Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Übung

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Übung Übung

• Beschreibe die Primfaktorzerlegung.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel.

  $2$, $5$ und $13$ sind Primzahlen, $4$ und $15$ nicht.

  Lösung

  Primzahlen sind Zahlen, die nur sich selbst und $1$ als Teiler haben. So sind zum Beispiel $2$, $5$ und $13$ Primzahlen, aber $4 = 2 \cdot 2$ und $15 = 3 \cdot 5$ nicht.
  Wir können jede Zahl als Produkt aus Primfaktoren schreiben. Das nennen wir Primfaktorzerlegung.

  Wir können mithilfe der Primfaktorzerlegung zweier Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen bestimmen. Dazu multiplizieren wir alle Primfaktoren, wobei gemeinsame Faktoren nur einmal in das Produkt eingehen.

  Beispiel:

  $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
  $21 = 3 \cdot 7$
  $\text{kgV}(12,21) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$

  Die $3$ kommt im Produkt für das kleinste gemeinsame Vielfache nur einmal vor.

• Gib an, wann welches Verfahren zur Bestimmung des $\text{kgV}$ besonders geeignet ist.

  Tipps

  Betrachte Beispiele mit kleineren und größeren Zahlen.

  Das kleinste gemeinsame Vielfache von $31$ und $40$ ist $1\,240$.
  Bei $6$ und $15$ ist es $30$.

  Lösung

  Wir kennen zwei Methoden, um das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei Zahlen zu bestimmen: den Vergleich der Vielfachenmengen und die Primfaktorzerlegung.

  Theoretisch führen beide Methoden immer zum Ziel, so auch bei $\text{kgV}(6, 8) = 24$. In der Praxis eignet sich die Vielfachenmenge allerdings nur bei eher kleinen Zahlen, da der Aufwand sonst sehr groß wird.

  Betrachten wir zum Beispiel das kleinste gemeinsame Vielfache von $31$ und $40$:

  $V_{31} = \lbrace 31, 62, 93, 124, 155, ... 1\,209, \mathbf{1\,240} ...\rbrace$
  $V_{40} = \lbrace 40, 80, 120, 160, ... 1\,200, \mathbf{1\,240} ...\rbrace$
  Hier wäre es extrem aufwändig, die vollständigen Vielfachenmengen aufzuschreiben.

  Im Vergleich dazu die Primfaktorzerlegung:

  $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$
  $31$ ist eine Primzahl.
  Damit ergibt sich $\text{kgV}(31, 40) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 31 = 1\,240$.

  Die Primfaktorzerlegung führt hier schnell zum Ziel. Dass die beiden Zahlen keinen gemeinsamen Primfaktor haben, ist dabei kein Problem.

• Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von $6$, $8$ und $15$.

  Tipps

  Primfaktoren, die bei mehreren Zahlen vorkommen, werden für das $\text{kgV}$ nur einmal multipliziert.

  Hier siehst du ein Beispiel.

  Lösung

  Bei der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von drei Zahlen gehen wir genauso vor wie bei zwei Zahlen:

  Wir bestimmen zunächst die Primfaktorzerlegung für jede der drei Zahlen:

  $6 = \mathbf{2 \cdot 3}$
  $8 = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot 2$
  $15 = \mathbf{3} \cdot 5$

  Das kleinste gemeinsame Vielfache erhalten wir, indem wir die Primfaktoren aller Zahlen multiplizieren. Faktoren, die bei mehreren Zahlen auftauchen, werden immer nur einmal multipliziert:

  $\text{kgV}(6, 8, 15) = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \mathbf{3} \cdot 5 = 120$

• Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV).

  Tipps

  Bei größeren Zahlen ist die Primfaktorzerlegung in der Regel effizienter.

  Hier siehst du ein Beispiel.

  Bei solchen Aufgaben könntest du auch einfach prüfen, welches der angegebenen $\text{kgV}$ überhaupt ein Vielfaches deiner Zahlen ist.

  Lösung

  Da es sich bei den Aufgaben um größere Zahlen handelt, entscheiden wir uns für die Primfaktorzerlegung, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen.
  Wir bestimmen dazu die Primfaktorzerlegung der einzelnen Zahlen. Das kleinste gemeinsame Vielfache ergibt sich als Produkt aus allen Primfaktoren, die in den Zerlegungen vorkommen. Primfaktoren, die bei beiden Zahlen vorkommen, gehen nur einmal in das Produkt ein.

  1. Beispiel:

  $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
  $15 = 3 \cdot 5$

  $\text{kgV}(12, 15) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

  2. Beispiel:

  $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
  $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$

  $\text{kgV}(18, 27) = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 54$

  3. Beispiel:

  $15 = 3 \cdot 5$
  $50 = 2 \cdot 5 \cdot 5$

  $\text{kgV}(15, 50) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 150$

  4. Beispiel:

  $21 = 3 \cdot 7$
  $35 = 5 \cdot 7$

  $\text{kgV}(21, 35) = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$

  5. Beispiel:

  $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
  $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

  $\text{kgV}(32, 72) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 288$

• Gib das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Zahlen an.

  Tipps

  Das kleinste gemeinsame Vielfache ist immer die kleinste Zahl, die in beiden Vielfachenmengen vorkommt.

  Beispiel $4$ und $6$:

  $V_4 = \lbrace 4, 8, \mathbf{12}, 16, 20, ...\rbrace$
  $V_6 = \lbrace 6, \mathbf{12}, 24, 30, ...\rbrace$

  $\text{kgV}(4, 6) = 12$

  Lösung

  Wir können das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen bestimmen, indem wir die Vielfachenmengen der beiden Zahlen aufschreiben. Die kleinste Zahl, die in beiden Vielfachenmengen auftaucht, ist dann das $\text{kgV}$.

  Beispiel 1:

  $6$ und $8$

  $V_6 = \lbrace 6, 12, 18, \mathbf{24}, 30, 36, 42, 48, 54, ...\rbrace$
  $V_8 = \lbrace 8, 18, \mathbf{24}, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...\rbrace$
  $\text{kgV}(6, 8) = 24$

  Beispiel 2:

  $8$ und $14$

  $V_8 = \lbrace 8, 18, 24, 32, 40, 48, \mathbf{56}, 64, 72, ...\rbrace$
  $V_{14} = \lbrace 14, 28, 42, \mathbf{56}, 70, 84, ...\rbrace$
  $\text{kgV}(8, 14) = 56$

  Beispiel 3:

  $9$ und $15$

  $V_9 = \lbrace 9, 18, 27, 36, \mathbf{45}, 54, 63, 72, ...\rbrace$
  $V_{15} = \lbrace 15, 30, \mathbf{45}, 60, 75, ...\rbrace$
  $\text{kgV}(9, 15) = 45$

• Ermittle das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV).

  Tipps

  Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren.

  Beispiel:

  $66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$

  Lösung

  Wir verwenden wieder die Primfaktorzerlegung, um das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen zu bestimmen. Eine Bestimmung über die Vielfachenmengen wäre ebenfalls möglich, hier aber sehr aufwändig.

  1. Beispiel:

  $120 = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \mathbf{3} \cdot 5$
  $42 = \mathbf{2 \cdot 3} \cdot 7$

  $\text{kgv}(120, 42) = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \mathbf{3} \cdot 5 \cdot 7 = 840$

  2. Beispiel:

  $3$, $5$ und $7$ sind Primzahlen, wir können sie daher nicht weiter in Faktoren zerlegen.

  $\text{kgv}(3, 5, 7) = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$

  3. Beispiel:

  $30 = \mathbf{2 \cdot 3} \cdot 5$
  $33 = \mathbf{3} \cdot 11$
  $36 = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot \mathbf{3} \cdot 3$

  $\text{kgv}(30, 33, 36) = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot \mathbf{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 1\,980$