Vergleichszeichen

Vergleichszeichen Übung

• Gib den zulässigen Bereich an.

  Tipps

  Hat Christopher weniger als $27$ Urlaubstage, so gehört der $27.$ Tag nicht mehr zu seinem Urlaub.

  Trinkt Christopher auf seiner Reise nicht weniger als $750~\text{ml}$ Blutorangansaft, so gehört die Zahl $750$ zu der Mengenangabe, die Zahl $749$ aber nicht.

  Auch jede Mengenangabe, die kleiner als der Maximalwert ist, gehört zu dem zulässigen Bereich.

  Lösung

  Der Vampir Christopher hat weniger als $15$ Urlaubstage zur Verfügung. Der Tag $15$ gehört also bereits nicht mehr zu seinen Urlaubstagen. Er markiert auf seinem Kalender daher alle Tage vom Tag $1$ bis zum Tag $14$ grün als Urlaubstage.

  Für seine Reise darf Christopher höchstens $1.000~\text{ml}$ Blutorangensaft mitnehmen, das bedeutet nicht mehr als $1.000~\text{ml}$. Die Zahl $1.000$ gehört noch zu den zulässigen Mengenangaben sowie alle Zahlen darunter bis $1.000~\text{ml}$.

• Bestimme die Vergleichszeichen.

  Tipps

  Das Vergleichszeichen zeigt mit der Spitze zu der kleineren Zahl.

  Ein Vergleichszeichen mit einem Strich darunter bedeutet, dass die Zahlen auch gleich groß sein können.

  $3 \leq 3$ ist richtig, aber $3 < 3$ ist falsch.

  Lösung

  Folgende Sätze sind richtig:

  „$b$ ist größer als $a$“ ist gleichbedeutend mit $a < b$.

  • Denn das Vergleichszeichen ist wie ein Mund immer zur größeren Zahl geöffnet.

  „$b$ ist nicht größer als $a$“ schreibt man $b\leq a$.

  • Ist die Zahl $b$ nicht größer als $a$, so ist sie kleiner als $a$ oder genauso groß wie $a$. Genau das besagt die Formel $b \leq a$.

  „$b$ ist weder kleiner als $a$ noch gleich $a$“ ist gleichbedeutend mit $a \lt b$.

  • Denn die Zahl $b$ ist entweder kleiner als $a$ oder gleich $a$ oder größer als $a$. Ist sie weder kleiner als $a$ noch gleich $a$, so ist $b$ größer als $a$. In Formeln schreibt man dafür $b >a$ oder $a \lt b$.

  Folgende Sätze sind falsch:

  „$a$ ist nicht kleiner als $b$“ schreibt man als Formel $a>b$.

  • Ist $a$ nicht kleiner als $b$, so ist $a$ gleich $b$ oder größer als $b$. Das schreibt man $a \geq b$ oder $b \leq a$.

  „$b$ ist mindestens so groß wie $a$“ ist gleichbedeutend mit $b \leq a$.

  • Ist die Zahl $b$ mindestens so groß wie $a$, so kann sie größer oder genauso groß wie $a$ sein, aber nicht kleiner. Man schreibt dafür $a \leq b$.

  „$a$ ist kleiner als $b$“ ist gleich bedeutend mit $~a \geq b$.

  • Ist $a$ kleiner als $b$, so ist der Fall $a=b$ ausgeschlossen. Die Ungleichung $a \geq b$ schließt aber den Fall $a = b$ mit ein.

• Erschließe die Vergleichszeichen.

  Tipps

  Das Vergleichszeichen mit einem Strich darunter erlaubt auch, dass die beiden Zahlen gleich sind.

  Die kleinste vierstellige Zahl ist $1.000$. Daher ist jede vierstellige Zahl $\geq 1.000$.

  Jede natürliche Zahl ist $\geq 0$, aber dasselbe gilt nicht für jede ganze Zahl.

  Lösung

  Die vier verschiedenen Vergleichszeichen erlauben dir, Zahlen in der Größe zu vergleichen. Die beiden Zeichen $<$ und $>$ werden nur zum Vergleich verschiedener Zahlen verwendet. Die Spitze des Zeichens zeigt dabei stets zu der kleineren der beiden Zahlen. Die Zeichen $\leq$ und $\geq$ erlauben auch, dass die verglichenen Zahlen gleich sind. Dadurch lassen sich ganz verschiedene Aussagen formulieren. Hier findest du die korrekten Aussagen:

  • „Alle einstelligen Zahlen sind $\leq 9$.“ Denn die einstelligen Zahlen sind die Zahlen von $0$ bis $9$. Keine dieser Zahlen ist größer als $9$, daher kannst du nicht das Vergleichszeichen $>$ einsetzen. Außer der $9$ ist auch keine der einstelligen Zahlen $=9$, daher wäre auch das Zeichen $\geq$ falsch. Die einstelligen Zahlen sind auch nicht alle kleiner als $9$, denn $9$ ist nicht kleiner als $9$. Also kommt auch das Vergleichszeichen $<$ nicht in Frage.

  • „Die kleinste dreistellige Zahl ist $< 101$.“ Denn die kleinste dreistellige Zahl ist die $100$ und $100<101$ ist richtig. Die allgemeinere Aussage $100\leq 101$ wäre zwar auch richtig, aber du solltest jeweils das speziellste Zeichen einsetzen, das zu einer richtigen Aussage führt.

  • „Ist $a$ nicht größer als $b$, so ist $b \geq a$.“ Dass $a$ nicht größer als $b$ ist, bedeutet, dass entweder $b$ größer als $a$ ist, oder $a=b$ ist, also gilt insgesamt $b \geq a$. Das ist wiederum gleichbedeutend mit $a \leq b$.

  • „Für die folgenden beiden Zahlen gilt: $128 < 281$.“ Die Zahl $281$ ist größer als die Zahl $128$. Die Aussage wäre mit $\leq$ zwar auch richtig, aber die Aufgabe war, das speziellste Zeichen einzusetzen, das eine richtige Aussage liefert.

  • „Jede gerade natürliche Zahl $\neq 0$ ist $\geq 2$.“ Die kleinste gerade natürliche Zahl $\neq 0$ ist $2$, daher sind alle solchen Zahlen nicht kleiner als $2$.

• Vergleiche die Zahlen.

  Tipps

  Nicht größer als $37$ sind alle Zahlen bis einschließlich $37$, denn $37$ ist nicht größer als $37$.

  Es gibt drei Tage mit Datum mindestens $18$ und höchstens $20$, nämlich die Tage mit Datum $18$, $19$ und $20$.

  Lösung

  Du kannst die Zeiträume durch Vergleichszeichen beschreiben:

  • Violette Tage mit Datum nicht größer als $6$ sind alle Tage $\leq 6$, also die Daten $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$.
  • Grüne Tage haben ein Datum größer als $11$, aber kleiner als $14$: Dies sind alle Zahlen $>11$ und $<14$, also genau die beiden Zahlen $12$ und $13$.
  • Gelbe Tage sind durch das Datum kleiner als $28$ und nicht kleiner als $24$ gekennzeichnet, also durch $<28$ und $\geq 24$. Dies sind die Daten von $24$ bis $27$.
  • Blau sind die Tage mit Datum mindestens $19$ und höchstens $22$, also $\geq 19$ und $\leq 22$. Dies sind die Daten $19$, $20$, $21$ und $22$.

• Gib die Zahlen nach der Größe geordnet wieder.

  Tipps

  Eine Zahl mit mehr Stellen ist größer als eine Zahl mit weniger Stellen.

  Bei Zahlen mit zwei Stellen ist die Zahl mit der kleineren Einerstelle nicht notwendig die kleinere der beiden Zahlen.

  Die Zahlen nach Größe zu sortieren bedeutet, dass du zwischen jede Zahl und ihre nächste das Vergleichszeichen $<$ setzen kannst.

  Lösung

  Mit dem Vergleichszeichen $<$ oder $>$ kannst du Zahlen der Größe nach anordnen. Die Formel $a \lt b$ bedeutet, dass die Zahl $a$ kleiner ist als die Zahl $b$. Hast du Zahlen mit nur einer Ziffer, so kannst du die Größe durch Abzählen herausfinden. Die Zahl, die in der Zahlenreihe zuerst kommt, ist die kleinere Zahl. Es ist also $2 < 7$, denn beim Abzählen kommt zuerst die $2$ und später die $7$. Bei Zahlen mit zwei Ziffern ist zuerst die linke Ziffer entscheidend, also die Zehnerstelle. Die Zahl mit der größeren Zehnerstelle ist die größere Zahl. Daher ist $31$ größer als $21$, also $21<31$. Je mehr Stellen eine Zahl hat, desto größer ist sie.

  Hier findest du folgende Reihenfolge der Größe nach mit Vergleichszeichen aufgeschrieben:

  $2 <7 < 13< 21< 31<79<97<111<301<1\,034$

• Analysiere die Sätze und Formeln.

  Tipps

  Um die gegenteilige Aussage zu finden, kannst du versuchen, die Aussage zu verneinen.

  Das Gegenteil der Aussage „$2$ ist kleiner als $4$“ ist die Ungleichung „$2 \geq 4$“.

  Lösung

  Ist eine Zahl $a$ nicht kleiner als $b$, so ist sie entweder größer als $b$ oder gleich $b$. Man schreibt dann: $a \geq b$. Das Gegenteil davon ist: $a \lt b$. Analog ist die Verneinung der Aussage $b \lt a$ die Aussage $b \geq a$. So ist die Verneinung einer Aussage mit striktem Vergleichszeichen die Aussage mit dem umgekehrten Vergleichszeichen, bei dem auch der Gleichheitsfall eingeschlossen ist.

  Auf diese Weise findest du folgende vollständigen Sätze:

  Beipiel 1

  „Die Zahl $b$ ist nicht größer als $c$.“

  Mathematisch formulieren wir diese Aussage so: $~c\geq b~$ bzw. $~b\leq c$

  Das Gegenteil ist: $~c \lt b~$ bzw. $~b \gt c$

  Beipiel 2

  „Die Zahl $b$ ist mindestens so groß wie $c$.“

  Mathematisch formulieren wir diese Aussage so: $~c\leq b~$ bzw. $~b\geq c$

  Das Gegenteil ist: $~c \gt b~$ bzw. $~b \lt c$

  Beipiel 3

  „Die Zahl $c$ ist kleiner als $b$.“

  Mathematisch formulieren wir diese Aussage so: $~c \lt b~$ bzw. $~b \gt c$

  Das Gegenteil ist: $~c\geq b~$ bzw. $~b\leq c$

  Beipiel 4

  „Die Zahl $b$ ist entweder kleiner oder größer als $c$.“

  Mathematisch formulieren wir diese Aussage so: $~c \gt b~$ oder $~c \lt b~$ bzw. $~b \lt c~$ oder $~b \gt c~$ Das entspricht der Aussage: $~b \neq c~$ bzw. $~c\neq b$

  Das Gegenteil ist: $~c= b~$ bzw. $~b= c$