Körpernetze zuordnen

Körpernetze zuordnen Übung

• Beschreibe die Körpernetze.

  Tipps

  Körpernetze sind keine unverbundenen Figuren.

  Das Körpernetz eines Körpers kannst du in die Ebene legen, den Körper selbst nicht.

  Aus einem Papierkörper kannst du das Körpernetz gewinnen, indem du den Körper aufschneidest. Die Schnitte verlaufen in Ebenen oder Kanten des Körpers.

  Lösung

  Ein Körpernetz ist die Auffaltung eines geometrischen Körpers. Du kannst dir den Körper z. B. als Papier-Modell vorstellen. Um das Körpernetz zu gewinnen, wird der Körper entlang mindestens einer Kante aufgeschnitten, manchmal auch an einer Fläche. Als nächstes wird der Körper entlang der Schnitte aufgefaltet.

  In einem Körpernetz sind alle Flächen miteinander verbunden. Das Körpernetz des Würfels z. B. besteht aus $6$ Quadraten. Mithilfe seines Körpernetzes kannst du den $3$-dimensionalen Würfel in der $2$-dimensionalen Ebene darstellen.

  Das Körpernetz des Kegels besteht aus einem Kreis und einem Kreisausschnitt. Das ist nur ein Teil des Vollkreises. Der Kreis und der Kreisausschnitt sind nur an einem Punkt verbunden. Die Kugel dagegen hat kein Körpernetz. Denn sie hat keine Kante, entlang derer man sie aufschneiden kann.

• Gib die Körpernetze an.

  Tipps

  Das Körpernetz des Würfels und des Quaders unterscheiden sich durch die entstehenden Flächen.

  Dreieckige Flächen in einem Körpernetz entsprechen dreieckigen Seiten des Körpers.

  Das Körpernetz der Pyramide besteht aus einem Quadrat und vier Dreiecken.

  Lösung

  Für die Zuordnung der Körper und ihrer Körpernetze kannst du die Anzahl und die geometrische Gestalt der Seitenflächen der Körper betrachten.

  • Ein Würfel z.B. hat sechs Seitenflächen. Jede dieser Flächen ist ein Quadrat.

  • Dagegen hat der Quader auch sechs Seitenflächen, aber diese sind Rechtecke. Die sich jeweils gegenüberliegenden Flächen sind kongruent zueinander. Das Körpernetz des Quaders besteht demnach aus drei unterschiedlichen Flächen, wobei diese dann jeweils doppelt bestehen.

  • Die Pyramide hat fünf Seitenflächen: vier Dreiecke und ein Quadrat.

  • Das Prisma hat ebenfalls fünf Seitenflächen: drei Rechtecke und zwei Dreiecke.

  • Der Zylinder hat zwei Seitenflächen, die Kreise sind, und eine Mantelfläche, die nicht wirklich flach ist. Im Körpernetz erscheint diese Fläche als Rechteck.

  • Der Kegel hat eine Kreisfläche und eine Mantelfläche. Im Körpernetz wird die Mantelfläche als Kreisausschnitt dargestellt.

• Erschließe die Körper.

  Tipps

  Vergleiche die Seitenflächen der Körper und die Flächen der Körpernetze.

  Stelle dir vor, wie aus dem Körpernetz ein Körper gefaltet wird.

  Zähle die Seitenflächen des Körpers und die eingezeichneten Teilflächen der Körpernetze. Nur wenn die Anzahlen übereinstimmen, können Körper und Körpernetz zusammen gehören.

  Lösung

  Das Körpernetz eines Körpers stellt seine Seitenflächen und ggf. Mantelflächen in der Ebene dar. Die Anzahl der Seiten- und Mantelflächen entspricht der Anzahl der Teilflächen des Körpernetzes. Für die Seitenflächen gilt auch: Die geometrische Gestalt einer Seitenfläche entspricht der geometrischen Gestalt einer Teilfläche des Körpernetzes. Die geometrische Gestalt der Mantelflächen ist weniger leicht im Körpernetz erkennbar.

  Aus dieser Überlegung erhältst du die Zuordnung in dem Bild.

• Analysiere die Körpernetze.

  Tipps

  Zwei verschiedene Körpernetze desselben Körpers bestehen aus denselben Teilflächen.

  Jede Fläche eines Körpers ist eine Teilfläche seines Körpernetzes.

  Lösung

  Um ein Körpernetz eines Körpers zu konstruieren, schneidest du den Körper längs einiger seiner Kanten auf und faltest ihn auseinander. Das Körpernetz hängt davon ab, welche Kanten du zum Aufschneiden wählst. Die Seitenflächen eines Körpers sind die Teilflächen seines Körpernetzes. Daher besteht jedes Körpernetz desselben Körpers immer aus denselben Teilflächen. Sie unterscheiden sich aber ggf. in der Anordnung der Teilflächen.

  Die hier gezeigten Körper sind zwei Prismen und eine Pyramide. Die Grundfläche des einen Prismas ist ein Trapez, die des anderen ein Fünfeck, die der Pyramide ebenfalls ein Fünfeck.

  • Die Körpernetze des Prismas mit trapezförmiger Grundfläche bestehen jeweils aus zwei Trapezen und vier Rechtecken.

  • Die Körpernetze des Prismas mit fünfeckiger Grundfläche bestehen jeweils aus zwei Fünfecken und fünf Rechtecken.

  • Die Körpernetze der Pyramide bestehen jeweils aus einem Fünfeck und fünf Dreiecken.

• Benenne die Körper.

  Tipps

  Eine Kugel hat keine Ecken und Kanten.

  Ein Prisma hat auch parallele Kanten außerhalb der Grundfläche, eine Pyramide nicht.

  Ein Rechteck ist kein Körper.

  Lösung

  Die geometrischen Grundkörper sind der Würfel, der Quader, das Prisma, die Pyramide, der Zylinder, der Kegel und die Kugel.

  Der Kreis, das Rechteck und das Dreieck sind keine Körper, sondern Flächen.

  Im Bild siehst du die richtige Zuordnung der Namen.

• Analysiere die Aussagen über Körpernetze.

  Tipps

  Überlege, wie ein Körper aussehen könnte oder müsste, für den diese Fläche ein Körpernetz wäre.

  Mit dieser Fläche kann kein geschlossener Körper zusammengefaltet werden, weshalb sie kein Körpernetz darstellt.

  Lösung

  Die meisten Aussagen kannst du überprüfen, indem du dir konkrete Beispiele überlegst, die dazu passen. Aber Vorsicht: Nicht jede Aussage, die für ein Beispiel passt, gilt auch für alle anderen Beispiele!

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Es gibt kein Körpernetz, welches ausschließlich aus drei Vierecken besteht.“ Körper, deren Körpernetze nur aus Vierecken bestehen, sind der Würfel (hierbei sind die Vierecke sogar Quadrate) und der Quader. Beide solche Körpernetze bestehen aus sechs Vierecken.

  • „Es gibt einen Körper, dessen Körpernetz aus Fünfecken besteht.“ Das regelmäßige Dodekaeder hat $12$ fünfeckige Seiten. Jedes Körpernetz des Dodekaeders besteht daher aus $12$ regelmäßigen Fünfecken.

  • „Es gibt keinen Körper, dessen Körpernetz aus fünf in einer Reihe nebeneinander liegenden Rechtecken besteht.“ Ein solches Körpernetz ergäbe beim Zusammensetzen nur einen Ring, keinen geschlossenen Körper. Um ein Prisma zu bilden, fehlen die beiden Grundflächen.

  • „Zu jedem Körpernetz gibt es genau einen passenden Körper.“ Ein Körpernetz entsteht durch Aufschneiden und Auffalten eines Körpers und lässt sich daher immer zu einem Körper wieder zusammensetzen. Diese Zusammensetzung ist eindeutig, obwohl die Auffaltung eines Körpers zu einem Körpernetz nicht eindeutig ist. Anderseits lässt sich aber nicht jede beliebige Auswahl verbundener Flächen zu einem Körper zusammensetzen. Eine solche Auswahl ist dann kein Körpernetz.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Zu jedem geometrischen Körper gibt es ein Körpernetz.“ Die Kugel hat kein Körpernetz, da sie keine Kanten und Fläche besitzt, längs derer sie aufgeschnitten werden könnte.

  • „Jedes Körpernetz entsteht aus dem Körper durch Aufschneiden längs einer Kante und anschließendem Auffalten.“ Im Allgemeinen reicht ein Schnitt nicht aus, um einen Körper in ein Körpernetz aufzufalten.

  • „Es gibt kein Körpernetz, welches ausschließlich aus vier Dreiecken besteht.“ Das Körpernetz des regelmäßigen Tetraders besteht aus vier Dreiecken. Ebenso jedes Körpernetz einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche.

  • „Wenn ein Körper ein Körpernetz besitzt, so gibt es kein anderes Körpernetz desselben Körpers.“ Das Körpernetz eines Körpers ist nicht eindeutig. Es gibt immer verschiedene Möglichkeiten, den Körper längs der Kanten und ggf. Flächen aufzuschneiden und aufzufalten. Diese verschiedenen Möglichkeiten führen zu verschiedenen Körpernetzen.