Teilerfremde Zahlen – Einführung
Teilerfremde Zahlen haben nur die Zahl 1 als gemeinsamen Teiler. Wenn jede Zahl nur sich selbst und 1 als Teiler hat, sind sie teilerfremd. In diesem Video erfährst du, wie man teilerfremde Zahlen bestimmt und warum Primzahlen automatisch teilerfremd sind. Interessiert? Dies und vieles mehr finden Sie im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Teilerfremde Zahlen – Einführung
Was bedeutet teilerfremd?
Du kennst bestimmt schon die Grundrechenart der Division, also das Geteiltrechnen. Um eine Zahl durch andere Zahlen teilen zu können, müssen wir ihre Teiler kennen. Denn du kannst eine Zahl nur durch ihre Teiler teilen. In diesem Video erklären wir dir, was es bedeutet, dass zwei Zahlen teilerfremd sind. In diesem Wort kommen die Teiler der Zahlen vor und, dass sie einander fremd sind, also nicht dieselben. Schauen wir uns an, was das bedeutet.
Teilerfremde Zahlen – Definition und Erklärung
Wir beginnen mit einem Beispiel und bestimmen zu den beiden Zahlen $9$ und $16$ jeweils alle Teiler. Die Teiler der Zahl $9$ sind $1$, $3$ und $9$, die Teiler der $16$ sind $1$, $2$, $4$, $8$ und $16$. Wir können alle Teiler einer Zahl als Teilermenge zusammenfassen. Für die Zahlen $9$ und $16$ sehen die Teilermengen so aus:
$T_9 = {1; 3; 9} \newline T_{16} = {1;2;4;8;16}$
Diese beiden Mengen haben jeweils ein Element gemeinsam, nämlich die Zahl $1$. Das ist nicht überraschend: Die Zahl $1$ ist ein Teiler jeder anderen Zahl und kommt daher in jeder Teilermenge vor.
Alle anderen Elemente der Teilermengen von $9$ und $16$ sind verschieden und deswegen sagt man: Die Zahlen $9$ und $16$ sind teilerfremd. Wir können diesen Sachverhalt auch noch anders erklären: Die Zahl $1$ ist der einzige gemeinsame Teiler der Zahlen $9$ und $16$ – und weil es der einzige gemeinsame Teiler ist, ist $1$ zugleich der größte gemeinsame Teiler. Das schreiben wir so auf:
$\mathrm{ggT}(9;16)=1$
Merke:
- Zwei Zahlen heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler $1$ ist.
Primzahlen
Primzahlen sind solche Zahlen, die nur die $1$ und sich selbst als Teiler haben. Schauen wir uns die Teilermengen der Primzahlen $17$ und $29$ an:
$T_{17} = \{1;17\} \newline T_{29} = \{1;29\}$
Auch zwei verschiedene Primzahlen haben also einen gemeinsamen Teiler, nämlich $1$. Dies ist aber der einzige und damit der größte gemeinsame Teiler. Wir halten also als Merksatz fest:
- Zwei verschiedene Primzahlen sind teilerfremd.
Teilerfremde Zahlen finden – Beispiele
Um zu überprüfen, ob zwei Zahlen zueinander teilerfremd sind, kannst du entweder alle Teiler jeder Zahl aufschreiben und vergleichen oder die Teilbarkeitsregeln auf beide Zahlen anwenden. Hier ist ein Beispiel: Sind die Zahlen $8$ und $9$ teilerfremd oder haben sie noch weitere gemeinsame Teiler als die Zahl $1$? Schreibe die Teilermengen beider Zahlen auf:
$T_8 = {1;2;4;8} \newline T_9 = {1;3;9}$
Die Zahl $1$ ist der einzige gemeinsame Teiler. Daher sind die Zahlen $8$ und $9$ zueinander teilerfremd.
Um zu überprüfen, ob die Zahlen $116$ und $135$ zueinander teilerfremd sind, kannst du die Teilbarkeitsregeln anwenden. Du überlegst zuerst, durch welche Zahlen $116$ teilbar ist. Wie jede Zahl ist $116$ durch $1$ teilbar. Die Zahl ist gerade, also durch $2$ teilbar. Ihre beiden letzten Ziffern bilden die durch $4$ teilbare Zahl $16$, daher ist $116$ auch durch $4$ teilbar. Weitere Teilbarkeitsregeln lassen sich nicht anwenden. Du findest die übrigen Teiler, indem du $116$ durch die schon gefundenen Teiler teilst. $116:4 =29$, daher ist $116$ auch durch $29$ teilbar. Und $116:2=58$, also ist $58$ auch ein Teiler der $116$. Die Zahl $116$ selbst ist auch ein Teiler von $116$. Nun musst du nur noch überprüfen, ob $135$ durch einen der Teiler von $116$ teilbar ist. Die Zahl $135$ ist ungerade, daher ist sie weder durch $2$ noch durch $4$ teilbar. Die Divisionen
Teilerfremde Zahlen – Zusammenfassung
In diesem Video wird einfach erklärt, was es bedeutet, dass zwei Zahlen zueinander teilerfremd sind. Zur Einordnung des Begriffs werden mehrere Beispiele vorgeführt. Zu dem Video gibt es interaktive Übungen, in denen du dein neues Wissen ausprobieren kannst.
Transkript Teilerfremde Zahlen – Einführung
Hallo, da bin ich wieder, eure Sabine Blumenthal. In diesem Video lernst Du etwas über teilerfremde Zahlen. Am Ende dieses Videos kannst Du den Begriff „teilerfremd“ erklären und Du kannst selber teilerfremde Zahlen finden. Was solltest Du schon wissen: Du solltest die Grundbegriffe der Teilbarkeit natürlicher Zahlen kennen und natürlich das kleine Einmaleins beherrschen. Bevor wir uns mit teilerfremden Zahlen beschäftigen, versuchen wir mal den Begriff „teilerfremd“ zu klären. In diesem Begriff steckt zum einen das Wort „Teiler“. Was ein Teiler ist, weißt Du ja bereits. Außerdem ist das Wörtchen „fremd“ enthalten. Und „fremd“ bedeutet hier so viel wie „nicht gemeinsam“. „Teilerfremd“ könnte also bedeuten, es gibt keine gemeinsamen Teiler. Wirklich keine? Mal sehen, ob diese Vermutung stimmt. Sehen wir uns deshalb noch einmal die Teilermengen an. Diesmal aber nur die von der neun und der 16. Diese beiden Zahlen haben nur einen einzigen gemeinsamen Teiler, nämlich die eins. Und das ist dann natürlich dann auch der ggT von neun und 16. Vielleicht haben wir ja die falschen Zahlen untersucht. Schauen wir uns doch einmal Primzahlen an. Die dürften ja eigentlich keine gemeinsamen Teiler haben. Die 17 und die 29 sind Primzahlen und ihre Teilermengen bestehen deshalb natürlich nur aus jeweils zwei Teilern. Aber keine gemeinsamen Teiler stimmt nicht einmal für Primzahlen. Selbst Primzahlen haben zumindest einen gemeinsamen Teiler, nämlich die eins. Sie ist hier der einzige gemeinsame Teiler und damit natürlich auch der größte gemeinsame Teiler. Weil nun aber die eins bekanntlich ein Teiler von jeder natürlichen Zahl ist, muss unsere Vermutung, was „teilerfremd“ bedeuten könnte, wohl ein bisschen geändert werden. „Teilerfremd“ bedeutet also: Es gibt keine gemeinsamen Teiler außer der Zahl eins. Da es zu dieser Vermutung bisher noch kein Gegenbeispiel gibt, können wir dafür einen allgemeingültigen Merksatz notieren. Haben zwei natürliche Zahlen nur die Eins als gemeinsamen Teiler, so heißen diese Zahlen zueinander „teilerfremd“. Wie kannst Du zueinander teilerfremde Zahlen finden? Die erste Möglichkeit ist, die Teilermengen der Zahlen bilden und in diesen Mengen nach gemeinsamen Teilern suchen. Als zweite Möglichkeit kannst Du die Teilbarkeitsregeln anwenden und so nach möglichen gemeinsamen Teilern suchen. Hier ist für Dich eine kleine Übung dazu. Deine Aufgabe lautet: Sind die zwei Zahlen zueinander teilerfremd? Prüfe als erstes die acht und die neun. Du bildest die Teilermengen und schaust nach gemeinsamen Teilern. Die Eins ist einziger gemeinsamer Teiler. Also acht und neun sind zueinander teilerfremd. Untersuche nun die Zahlen 116 und 135. Hier kannst Du die Teilbarkeitsregeln anwenden. Du überlegst zunächst, durch welche Zahlen ist die 116 teilbar? Natürlich ist 116 wie jede Zahl durch eins teilbar. Sie ist eine gerade Zahl, also teilbar durch zwei. Ihre letzten zwei Ziffern bilden die Zahl 16, also ist 116 teilbar durch vier. Weitere Teilbarkeitsregeln lassen sich hier nicht anwenden. Wenn Du die 116 durch die gefundenen Teiler zwei und vier dividierst, erhältst Du als weitere Teiler die 29 und die 58. Der letzte Teiler ist natürlich die 116 selbst. Nun musst Du prüfen, ist 135 durch eine dieser Zahlen teilbar? Das wären ja dann gemeinsame Teiler. Die 135 ist ungerade und ihre letzten zwei Ziffern bilden die Zahl 35. Also ist 135 weder durch zwei noch durch vier teilbar. Sie lässt sich auch nicht ohne Rest durch 29 oder 58 oder 116 teilen. Nur die Eins ist ein gemeinsamer Teiler von 116 und 135. Daraus folgt, 116 ist teilerfremd zu 135. Damit sind wir bei der Zusammenfassung: Du hast den Begriff „teilerfremd“ gelernt und weißt, was er bedeutet: Zwei Zahlen haben nur die Eins als gemeinsamen Teiler. So, das war's für heute. Tschüss, bis zum nächsten Mal!
Teilerfremde Zahlen – Einführung Übung
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Beschreibe, was es bedeutet, wenn zwei Zahlen teilerfremd sind.
TippsSchau dir das Beispiel zweier Primzahlen an. Primzahlen sind solche Zahlen, deren Teilermenge aus genau zwei Zahlen besteht, nämlich der $1$ und der Zahl selbst.
Primzahlen sind teilerfremd.
Schreib dir die Teilermengen von verschiedenen Zahlen auf:
- $T_{3}=\{1;3\}$
- $T_{9}=\{1;3;9\}$
- $T_{8}=\{1;2;4;8\}$
Es gilt für jede beliebige natürliche Zahl $z$, dass $z:1=z$ ist.
LösungGehe von dem Begriff „teilerfremd“ aus. Darin stecken zum einen „Teiler“ und zum anderen „fremd“. Das kannst du so verstehen, dass zwei Zahlen teilerfremd sind, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler haben.
Ist das wirklich so? Nein!
Immerhin haben alle Zahlen den Teiler $1$. Mit der obigen Erklärung würde das also bedeuten, dass keine teilerfremden Zahlen geben kann.
Die Definition teilerfremder Zahlen muss also ein wenig geändert werden:
Haben zwei natürliche Zahlen nur die $1$ als gemeinsamen Teiler, so heißen diese Zahlen teilerfremd.
-
Erkläre, wie du die gegebenen Zahlen darauf überprüfen kannst, ob sie teilerfremd sind.
TippsZwei Zahlen sind teilerfremd, wenn sie ausschließlich die Zahl $1$ als gemeinsamen Teiler haben.
Beachte die Teilbarkeitsregeln:
- Jede gerade Zahl ist durch $2$ teilbar.
- Jede Zahl, deren Quersumme durch $3$ ($9$) teilbar ist, ist durch $3$ ($9$) teilbar.
- Jede Zahl, deren letzten beiden Stellen eine durch $4$ teilbare Zahl bilden, ist durch $4$ teilbar.
- Endet eine Zahl auf $0$ oder $5$, so ist sie durch $5$ teilbar.
Schau dir ein Beispiel für Teilermengen an:
- $T_{12}=\{1;2;3;4;6;12\}$,
- $T_{21}=\{1;3;7;21\}$.
LösungTeilerfremde Zahlen haben nur die $1$ als gemeinsamen Teiler.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten zu überprüfen, ob zwei Zahlen teilerfremd sind. Du kannst entweder die Teilermengen auf gemeinsame Elemente untersuchen oder Teilbarkeitsregeln verwenden. Für jede dieser Vorgehensweisen siehst du nun ein Beispiel.
Beispiel 1: Prüfe, ob $8$ und $9$ teilerfremd sind.
In diesem Beispiel verwendest du die Teilermengen:
- $T_{8}=\{1;2;4;8\}$ und
- $T_{9}=\{1;3;9\}$.
Beispiel 2: Prüfe, ob $116$ und $135$ teilerfremd sind.
Auch hier schreibst du zunächst eine Teilermenge auf, dieses Mal allerdings nur von einer der beiden Zahlen: $T_{116}=\{1;2;4;29;58;116\}$.
Prüfe nun, ob $135$ durch eine dieser Zahlen, ungleich $1$, teilbar ist.
- $2\mid 135$? Nein, da $135$ ungerade ist.
- Damit kann $135$ sicher auch nicht durch $4$ oder $58$ oder $116$ teilbar sein.
- Bleibt nur noch die Frage $29\mid135$? Auch hier ist ein klares „Nein!“ die Antwort. Bei der Division bleibt ein Rest, denn es ist $135:29=4$ Rest $19$.
-
Prüfe, welche der Zahlen teilerfremd zu $15$ sind.
TippsJede der Zahlen, die durch $3$ oder $5$ teilbar ist, ist nicht teilerfremd zu $15$.
- Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
- Jede Zahl, die auf $0$ oder $5$ endet, ist durch $5$ teilbar.
Eine der gegebenen Zahlen ist eine Primzahl. Diese ist teilerfremd zu $15$.
LösungDie Teilermenge von $15$ ist bereits vorgegeben $T_{15}=\{1;3;5;15\}$. Um festzustellen, ob eine andere Zahl teilerfremd zu $15$ ist, prüfst du, ob einer der Teiler, ungleich $1$, auch Teiler von dieser Zahl ist.
Verwende dabei die folgenden Teilbarkeitsregeln:
- Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
- Eine Zahl, welche auf $0$ oder $5$ endet, ist durch $5$ teilbar.
- Ist eine Zahl entweder nicht durch $3$ oder durch $5$ teilbar, so ist sie sicher auch nicht durch $15$ teilbar.
- Da $33$ durch $3$ teilbar ist, sind $15$ und $33$ nicht teilerfremd.
- Es ist $34=2\cdot 17$. Also kommt weder die $3$ noch die $5$ als Teiler vor. $15$ und $34$ sind teilerfremd.
- $35$ ist durch $5$ teilbar und somit nicht teilerfremd zu $15$.
- $15$ und $36$ haben den gemeinsamen Teiler $3$, sind also nicht teilerfremd.
- $37$ ist eine Primzahl und somit teilerfremd zu jeder anderen Zahl, welche nicht ein Vielfaches von $37$ ist.
- $38=2\cdot 19$. Das bedeutet, dass $38$ weder durch $3$ noch durch $5$ teilbar ist und auch sicher nicht durch $15$. Damit sind $15$ und $38$ teilerfremd.
-
Untersuche die gegebenen Zahlen. Sind diese teilerfremd?
TippsDie Teilermenge von $222$ ist gegeben durch $T_{222}=\{1;2;3;6;37;74;111;222\}$.
Jede Zahl, deren Quersumme durch $3$ teilbar ist, ist durch $3$ teilbar.
Verwende $T_{242}=\{1;2;11;22;121;242\}$.
LösungIn dieser Aufgabe schauen wir uns jeweils die Teilermengen an.
- $T_{33}=\{1;3;11;33\}$
- $T_{121}=\{1;11;121\}$
- $T_{222}=\{1;2;3;6;37;74;111;222\}$
- $T_{333}=\{1;3;9;37;111;333\}$
- $T_{242}=\{1;2;11;22;121;242\}$
- $33$ und $121$ haben den größten gemeinsamen Teiler $11$, sind also nicht teilerfremd.
- $121$ und $222$ haben außer der $1$ keinen gemeinsamen Teiler. Sie sind damit teilerfremd.
- $222=2\cdot 111$ und $333=3\cdot 111$. Du siehst $111$ ist sowohl Teiler von $222$ als auch von $333$. Somit sind diese beiden Zahlen nicht teilerfremd.
- $333$ und $242$ haben nur $1$ als gemeinsamen Teiler. Sie sind also teilerfremd.
- $33$ und $242$ haben jeweils den Teiler $11$. Sie sind nicht teilerfremd.
- $33$ und $222$ schließlich haben einzig den gemeinsamen Teiler $1$. Sie sind teilerfremd.
-
Gib an, warum zwei Primzahlen immer teilerfremd zueinander sein müssen.
TippsAlle Zahlen haben den gemeinsamen Teiler $1$.
Schau dir noch einmal die Definition von „teilerfremd“ an: Haben zwei natürliche Zahlen nur den gemeinsamen Teiler $1$, so heißen sie teilerfremd.
LösungWenn „teilerfremd“ heißen soll, dass zwei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben sollten, dann wären Primzahlen nicht teilerfremd. Aber dann würden überhaupt keine teilerfremden Zahlen existieren.
Wie jede andere Zahl auch haben Primzahlen den Teiler $1$. Primzahlen sind dadurch erklärt, dass sie genau zwei Teiler haben, nämlich die $1$ selbst und sich selbst.
So ist zum Beispiel die Teilermenge von $17$ gegeben durch $T_{17}=\{1;17\}$ und die von $29$ durch $T_{29}=\{1;29\}$. Du siehst, beide Zahlen haben den gemeinsamen Teiler $1$ und auch nur diesen. Das bedeutet, dass $17$ und $29$ teilerfremd sind.
Das gilt übrigens für jedes Paar Primzahlen: Zwei voneinander verschiedene Primzahlen sind immer teilerfremd.
-
Ermittle die Teilermengen und verwende diese, um zu prüfen, ob die Zahlen teilerfremd sind.
TippsWenn der größte gemeinsame Teiler die $1$ ist, dann sind die beiden Zahlen teilerfremd.
Zur Bestimmung der Teilermenge verwendest du Teilbarkeitsregeln:
- Jede gerade Zahl ist durch $2$ teilbar.
- Ist die Quersumme einer Zahl durch $3$ ($9$) teilbar, so ist die Zahl selbst durch $3$ ($9$) teilbar.
- Endet eine Zahl auf $0$ oder $5$, so ist sie durch $5$ teilbar.
- Endet eine Zahl auf $0$, so ist sie durch $10$ teilbar.
Wenn du einen Teiler kennst, kannst du durch Division einen weiteren ermitteln. Schau dir hierfür ein Beispiel an:
- $2\mid 12$
- Es ist $12:2=6$.
- Nun weißt du, dass $6\mid 12$ gelten muss.
LösungMarie bestimmt die Teilermengen:
Die Teilermenge von $460$
- $460$ ist durch $1$ teilbar.
- Da $460$ eine gerade Zahl ist, ist sie auch durch $2$ und damit durch $460:2=230$ teilbar.
- Weil $60$ durch $4$ teilbar ist, ist auch $460$ durch $4$ teilbar. Es ist $460:4=115$.
- Da $460$ auf $0$ endet, sind sowohl $5$ als auch $10$ Teiler.
- Mit $5$ ist auch $460:5=92$ Teiler und mit $10$ auch $460:10=46$.
- $20$ und damit $460:20=23$ sind ebenfalls Teiler.
Die Teilermenge von $483$
- Wieder kannst du mit der $1$ beginnen.
- Die Quersumme von $483$ ist gegeben durch $4+8+3=15$. Da diese durch $3$ teilbar ist, ist auch $483$ durch $3$ teilbar. So erhältst du auch den Teiler $483:3=161$.
- Da $483=490-7$ ist, ist auch $7$ ein Teiler von $483$. Es ist $483:7=69$ ebenfalls ein Teiler von $483$.
- Mit $3$ und $7$ ist auch $3\cdot 7=21$ ein Teiler von $483$. Division $483:21=23$ führt zu dem letzten noch fehlenden Teiler $23$.
Der größte gemeinsame Teiler
Nun kannst du erkennen, dass $23$ in beiden Teilermengen vorkommt. Das bedeutet, dass $23$ der größte gemeinsame Teiler von $460$ und $483$ ist. Insbesondere ist dieser nicht $1$. Also sind $460$ und $483$ nicht teilerfremd.
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das hat mir super doll geholfen ;))
Nur weiter zu empfehlen!
Ich habe eine TÜ geschrieben und solche Aufgaben Super und simpel hinbekommen dank dem Video! :))
toll
Hallo Mkotenko,
du hast recht, das ist natürlich auch möglich. Wenn die Primfaktorzerlegungen der zu prüfenden Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren bis auf die Zahl 1 aufweisen, so werden sie ebenfalls als teilerfremd bezeichnet.
Liebe Grüße aus der Redaktion
Cooles Video!!! Aber man kann doch die teilerfremden Zahlen auch mit der Primfaktorzerlegung :D
Danke für das Vidio hat gut geholfen 😊😊😊😊😊😊😊😊