vert \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1}\\ \\ a + b & & = & a & \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} & \vert : a\\ \\ \dfrac{a + b}{a} & & = & & \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} & \\ \end{array}$

Wir haben nun gezeigt, dass $\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1}$ ist. Wenn wir jetzt noch durch die obige Gleichung zeigen, dass $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1}$ ist, haben wir dadurch bewiesen, dass $\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{a}{b}$ gilt. Wir beginnen wieder bei der vorletzten Zeile der letzten Gleichungsumformung.

$\begin{array}{rccccccl} a & + & b & = a & \cdot & \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} & & \vert – a \\ \\ & & b & = a & \cdot & \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} & – a & \\ \\ & & b & = a & \cdot & (\dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} – 1) & & \\ \\ & & b & = a & \cdot & (\dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} – \dfrac{\sqrt{5}~–~1}{\sqrt{5}~–~1}) & & \\ \\ & & b & = a & \cdot & \dfrac{3~–~\sqrt{5}}{\sqrt{5}~–~1} & & \vert : a \\ \\ & & \dfrac{b}{a} & = & \dfrac{3~–~\sqrt{5}}{\sqrt{5}~–~1} & & \vert \text{Kehrwert bilden} \\ \\ & & \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{\sqrt{5}~–~1}{3~–~\sqrt{5}} & & \\ \end{array}$

Das ist noch nicht das Ergebnis, das wir haben wollen. Woran liegt das? Wie jeder andere Bruch auch kann dieser, auch wenn er mit den Wurzeln recht kompliziert aussieht, erweitert werden. Da wir auf $\dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1}$ kommen wollen, müssen wir den Bruch mit einem Term erweitern, der die Wurzel aus dem Zähler entfernt. Das schaffen wir in diesem Fall mit der dritten binomischen Formel. Also erweitern wir und formen wieder um:

$\begin{array}{rcl} \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{\sqrt{5}~–~1}{3~–~\sqrt{5}} \\ \\ \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{(\sqrt{5}~–~1) \cdot (\sqrt{5} + 1)}{(3~–~\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5} + 1)} \\ \\ \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{5~–~1}{3\sqrt{5} + 3~–~5~–~\sqrt{5}} \\ \\ \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{4}{2\sqrt{5}~–~2} \\ \\ \dfrac{a}{b} & = & \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} \\ \end{array}$

Jetzt haben wir einerseits gezeigt, dass $\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1}$ gilt, und andererseits gezeigt, dass $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1}$ gilt. Damit haben wir bewiesen, dass unsere Konstruktion die Ausgangsstrecke im Goldenen Schnitt $\left(\dfrac{a}{b} =\dfrac{a + b}{a}\right)$ teilt. Zudem haben wir nebenbei den Wert dieses speziellen Verhältnisses berechnet. Es ist $\dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} \approx 1{,}618$.

Goldener Schnitt – Zusammenhang mit der Fibonacci-Folge

Da der Wert des Goldenen Schnitts eine irrationale Zahl ist, kann sie nicht durch einen Bruch ganzer Zahlen dargestellt werden. Man kann sich aber durch die sogenannte Fibonacci-Folge an die Zahl annähern. Zur Erinnerung:

Je größer die Zahlen der Folge werden, desto eher nähert sich der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder dem Goldenen Schnitt $\dfrac{2}{\sqrt{5}~–~1} \approx 1{,}618$ an. Wir schauen uns das einmal anhand der ersten Folgenglieder an:

Goldener Schnitt – Zusammenfassung

Der Goldene Schnitt lässt sich mathematisch durch die Beziehung zweier Streckenlängen $a$ und $b$ ausdrücken, wobei $a$ die größere Streckenlänge ist:

Der Goldene Schnitt kann als irrationale Zahl durch die Fibonacci-Folge sehr gut angenähert werden. Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Glieder der Fibonacci-Folge $a_n$ nähern sich mit zunehmendem $n$ dem Goldenen Schnitt an.