Strecken in Verhältnisse teilen – innere Teilung

Strecken in Verhältnisse teilen – innere Teilung Übung

• Gib an, wie du eine Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $a:b$ per innerer Teilung zerlegen kannst.

  Tipps

  Hier abgebildet ist der vierte Schritt beim Teilen einer Strecke $\overline{AB}$ in ein Verhältnis von $3:2$.

  Im letzten Schritt liegen auf der Strecke $\overline{AB}$ genau $a+b$ viele gleich große Teilstrecken vor. Diese müssen nach dem vorgegebenen Verhältnis abgezählt werden.

  Lösung

  Möchtest du eine Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $a:b$ teilen, so gehst du wie folgt vor:

  1. Zunächst zeichnest du einen Hilfsstrahl durch den Punkt $A$. Denk daran, dass der Hilfsstrahl lang genug ist und der Winkel im Punkt $A$ spitz sein sollte.
  2. Danach trägst du auf dem Hilfsstrahl mit einem Zirkel $a+b$ viele gleich große Strecken ab.
  3. Den letzten Schnittpunkt auf dem Hilfsstrahl verbindest du dann mit dem Punkt $B$ der Strecke $\overline{AB}$.
  4. Per Parallelverschiebung verbindest du als Nächstes alle anderen Schnittpunkte auf dem Hilfsstrahl mit der Strecke $\overline{AB}$.
  5. Zum Schluss musst du $a$ viele Teilstrecken ausgehend vom Punkt $A$ abzählen. Es bleiben dann genau $b$ viele Teilstrecken übrig.

• Beschreibe, wie du die Strecke $\overline{AB}$ in das Verhältnis $3:2$ teilst.

  Tipps

  Teilt man eine Strecke $\overline{AB}$ in ein Verhältnis $a:b$, dann muss die Strecke in $a+b$ gleich große Abschnitte aufgeteilt werden.

  Genau so viele Strecken benötigt man auf dem Hilfsstrahl.

  Ist eine Strecke $\overline{AB}$ in $a+b$ gleich große Teilstrecken geteilt, so liegt der Teilungspunkt für das Verhältnis $a:b$ hinter $a$ Teilstrecken.

  Lösung

  Wir möchten in dieser Aufgabe eine Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $3:2$ teilen. Hierzu gehen wir wie folgt vor:

  • Wir zeichnen uns einen Hilfsstrahl durch den Punkt $A$ mit einem spitzen Winkel in $A$.
  • Dann tragen wir mit einem Zirkel drei plus zwei, also fünf, gleich große Strecken auf dem Hilfsstrahl ab.
  • Anschließend verbinden wir mit einem Geodreieck den letzten Schnittpunkt auf dem Hilfsstrahl mit dem Punkt $B$ der Strecke $\overline{AB}$.
  • Nun führen wir mithilfe eines weiteren Geodreiecks eine Parallelverschiebung dieser Verbindung durch alle anderen Schnittpunkte durch.
  • Dadurch entstehen auf der Strecke $\overline{AB}$ fünf gleich große Teilstrecken. Ausgehend vom Punkt $A$ müssen wir jetzt drei Teilstrecken abzählen. Dann bleiben genau zwei weitere Teilstrecken übrig.

  Somit ist die Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $3:2$ per innerer Teilung geteilt worden.

• Ermittle die Lage der gegebenen Teilungspunkte.

  Tipps

  Auf der Strecke $\overline{AB}$ gibt es $20$ gleich große Teilstrecken, wenn jede Teilstrecke die Länge $1$ hat.

  Wenn jede Teilstrecke die Länge $2$ hat, erhältst du $10$ gleich große Teilstrecken.

  Wenn du die Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $a:b$ teilst, dann bildest du $a+b$ gleich große Teilstrecken auf $\overline{AB}$. Anschließend zählst du vom Punkt $A$ ausgehend $a$ viele Teilstrecken ab. Genau an dieser Stelle liegt der gesuchte Teilungspunkt.

  Lösung

  Lass uns diese Aufgabe gemeinsam anschauen: Gegeben ist eine Zahlengerade, auf der zwei Positionen markiert sind: der Punkt $A$ bei $-2$ und der Punkt $B$ bei $18$.

  Es sind zudem die Teilungsverhältnisse dreier Teilungspunkte der Strecke $\overline{AB}$ gegeben. Diese lauten:

  • $T_1$ bei $2:3$
  • $T_2$ bei $1:3$
  • $T_3$ bei $6:4$

  Nun gehen wir folgendermaßen vor:

  1. Wir bestimmen, in wie viele Teilstrecken die Strecke $\overline{AB}$ geteilt werden muss. Für ein Verhältnis $a:b$ wird die Strecke in $a+b$ gleich große Teilstrecken geteilt.
  2. Dann schauen wir, wie viele Teilstrecken wir ausgehend vom Punkt $A$ „gehen“ müssen, um an den Teilungspunkt zu gelangen.

  Unsere Strecke reicht von $-2$ bis $18$. Wenn wir die Zahlengerade in Einerschritte aufteilen, haben wir von $-2$ bis $18$ genau $20$ Teilstrecken. Wir müssen jetzt die Einteilung der Zahlengeraden jeweils so anpassen, dass die Anzahl der Teilstrecken zu dem Teilungsverhältnis passt.

  Teilungspunkt $T_1$

  Gegeben ist das Verhältnis $2:3$. Wir teilen die Strecke $\overline{AB}$ in $2+3$, also $5$, gleich große Teilstrecken. Wir teilen anschließend $20$ durch $5$ und erhalten eine Schrittweite von $4$. Wir müssen die Zahlengerade demnach in Viererschritte teilen. Nun gehen wir von Punkt $A$ aus $2$ Viererschritte und landen somit bei $-2+2\cdot 4=6$. Unser Teilungspunkt $T_1$ liegt also bei der $6$.

  Teilungspunkt $T_2$

  Das Vorgehen ist analog zu $T_1$. Gegeben ist das Verhältnis $1:3$, also $1+3=4$ gleich große Teilstrecken. Wir teilen jetzt $20$ durch $4$ und erhalten eine Schrittweite von $5$. Wir gehen demnach von Punkt $A$ aus einen Fünferschritt und landen somit bei $-2+1\cdot 5=3$. Unser Teilungspunkt $T_2$ liegt also bei der $3$.

  Teilungspunkt $T_3$

  Gegeben ist das Verhältnis $6:4$, also $10$ gleich große Teilstrecken. Wir haben demnach eine Schrittweite von $\frac{20}{10}=2$. Wir gehen von Punkt $A$ aus $6$ Zweierschritte und landen somit bei $-2+6\cdot 2=10$. Unser Teilungspunkt $T_3$ liegt also bei der $10$.

• Bestimme die gesuchte Entfernung.

  Tipps

  Du kannst diese Aufgabe auch zeichnerisch lösen. Nimm hierzu an, dass ein Zentimeter auf deiner Zeichnung einem Kilometer entspricht. Zeichne dann eine Strecke $\overline{AB}$ der Länge $12\ \text{cm}$ und teile diese in einem Verhältnis von $2:4$. Miss anschließend die Länge der Strecke von $A$ bis zum Teilungspunkt $T$.

  Auch rechnerisch lässt sich die Aufgabe gut lösen. Dafür teilst du die Strecke von $12\ \text{km}$ in gleich große Teilstrecken. Die Anzahl dieser Teilstrecken erhältst du aus dem Verhältnis $2:4$.

  Es handelt sich um $2+4 = 6$ gleich große Teilstrecken.

  Lösung

  Lass uns diese Aufgabe gemeinsam zuerst rechnerisch lösen:

  Wir teilen die Strecke von $12$ Kilometer Länge in $2+4=6$ gleich große Teilstrecken. So erhalten wir $6$ Teilstrecken mit einer Länge von je $\frac{12}6=2$ Kilometern. Nun gehen wir von Punkt $A$ aus $2\cdot 2=4$ Kilometer bis zu dem Zuhause von Tatjana $T$. Damit hat die Strecke $\overline{AT}$ eine Länge von $4$ Kilometern.

  Diese Aufgabe kannst du auch zeichnerisch lösen. Hierzu gehst du wie folgt vor:

  1. Nimm zunächst an, dass ein Zentimeter auf deiner Zeichnung einem Kilometer entspricht.
  2. Zeichne dann die Strecke $\overline{AB}$ mit einer Länge von $12\ \text{cm}$.
  3. Zeichne einen Hilfsstrahl durch den Punkt $A$.
  4. Trage mit einem Zirkel $2+4=6$ gleich große Strecken auf dem Hilfsstrahl ab.
  5. Verbinde den letzten Schnittpunkt mit $B$.
  6. Führe eine Parallelverschiebung dieser Verbindung durch alle anderen Schnittpunkte durch.
  7. Zähle das Verhältnis $2:4$ auf der Strecke $\overline{AB}$ ab und markiere den Punkt $T$.
  8. Miss die Strecke $\overline{AT}$ ab und beachte den gewählten Maßstab.

• Gib an, in welchem Verhältnis der jeweilige Teilungspunkt die Strecke $\overline{AB}$ teilt.

  Tipps

  Hier abgebildet ist die Strecke $\overline{AB}$, welche in einem Verhältnis von $3:2$ geteilt wurde.

  Wenn eine Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $a:b$ per innerer Teilung geteilt ist, dann gilt:

  Um den Teilungspunkt zu finden, musst du von $A$ ausgehend $a$ Teilstrecken abzählen.

  Lösung

  Es ist die Strecke $\overline{AB}$ gegeben, die in fünf gleich große Teilstrecken geteilt ist. Zudem sind drei Teilungspunkte $T_1$, $T_2$ und $T_3$ gegeben. Gesucht sind die zugehörigen Teilungsverhältnisse.

  Es gilt:

  Ist eine Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $a:b$ per innerer Teilung geteilt, so liegt der Teilungspunkt $T$ ausgehend von dem Punkt $A$ hinter $a$ Teilstrecken.

  Also betrachten wir, hinter der wievielten Teilstrecke der gegebene Teilungspunkt liegt. Dieser Wert entspricht dem ersten Wert unseres Verhältnisses. Da wir insgesamt fünf Teilstrecken haben, erhalten wir den zweiten Wert aus der Differenz.

  Teilungspunkt $T_1$

  Vor diesem Punkt befindet sich nur eine Teilstrecke. Somit ist unser erster Wert die $1$. Den zweiten erhalten wir aus $5-1$, also $4$. $T_1$ teilt die Strecke $\overline{AB}$ also in einem Verhältnis von $1:4$.

  Teilungspunkt $T_2$

  Wir gehen hier genauso vor wie für $T_1$. Dadurch ergibt sich, dass der Teilungspunkt $T_2$ die Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $2:3$ teilt.

  Teilungspunkt $T_3$

  Der Teilungspunkt $T_3$ teilt die Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $4:1$.

• Prüfe die Aussagen zu einer beliebigen Strecke $\overline{AB}$ auf ihre Richtigkeit.

  Tipps

  Ein Drittel der roten Strecke entspricht der Hälfte der gelben Strecke.

  Teilt ein Teilungspunkt $T$ eine Strecke $\overline{AB}$ im Verhältnis $1:1$ per innerer Teilung, so erhält man zwei gleich lange Strecken $\overline{AT}$ und $\overline{TB}$.

  Dieselben Strecken ergeben sich bei einem Verhältnis von $20:20$ bzw. $30:30$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe solltest du Aussagen zu einer beliebigen Strecke $\overline{AB}$ prüfen.

  Es gilt allgemein:

  Teilt ein Teilungspunkt $T$ die Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $a:b$ per innerer Teilung, ist $\frac 1a\cdot\overline{AT}$ genauso lang wie $\frac 1b\cdot\overline{BT}$.

  Wenn wir nun ein Verhältnis von $9:1$ betrachten, so gilt laut der obigen Tatsache:

  $ \begin{array}{lllll} \frac 19\cdot\overline{AT} &=& \frac 11\cdot\overline{TB} && \vert\cdot 9 \\ \overline{AT} &=& 9\cdot\overline{TB} \end{array} $

  Es ist also wahr, dass die Strecke $\overline{AT}$ die neunfache Länge der Strecke $\overline{BT}$ hat, wenn der Teilungspunkt $T$ die Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $9:1$ per innerer Teilung teilt.

  Zudem gilt dann:

  Teilt der Teilungspunkt $T$ die Strecke $\overline{AB}$ in einem Verhältnis von $4:8$ per innerer Teilung, ist $\frac 14\cdot\overline{AT}$ genauso lang wie $\frac 18\cdot\overline{BT}$.

  Des Weiteren liefert eine innere Teilung für das Verhältnis $50:50$ für jede Strecke eine Lösung. Diese entspricht der Lösung für die Verhältnisse $1:1$ sowie $2:2$ sowie $3:3$ usw. Es teilt die Strecke $\overline{AB}$ genau in der Mitte.