Grenzwerte von Funktionen für x → xₒ – Testeinsetzung

Grenzwerte von Funktionen für x → xₒ – Testeinsetzung Übung

• Benenne die einzelnen Elemente in der Limes-Schreibweise.

  Tipps

  An einer Definitionslücke besitzt eine Funktion keinen Funktionswert.

  Lösung

  Ist eine Funktion an einem Punkt nicht definiert, dann kann man sie nicht direkt an dieser Definitionslücke untersuchen. Daher nähert man sich dieser Stelle mit Grenzwerten an.

  Dazu verwendet man die Limes-Schreibweise, welche du in der Abbildung siehst:

  • Wir kürzen den Limes mit lim ab.
  • Unter dem Limes stehen die Variable $x$ und der Wert, dem wir uns nähern wollen, das ist die Definitionslücke des Funktionsterms. In unserem Beispiel liegt diese bei $x = 2$.
  • Darunter erkennen wir, ob es sich bei dem Ergebnis $4$ um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Grenzwert handelt. In unserem Beispiel gilt $x>2$, wir nähern uns dem Wert also von rechts, daher steht das Ergebnis $4$ für den rechtsseitigen Grenzwert.
  • Hinter dem Limes steht der Funktionsterm, in unserem Beispiel $\frac{x^2-4}{x-2}$.

• Vervollständige die Testeinsetzung zur Bestimmung des linksseitigen Grenzwertes.

  Tipps

  Setze in den Funktionsterm $\frac{x^2-4}{x-2}$ die einzelnen $x$-Werte ein.

  Beispiel:

  Wir setzen $x=1,8$ in die Funktionsgleichung $\frac{x^2-4}{x-2}$ ein und erhalten:

  $f(1,8) = \frac{1,8^2-4}{1,8-2} = \frac{-0,76}{-0,2} = 3,8$

  Lösung

  Bei einigen Funktionen gibt es bestimmte $x$-Werte, welche man nicht in die Funktionsgleichung einsetzen darf. Man spricht dann von einer Definitionslücke. Die Funktion hat an dieser Stelle keinen Funktionswert.
  Da man eine Funktion nicht direkt an einer Definitionslücke untersuchen kann, nähert man sich dieser Stelle mit dem Limes.

  In unserem Beispiel lautet die Funktion $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$.
  Da wir nicht durch Null teilen dürfen, also der Nenner nicht Null sein darf, hat die Funktion bei $x_0=2$ eine Definitionslücke.
  Wir nähern uns nun von links der Definitionslücke. Dazu setzen wir die gegebenen $x$-Werte in die Funktionsgleichung ein und erhalten:

  $x=1,5 \quad f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{1,5^2-4}{1,5-2} = \frac{-1,75}{-0,5} = 3,5$
  $x=1,9 \quad f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{1,9^2-4}{1,9-2} = \frac{-0,39}{-0,1} = 3,9$
  $x=1,99 \quad f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{1,99^2-4}{1,99-2} = \frac{-0,0399}{-0,01} = 3,99$
  $x=1,999 \quad f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{1,999^2-4}{1,999-2} = \frac{-0,003999}{-0,001} = 3,999$
  Wir erkennen, dass die Funktionswerte gegen $4$ gehen. Dies ist der linksseitige Grenzwert.

• Bestimme den Definitionsbereich der Funktionen.

  Tipps

  Bestimme jeweils zuerst die Definitionslücke. Dazu muss der Nenner gleich Null gesetzt werden.

  Beispiel:

  $f(x)=\frac{x}{x-4}$

  $\mathbb{D}=x \in \mathbb{R}, x \neq 4$

  Lösung

  Bei gebrochenrationalen Funktionen enthält der Funktionsterm einen Bruch. Es kann daher sein, dass für bestimmte Werte von $x$ eine Null im Nenner dieses Bruchs entsteht. Da es in der Mathematik nicht erlaubt ist durch Null zu teilen, ist die Funktion für diese Werte nicht definiert. Wir nennen sie Definitionslücken.
  Um den Definitionsbereich, also alle $x$-Werte, für die der Funktionsterm definiert ist, zu bestimmen, müssen wir uns zunächst überlegen, ob es Definitionslücken gibt. Dazu bestimmen wir die Nullstellen des Nenners.
  Der Definitionsbereich enthält dann alle rationalen Zahlen, außer den Definitionslücken ($d_1, d_2, ...$). Wir schreiben:
  $\mathbb{D}=x \in \mathbb{R}, x \neq d_1, x \neq d_2, ...$

  Wir bestimmen also jeweils zuerst die Definitionslücke, indem wir die Nullstelle(n) des Nenners berechnen und geben dann den Definitionsbereich an:

  Beispiel 1: $f(x)=\frac{x}{x-1}$
  Nullstelle des Nenners: $x-1=0 \Leftrightarrow x=1$
  Definitionslücke: $x_0=1$
  Definitionsbereich: $\mathbb{D}=x \in \mathbb{R}, x \neq 1$

  Beispiel 2: $f(x)=\frac{x+3}{x^2-1}$
  Nullstellen des Nenners: $x^2-1=0 \Leftrightarrow x=\pm 1$
  Definitionslücken: $x_1=1$ und $x_2=-1$
  Definitionsbereich: $\mathbb{D}=x \in \mathbb{R}, x \neq 1, x \neq -1$

  Beispiel 3: $f(x)=\frac{5}{x+1}-1$
  Nullstelle des Nenners: $x+1=0 \Leftrightarrow x=-1$
  Definitionslücke: $x_0=-1$
  Definitionsbereich: $\mathbb{D}=x \in \mathbb{R}, x \neq -1$

  Beispiel 4: $f(x)=\frac{3x}{x^2}$
  Nullstelle des Nenners: $x^2=0 \Leftrightarrow x=0$
  Definitionslücke: $x_0=0$
  Definitionsbereich: $\mathbb{D}=x \in \mathbb{R}, x \neq 0$

• Ermittle das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke.

  Tipps

  Du kannst den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert mithilfe einer Testeinsetzung bestimmen.

  Wenn die Funktionswerte bei der Texteinsetzung immer größer oder immer kleiner werden, dann geht der Grenzwert gegen $+\infty$ oder $-\infty$.

  Lösung

  Definitionslücken treten immer dann auf, wenn bestimmte $x$-Werte nicht in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen. Die Definitionslücken einer gebrochenrationalen Funktion ergeben sich aus den Nullstellen des Nenners.

  Beispiel 1:
  Um die Definitionslücke unserer Funktion $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}+1$ zu bestimmen, berechnen wir die Nullstelle des Nenners:
  $x-1=0 \Leftrightarrow x=1$
  Die Definitionslücke liegt bei $x_0=1$.

  Wir können nun den linksseitigen Grenzwert durch eine Testeinsetzung bestimmen: $\begin{array}{l|c} x& \text{Funktionswert} \\ \hline 0,5 & 2,5 \\ 0,9 & 2,9 \\ 0,99 & 2,99 \end{array}$
  Wir erkennen, dass sich die Funktionswerte dem Wert $3$ annähern.

  Um den rechtsseitigen Grenzwert zu ermitteln, führen wir ebenfalls eine Testeinsetzung durch: $\begin{array}{l|c} x& \text{Funktionswert} \\ \hline 1,5 & 3,5 \\ 1,1 & 3,1 \\ 1,01 & 3,01 \end{array}$
  Wir erkennen, dass sich auch hier die Funktionswerte dem Wert $3$ annähern.

  Insgesamt gilt somit: $\lim\limits_{x \to 1} = 3$.

  Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert die gleiche reelle Zahl sind, sprechen wir von einer hebbaren Definitionslücke.

  Beispiel 2:
  Um die Definitionslücke unserer Funktion $f(x)=\frac{12}{x+3}$ zu bestimmen, berechnen wir die Nullstelle des Nenners:
  $x+3=0 \Leftrightarrow x=-3$
  Die Definitionslücke liegt bei $x_0=-3$.

  Wir können nun den linksseitigen Grenzwert durch eine Testeinsetzung bestimmen: $\begin{array}{l|c} x& \text{Funktionswert} \\ \hline -3,5 & -24 \\ -3,1 & -120 \\ -3,01 & -1200 \end{array}$
  Wir erkennen, dass die Funktionswerte immer kleiner werden. Sie nähern sich also $-\infty$.

  Um den rechtsseitigen Grenzwert zu ermitteln, führen wir ebenfalls eine Testeinsetzung durch: $\begin{array}{l|c} x& \text{Funktionswert} \\ \hline -2,5 & 24 \\ -2,9 & 120 \\ -2,99 & 1200 \end{array}$
  Wir erkennen, dass die Funktionswerte immer größer werden. Sie nähern sich also $+\infty$.

  Der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert gehen gegen $-\infty$ bzw. $+\infty$, daher liegt eine Polstelle vor.

• Beschreibe, was man unter einer Definitionslücke versteht.

  Tipps

  In der Mathematik darf nicht durch Null geteilt werden.

  Bruch: $\quad \dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$

  Lösung

  Definitionslücken treten in der Mathematik dann auf, wenn bestimmte $x$-Werte nicht in einen Funktionsterm eingesetzt werden dürfen. Die Funktion hat an dieser Stelle keinen Funktionswert. Die Aussage 'Eine Definitionslücke ist eine Stelle, an der eine Funktion keinen Funktionswert hat.' ist also richtig.

  Gebrochenrationale Funktionen enthalten einen Bruch im Funktionsterm. In der Mathematik darf nicht durch Null geteilt werden. Daher darf der Nenner nicht Null ergeben. Die Denfinitionslücken entsprechen also den Nennernullstellen. Die Aussage 'Die Definitionslücken einer gebrochenrationalen Funktion ergeben sich aus den Nullstellen des Zählers.' ist somit falsch.

  Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen. Er enthält also alle $x$-Werte, für die die Funktion definiert ist. Die Aussage 'Der Definitionsbereich enthält alle $y$-Werte, die möglich sind.' ist also falsch, es handelt sich nämlich um die $x$-Werte.

  'Um zu untersuchen, wie sich eine Funktion in der Nähe einer Definitionslücke verhält, nähert man sich dieser mit Hilfe des Grenzwertes.' Diese Aussage ist richtig.

• Untersuche, ob die Funktion eine Polstelle, eine hebbare Definitionslücke oder keines von beiden besitzt.

  Tipps

  Bestimme jeweils zuerst die Definitionslücke, falls vorhanden.

  Um zu entscheiden, ob es sich um eine hebbare Definitionslücke oder eine Polstelle handelt, musst du den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwert bestimmen.
  Führe dazu eine Testeinsetzung durch.

  Lösung

  Hat eine Funktion eine Definitionslücke, so unterscheiden wir zwischen hebbaren Definitionslücken und Polstellen.

  Wir untersuchen zunächst die gegebenen Funktionen auf Definitionslücken:

  Folgende Funktionen haben keine Definitionslücke, alle $x \in \mathbb{R}$ dürfen eingesetzt werden:

  • $f(x)=x^2+1$
  • $f(x)=-3 \cdot 4^x$

  Bei folgenden gebrochenrationalen Funktionen können wir die Definitionslücke als die Nullstelle des Nenners bestimmen:

  • $f(x)=\frac{5x}{x+2} \quad$ $x+2=0 \Leftrightarrow x=-2 \quad$ Definitionslücke: $x_0=-2$
  • $f(x)=\frac{x^2+9}{x+3} \quad$ $x+3=0 \Leftrightarrow x=-3 \quad$ Definitionslücke: $x_0=-3$
  • $f(x)=\frac{x^2-4}{8-4x} \quad$ $8-4x=0 \Leftrightarrow x=2 \quad$ Definitionslücke: $x_0=2$

  Wir untersuchen nun das Verhalten der Definitionslücke, indem wir durch eine Testeinsetzung jeweils den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert bestimmen. Ist der links- und der rechtsseitige Grenzwert eine identische, reelle Zahl, spricht man von einer hebbaren Definitionslücke. Andernfalls gehen die Grenzwerte nach plus oder minus unendlich und es liegt eine Polstelle vor.

  $f(x)=\dfrac{5x}{x+2}$, Definitionslücke: $x_0=2$

  Bestimmung des linksseitigen Grenzwertes durch Testeinsetzung:
  $\begin{array}{l|c} x& \text{Funktionswert} \\ \hline -2,5 & 25 \\ -2,1 & 105 \\ -2,01 & 1005 \\ \text{geht gegen} & \infty \\ \end{array}$

  Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwertes durch Testeinsetzung:
  $\begin{array}{l|c} x& \text{Funktionswert} \\ \hline -1,5 & -22,5 \\ -1,9 & -180,5 \\ -1,99 & -1980,05 \\ \text{geht gegen} & -\infty \\ \end{array}$

  Der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert gehen gegen $-\infty$ bzw. $+\infty$, daher liegt eine Polstelle vor.

  $f(x)=\dfrac{x^2+9}{x+3}, $ Definitionslücke: $x_0=-3$

  Bestimmung des linksseitigen Grenzwertes durch Testeinsetzung:
  $\begin{array}{l|c} x& \text{Funktionswert} \\ \hline -3,5 & 6,5 \\ -3,1 & 6,1 \\ -3,01 & 6,01 \\ \text{geht gegen} & 6 \\ \end{array}$

  Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwertes durch Testeinsetzung:
  $\begin{array}{l|c} x& \text{Funktionswert} \\ \hline -2,5 & 5,5 \\ -2,9 & 5,9 \\ -2,99 & 5,99 \\ \text{geht gegen} & 6\\ \end{array}$

  Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert sind hier die gleiche reelle Zahl. Insgesamt gilt: $\lim\limits_{x \to -3} \frac{x^2+9}{x+3} = 6$
  Es handelt sich daher um eine hebbare Definitionslücke.

  $f(x)=\dfrac{x^2-4}{8-4x}$, Definitionslücke: $x_0=2$

  Bestimmung des linksseitigen Grenzwertes durch Testeinsetzung:
  $\begin{array}{l|c} x& \text{Funktionswert} \\ \hline 1,5 & -0,875 \\ 1,9 & -0,975 \\ 1,99 & -0,9975 \\ \text{geht gegen} & -1 \\ \end{array}$

  Bestimmung des rechtsseitigen Grenzwertes durch Testeinsetzung:
  $\begin{array}{l|c} x& \text{Funktionswert} \\ \hline 2,5 & -1,125 \\ 2,1 & -1,025 \\ 2,01 & -1,0025 \\ \text{geht gegen} & -1\\ \end{array}$

  Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert sind hier die gleiche reelle Zahl. Insgesamt gilt: $\lim\limits_{x \to -3} \frac{x^2-4}{8-4x} = -1$
  Es handelt sich daher um eine hebbare Definitionslücke.