Große Zahlen runden
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Grundlagen zum Thema Große Zahlen runden
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, große Zahlen zu runden.
Zunächst lernst du, welche Regeln du beim Runden beachten musst. Anschließend lernst du, welche Stellen einer Zahl du beim Runden berücksichtigen musst. Abschließend lernst du an unterschiedlichen Beispielen, wie du eine Zahl auf verschiedene Stellen runden kannst.
Lerne, wie du große Zahlen runden kannst, indem du Hubert Hummel bei seinem Arbeitsbericht hilfst.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie große Zahlen runden, nächstkleinere Stelle, Rundungsregel, abrunden, aufrunden und Überschlag.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du kleine Zahlen rundest.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das Rechnen mit gerundeten Zahlen zu lernen.
Transkript Große Zahlen runden
Hubert Hummel muss jede Woche einen Arbeitsbericht abgeben und zeigen, wie viele Blüten er pro Tag angeflogen ist. Da es einfacher ist mit geraden Zahlen zu rechnen, muss er dazu Große Zahlen runden. Wir können große Zahlen, genauso wie auch kleinere Zahlen, runden. Hierbei gelten dieselben Regeln: Bei 0,1,2,3 und 4, also Zahlen kleiner als 5, rundet man ab. Bei 5, 6, 7, 8 und 9, also Zahlen größer oder gleich 5 rundet man auf. Wollen wir zum Beispiel 12, 18 oder 16 auf Zehner runden, so erhalten wir 10, 20 und 20. Beim Runden auf Zehner haben wir dabei immer den EINER betrachtet. Anhand des Einers entscheiden wir dann, ob wir auf- oder abrunden. Wir verwenden wie gewöhnlich dieses geschwungene Gleichheitszeichen, um zu kennzeichnen, dass es sich um eine gerundete Zahl handelt. Hubert Hummel ist am ersten Tag 133.557 Blüten angeflogen. Wie können wir das nun runden? Bei größeren Zahlen können wir dieselben Regeln verwenden. Wir runden dann nicht unbedingt auf die Zehner, sondern auf Hunderter, Tausender und so weiter. Runden wir diese Zahl doch zunächst auf Hunderter. Wenn wir auf HUNDERTER runden wollen, betrachten wir die nächstkleinere Stelle, hier also die ZEHNERstelle. Bei einer 5 runden wir auf. 133.557 ist also rund 133.600. Was passiert denn, wenn wir diese Zahl auf TAUSENDER runden? Dafür müssen wir die nächstkleinere Stelle, also die HUNDERTERstelle, betrachten. Hier ist das die 5. Auch hier runden wir auf. 133.557 ist rund 134.000. Und wenn wir auf Zehntausender runden? Dazu betrachten wir die Tausenderstelle, hier also die 3. Bei einer 3 runden wir ab. 133.557 ist also rund 130.000. Betrachten wir die drei gerundeten Werte nun genauer, so können wir erkennen, dass der auf Hunderter gerundete Wert viel genauer ist als der auf Zehntausender gerundete Wert. Schauen wir und noch ein zweites Beispiel an. Am nächsten Tag hat Hubert 157.984 Blüten angeflogen. Wie wollen zunächst auf Hunderter runden. Dazu betrachten wir die Zehnerstelle - das ist hier die 8. Wir runden also auf. Da aber an der Hunderterstelle eine 9 steht, müssten wir auf 10 aufrunden. Die überzählige 1 übertragen wir auf die Tausenderstelle und erhalten 158.000. Nun können wir Hubert dabei helfen, die Gesamtzahl der Anflüge einer gesamten Woche, zu berechnen. Runden wir dazu die Zahlen doch alle auf Tausender. Die Anzahlen der ersten beiden Tage haben wir ja schon. Beginnen wir mit 169.378. Um auf Tausender zu runden, betrachten wir die Hunderterstelle. Wir runden also ab und erhalten 169.000. 157.834 ist rund 158.000 und 137.945 ist rund 138.000. Addieren wir dann die gerundeten Werte, so erhalten wir einen ungefähren Wert für die Arbeitsleistung von Hubert. Mithilfe des Rundens von Dezimalbrüchen kannst du ebenfalls Aufgaben der Subtraktion, Multiplikation und Division überschlagen. Fassen wir das noch einmal zusammen. Beim Runden von großen Zahlen gelten folgende Regeln: Bei 0,1,2,3 und 4, also Zahlen kleiner als 5 rundet man ab. Bei 5, 6, 7, 8 und 9, also Zahlen größer oder gleich 5 rundet man auf. Man betrachtet dabei immer die nächstkleinere Stelle. Möchtest du eine Rechnung überschlagen, so kannst du die einzelnen Glieder zunächst runden und dann zusammenrechnen. Und Hubert? Der ist von der ganzen Arbeit ganz müde geworden und ruht sich jetzt wohl erstmal aus.
Große Zahlen runden Übung
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Bestimme die gerundeten Zahlen.
TippsBeim Runden werden an der zu rundenden Stelle die Ziffern $1$ ,$2$, $3$ und $4$ durch $0$ ersetzt.
Bei der Rundung auf Hunderter ist $123 456 \approx 123 500$.
Die Rundung $987 654 \approx 987 600$ ist falsch, denn die Ziffer $5$ an der Zehnerstelle muss aufgerundet werden.
LösungBeim Runden einer großen Zahl an einer Stelle ersetzt du die Ziffern aller niedrigeren Stellen durch $0$. Steht an der nächsten kleineren Stelle eine $0$, $1$, $2$, $3$ oder $4$, so bleibt die zu rundende Stelle, wie sie ist: Es wird abgerundet. Ist die Ziffer an der nächstkleineren Stelle eine $5$, $6$, $7$, $8$ oder $9$, so ersetzt du die Ziffer derjenigen Stelle, auf die du rundest, durch die nächstgrößere: Das nennt man aufrunden.
Rundest du zum Beispiel die Zahl $123 567$ auf Tausender, so sind in der gerundeten Zahl die Ziffern der Einer-, Zehner- und Hunderterstelle jeweils $0$. Die nächstkleinere Stelle der Tausenderstelle ist die Hunderterstelle. Dort steht bei der nicht gerundeten Zahl die Ziffer $5$. Du musst nun aufrunden, also die Ziffer $3$ der Tausenderstelle durch die Ziffer $4$ ersetzen. So erhältst du die Rundung $123 567 \approx 124 000$.
Eine Besonderheit ergibt sich, wenn du aufrundest und die Ziffer der zu rundenden Stelle $9$ ist. Denn hier tritt beim Runden zusätzlich ein Übertrag auf. Rundest du $157 984$ auf die Zehnerstelle, so erhältst du durch Abrunden $157 984 \approx 157 980$. Rundest du auf die Hunderterstelle auf, so müsstest du wegen der $8$ auf der Zehnerstelle die $9$ der Hunderterstelle durch die nächstgrößere Zahl ersetzen. Du erhältst also einen Übertrag in die Tausenderstelle: $157 984 \approx 158 000$. Dasselbe Ergebnis erhältst du, wenn du $157 984$ auf die Tausenderstelle rundest.
Hier sind alle Rundungen dieser Aufgabe:
- $123 567 \approx 124 000$: auf Tausender gerundet
- $157 984 \approx 158 000$: auf Hunderter oder Tausender gerundet
- $133 557 \approx 133 600$: auf Tausender gerundet
- $169 378 \approx 169 000$: auf Tausender gerundet
- $137 945 \approx 138 000$: auf Tausender gerundet
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Bestimme die Stelle, auf die gerundet wurde.
TippsWird auf eine Stelle gerundet, so sind die Ziffern aller kleineren Stellen $0$.
Beim Runden von $123 456$ auf die Hunderterstelle ergibt sich $123 500$, beim Runden auf die Tausenderstelle $123 000$.
$101 010 \approx 100 000$ ist keine Rundung auf die Tausenderstelle, denn die Tausenderstelle der Rundung ist kleiner als die Tausenderstelle der ursprünglichen Zahl.
LösungBeim Runden großer Zahlen hast du verschiedene Stellen zur Auswahl, auf die du rundest. Bei den meisten Rundungen kannst du eindeutig ablesen, auf welche Stelle die Zahl gerundet wurde: Die Ziffern aller niedrigeren Stellen wurden beim Runden durch $0$ ersetzt.
In der Aufgabe findest du folgende Rundungen:
- „$133 557 \approx 134 000$ ist ... auf Tausender aufgerundet.“ Denn die Hunderter-, Zehner- und Einerstelle der Rundung sind $0$ und von den Stellen der ursprünglichen Zahl verschieden. Die Rundung ist eine Aufrundung, da die Ziffer $3$ der Tausenderstelle durch $4$ ersetzt wurde.
- „$133 557 \approx 133 600$ ist ... auf Hunderter aufgerundet.“ Hier wurden die Ziffern der Einer- und Zehnerstelle durch $0$ ersetzt und die Ziffer der Hunderterstelle um $1$ erhöht.
- „$133 557 \approx 130 000$ ist ... auf Zehntausender abgerundet.“ Denn die Ziffern der Tausender-, Hunderter-, Zehner- und Einerstelle sind durch $0$ ersetzt und alle anderen Stellen sind unverändert.
- „$169 378 \approx 169 000$ ist ... auf Tausender abgerundet.“ Die Ziffer der Tausenderstelle ist unverändert, daher ist es eine Abrundung; die Ziffern der niedrigeren Stellen wurden durch $0$ ersetzt.
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Bestimme verschiedene Rundungen derselben Zahl.
TippsBei einer Rundung erhöht sich keine Ziffer um $2$.
Vergleiche ziffernweise die nicht gerundeten Zahlen mit den gerundeten Zahlen, beginnend mit der höchsten Stelle.
$975 579 \approx 975 000$ ist keine korrekte Rundung. Denn beim Runden auf Tausender erhält man $975 579 \approx 976 000$, beim Runden auf Hunderter $975 579 \approx 975 600$.
LösungBeim Runden großer Zahlen hast du verschiedene Stellen zur Auswahl, auf die du runden kannst. Dadurch ergeben sich unterschiedliche mögliche Rundungen.
Du kannst einer Zahl ihre verschiedenen Rundungen zuordnen, indem du entweder alle möglichen Rundungen der Zahl ausrechnest oder indem du die Zahl systematisch mit den vorgegebenen Rundungen vergleichst. Dazu vergleichst du die Ziffern einer nicht gerundeten Zahl, zum Beispiel $987 654$ mit den Ziffern einer gerundeten Zahl wie $980 000$. Du beginnst dabei mit der höchsten Stelle. Entscheidend ist meistens die erste Stelle, an der die Ziffern der beiden Zahlen verschieden sind, in dem Beispiel also die Tausenderstelle. Die Ziffer $0$ der Tausenderstelle zeigt an, dass hier allenfalls eine Rundung auf die Zehntausenderstelle in Betracht kommt. Die Rundung von $987 654$ auf Zehntausender ist aber $990 000 \neq 980 000$.
In der Aufgabe erhältst du folgende korrekte Zuordnung der Rundungen:
$987 654$:
- $\approx 988 000$ nach Rundung auf Tausender
- $\approx 987 700$ bei Runden auf Hunderter
- $\approx 987 650$ durch Rundung auf Zehner
- $\approx 978 600$, auf Hunderter gerundet
- $\approx 979 000$, auf Tausender gerundet
- $\approx 980 000$, auf Zehntausender gerundet
- $\approx 900 000$, auf Hunderttausender gerundet
- $\approx 950 000$, auf Zehntausender gerundet
- $\approx 946 000$, auf Tausender gerundet
-
Erschließe die gerundeten Zahlen.
TippsDie Ziffer der Stelle, auf die gerundet wird, ist niemals kleiner als die Ziffer der nicht gerundeten Zahl.
$101\,010 \approx 101\,000$ ist eine Rundung auf die Hunderterstelle oder auf die Tausenderstelle.
LösungSo kannst du die Tabelle vervollständigen:
Um zu entscheiden, ob auf- oder abgerundet wird, betrachtest du immer die Stelle, die um eins kleiner ist als die Stelle, auf die gerundet werden soll.
Ist die betrachtete Zahl eine $0,1, 2, 3$ oder $4$, rundest du ab. Dabei bleiben die Stelle, auf die gerundet wird, und alle größeren Stellen gleich. Die kleineren Stellen werden zu $0$.
Beispiel: Rundest du also $432\,156$ auf Tausender, betrachtest du die Hunderter. Hier ist das eine $1$. Bei dieser Zahl rundest du ab. Also bleibt die $2$ beim Tausender sowie alle größeren Stellen stehen und alle anderen Zahlen werden zu $0$.
$432\,156 \approx 432\,000$
Ist die betrachtete Zahl eine $5, 6, 7, 8$ oder $9$, rundest du auf. Dabei addierst du $1$ zu der Stelle, auf die gerundet wird. Die größeren Stellen bleiben gleich und die kleineren werden zu $0$.
Beispiel: Soll also $524\,999$ auf Hunderter gerundet werden, betrachtest du die Zehner. Das ist hier eine $9$, also wird aufgerundet. Deshalb addierst du zur Hunderterstelle $1$, also
$9+1=10$
Da $10$ eine zweistellige Zahl ist, musst du einen Übertrag zur Tausenderstelle schreiben. Damit erhältst du also:
$524\,999 \approx 525\,000$
Hier sind die Ergebnisse der Tabelle:
$\begin{array}{c|c|c|c} \textbf{Zahl} & \textbf{gerundet auf} & \textbf{gerundet auf} & \textbf{gerundet auf} \\ & \textbf{Zehntausender} & \textbf{Tausender} & \textbf{Hunderter} \\ \hline 123\,789 & 120\,000 & 124\,000 & 123\,800\\ 987\,454 & 990\,000 & 987\,000 & 987\,500\\ 305\,070 & 310\,000 & 305\,000 & 305\,100\\ \end{array}$
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Zeige die richtigen Rundungen auf.
TippsBei den Ziffern $1$, $2$, $3$ und $4$ wird ab- und bei den Ziffern $5$, $6$, $7$, $8$ und $9$ aufgerundet.
Die Rundung $23 \approx 20$ ist richtig, denn die Ziffer $3$ der Einerstelle wird abgerundet.
Die Rundung $85 \approx 80$ ist falsch, denn wegen der $5$ an der Einerstelle wird aufgerundet. Korrekt wäre also $85 \approx 90$.
LösungBeim Runden von Zahlen ersetzt du einige Ziffern durch $0$ und erhältst so etwas übersichtlichere Zahlen. In dieser Aufgabe kommen nur Rundungen der letzten Ziffer vor. Gerundet wird auf die Zehnerstelle. Steht an der Einerstelle eine $1$, $2$, $3$ oder $4$, so ersetzt du diese Ziffer durch $0$ und änderst sonst nichts. Man nennt das abrunden. Steht an der Einerstelle eine $5$, $6$, $7$, $8$ oder $9$, so ersetzt du diese Ziffer ebenfalls durch $0$. Zusätzlich erhöhst du aber die Ziffer der Zehnerstelle um $1$. Das heißt dann aufrunden.
Hier sind die richtigen Rundungen der Aufgabe:
- $16 \approx 20$: richtig aufgerundet
- $38 \approx 40$: richtig aufgerundet
- $12 \approx 10$: richtig abgerundet
- $26 \approx 20$: Die Ziffer $6$ müsste aufgerundet werden. Korrekt wäre $26 \approx 30$.
- $11 \approx 9$: Die Zahl rechts ist keine Rundung der Zahl links, denn die Einerstelle der Zahl rechts ist nicht $0$. Korrekt wäre $11 \approx 10$.
- $49 \approx 100$: Die Zahl $49$ kann man auf Zehner oder auf Hunderter runden. Beim Runden auf Zehner wird die Ziffer der Zehnerstelle um $1$ erhöht, da die Ziffer der Einerstelle $9$ ist. Die Rundung wäre $49 \approx 50$. Beim Runden auf die Hunderterstelle würde die Zahl abgerundet, da die Ziffer der Zehnerstelle $4$ ist. Die Rundung auf Hunderter wäre also $49 \approx 0$.
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Prüfe die Aussagen.
TippsVergleiche für zwei zweistellige Zahlen die Summe von Rundungen mit der Rundung der Summe.
Betrachte die Rundung $157 984 \approx 158 000$ und entscheide, auf welche Stelle hier gerundet wurde.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „Die Rundung auf eine kleinere Stelle kann trotzdem noch eine größere Zahl ergeben als die Rundung auf eine größere Stelle.“ Rundest du $654 321$ auf Tausender, so erhältst du $654 321 \approx 654 000$, beim Runden auf Hunderter aber $654 321 \approx 654 300$. Hier ist $654 300 > 654 000$.
- „Keine Ziffer einer gerundeten Zahl ist um mehr als $1$ größer als die entsprechende Ziffer der ursprünglichen Zahl.“ Beim Runden werden die Ziffern der kleineren Stellen auf $0$ gesetzt, werden also nicht größer. Die Ziffer der zu rundenden Stelle wird beim Aufrunden um $1$ erhöht und bleibt beim Abrunden unverändert. Tritt beim Aufrunden ein Übertrag auf, so wird auch die Ziffer der zu rundenden Stelle auf $0$ gesetzt und die Ziffer der nächsthöheren Stelle um $1$ erhöht. In keinem Fall erhöht sich also eine Ziffer um mehr als $1$.
Folgende Aussagen sind falsch:
- „An einer Zahl und ihrer Rundung kannst du eindeutig ablesen, auf welche Stelle gerundet wurde.“ Rundest du $101 010$ auf Zehntausender, so erhältst du $100 000$. Dasselbe Ergebnis erhältst du auch beim Runden auf Hunderttausender.
- „Es ist egal, ob du zuerst zwei Zahlen rundest und dann die Rundungen addierst oder zuerst die Zahlen addierst und dann rundest. Das Ergebnis beider Rechnungen ist dasselbe.“ Beim Addieren der Rundungen kann sich ein anderer Wert ergeben als beim Runden der Summe zweier Zahlen. Zum Beispiel ist $13 \approx 10$ und $14 \approx 10$. Die Summe der Rundungen ist $10 + 10 = 20$. Die Rundung der Summe ist dagegen $13+14 = 27 \approx 30$. Du solltest also immer mit möglichst exakten Zwischenergebnissen rechnen und erst am Ende einer Aufgabe runden.
- „Je größer die Stelle ist, auf die du rundest, desto genauer wird die Rundung.“ Die genaueste Rundung ist die Rundung auf die Einerstelle. Die Differenz einer Zahl und ihrer Rundung beträgt hier höchstens $5$. Je höher die Stelle der Rundung, desto ungenauer wird die Rundung. Allerdings können auch Rundungen auf verschiedene Stellen übereinstimmen, also insbesondere dieselbe Genauigkeit haben.
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