Konstruktion eines Trapezes

Konstruktion eines Trapezes Übung

• Gib die Konstruktion des Trapezes wieder.

  Tipps

  Trage zuerst die Entfernung der Punkte $A$ und $B$ ab und zeichne dann die Strecke $a$ ein.

  Die Konstruktion endet mit dem Einzeichnen des Punktes $C$.

  Lege zur Abtragung eines Winkels den Mittelpunkt des Winkelmessers an demjenigen Eckpunkt an, an dem der Winkel anliegen soll.

  Lösung

  Du kannst das Trapez aus den Vorgaben in folgenden Schritten konstruieren:

  1. Zeichne die Punkte $A$ und $B$ im Abstand von $8~\text{cm}$ ein und verbinde die Punkte zur Strecke $a$.
  2. Trage mit dem Winkelmesser im Punkt $A$ den Winkel $\alpha=45^\circ$ zur Strecke $a$ ab.
  3. Verbinde die Markierung für den Winkel $\alpha$ mit dem Eckpunkt $A$ zu einer Halbgeraden, auf der die Strecke $d$ liegen wird.
  4. Trage mit dem Winkelmesser im Punkt $B$ den Winkel $\beta = 80^\circ$ ab.
  5. Verbinde die Markierung für den Winkel $\beta$ mit dem Eckpunkt $B$ zu einer Halbgeraden, auf der die Strecke $b$ liegen wird.
  6. Trage mit dem Zentimetermaß die Länge $b=5,7~\text{cm}$ auf der von $B$ ausgehenden Halbgeraden ab und markiere dort den Punkt $D$.
  7. Lege das Geodreieck an die Strecke $a$ an und ein weiteres Lineal an eine andere Seite des Geodreiecks und führe eine Parallelverschiebung parallel zu der Seite $a$ in Richtung des Punktes $D$ durch.
  8. Zeichne die Parallele zur Strecke $a$ durch den Punkt $D$, markiere den Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Halbgeraden durch den Punkt $B$ und bezeichne ihn mit $C$.

• Benenne die geometrische Größe aus dem Konstruktionsschritt.

  Tipps

  In einem Viereck werden die Eckpunkte $A$, $B$, $C$ und $D$ gegen den Uhrzeigersinn benannt. Genauso verhält es sich mit den Bezeichnungen der Seiten $a$, $b$, $c$ und $d$ und der Winkel $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$.

  Mit dem Zirkel kannst du eine Länge abtragen, aber keinen Winkel.

  Nicht jeder der Konstruktionsschritte führt zu einem eindeutigen Ergebnis.

  Lösung

  Um ein Trapez zu konstruieren, können verschiedene geometrische Größen vorgegeben sein, nämlich Seitenlängen, Winkelgrößen oder die Längen der Diagonalen. Mit dem Zirkel oder mit einem Zentimetermaß kannst du Längen abtragen, mit dem Winkelmesser die Winkel. Dazu legst du den Mittelpunkt des Winkelmessers an denjenigen Eckpunkt an, an dem auch der Winkel anliegen soll.

  Hier ist eine Beschreibung der einzelnen Konstruktionsschritte in der korrekten Reihenfolge:

  1. Mit dem Zirkel wird die Länge der Diagonale $f$ vom Eckpunkt $D$ aus auf der Halbgeraden durch $A$ abgetragen. Durch die Abtragung wird mittelbar auch der Punkt $B$ festgelegt.
  2. Mit dem Winkelmesser wird im Punkt $A$ der Winkel $\alpha$ zu der Strecke $d$ abgetragen.
  3. Mit dem Zirkel wird vom Punkt $b$ aus die Länge der Strecke $b$ auf der Parallelen zur $a$ durch $D$ abgetragen.
  4. Mit dem Zentimetermaß wird die Länge der Strecke $b$ auf der Halbgeraden von $A$ aus abgetragen.
  5. Mittels einer Parallelverschiebung wird die Strecke $c$ als Parallele zu $a$ durch $D$ konstruiert.
  6. Mit dem Winkelmesser wird im Punkt $B$ der Winkel $\beta$ zu der Strecke $a$ abgetragen.

• Erschließe die Trapeze.

  Tipps

  Bei einem Trapez mit parallelen Seiten $a$ und $c$ gilt $\alpha + \delta = 180^\circ$ und $\beta + \gamma = 180^\circ$.

  Vergleiche die Winkelgrößen der Trapeze mit denen in den Vorgaben.

  Die Trapeze sind durch die Konstruktionsangaben nicht eindeutig festgelegt.

  Lösung

  Die Vorgaben zur Konstruktion der Trapeze sind alle nicht vollständig, sodass jeweils mehr als ein Trapez aus diesen Vorgaben konstruierbar ist. Die gezeichneten Trapeze sind also durch die Angaben nicht eindeutig bestimmt, sondern nur eine Möglichkeit. Du kannst selbst andere Trapeze aus diesen Vorgaben konstruieren.

  Um die Trapeze den Konstruktionsvorgaben zuzuordnen, vergleichst du systematisch die geometrischen Größen in den Bildern mit den Vorgaben. Im Bild hier siehst du die Trapeze mit der Beschriftung der Seiten und Winkel. Die Zuordnung geht aus dieser Beschriftung hervor.

  1. Die Seiten $a$ und $b$ stehen aufeinander senkrecht, daher gehört dieses Trapez zu dem Set von Konstruktionsvorgaben, das $\beta=90^\circ$ enthält.
  2. Bei diesem Trapez ist $\alpha = 60^\circ$. Es gibt nur ein Set von Konstruktionsvorgaben mit dieser Winkelgröße für $\alpha$.
  3. Hier beträgt der Winkel $\alpha = 80^\circ$. Daraus ergibt sich $\delta = 180-80=100^\circ$. Es gibt nur ein Set von Konstruktionsvorgaben mit dieser Winkelgröße.
  4. Hier ist $\alpha = 50^\circ$. Es gibt zwei Sets von Konstruktionsvorgaben mit dieser Winkelgröße. Es gibt aber nur ein Set von Konstruktionsvorgaben mit dieser Winkelgröße für $\alpha$.

• Vervollständige die Vorgaben.

  Tipps

  Die Vorgabe des Winkels $\alpha$ ist äquivalent zu der Vorgabe von $\delta$, da immer gilt: $\delta = 180^\circ - \alpha$.

  Die verschiedenen Trapeze zu den Vorgaben hier im Bild unterscheiden sich z. B. durch die Winkel zwischen den Strecken $a$ bzw. $c$ und der Diagonalen $g$. Das Trapez wird eindeutig bestimmt durch die zusätzliche Vorgabe einer der vier Winkel $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ oder durch die Länge einer der Seiten $b$ bzw. $d$ oder durch die Länge der Diagonalen $f$.

  Lösung

  Um ein Trapez konstruieren zu können, ist die Kenntnis von mindestens vier geometrischen Größen notwendig. Aber nicht in jedem Fall sind vier Größen bereits hinreichend, um die Konstruktion eindeutig festzulegen. Durch welche zusätzliche Größe die Konstruktion eindeutig wird, ist selbst nicht eindeutig festgelegt. Es gibt in jedem Fall mehrere Möglichkeiten der Ergänzung.

  Hier findest du folgende unvollständige Konstruktionsvorgaben für Trapeze und ihre möglichen Vervollständigungen:

  Beispiel 1:

  Die Lage der Seite $c$ ist nur bis auf Parallelverschiebung eindeutig bestimmt. Um die Konstruktion eindeutig zu machen, muss die Lage der Seite $c$ festgelegt werden. Dies geschieht z. B. durch die Länge der Seiten $d$ oder $b$ oder durch die Länge der Seite $c$ selbst oder durch die Länge der Diagonale $f$ oder $g$. Diese Längen kannst du jeweils mit dem Zirkel abtragen. Auch die Länge der Seite $c$ würde die Konstruktion eindeutig machen, aber diese Länge könntest du nicht direkt mit dem Zirkel abtragen.

  Beispiel 2:

  Bei diesem Trapez ist die Lage der Seite $b$ sowie ihr Winkel zu den Seiten $c$ und $a$ unbestimmt. Einzig der Punkt $C$ ist bestimmt, durch den die Seite $b$ verläuft. Du kannst die Angaben eindeutig machen, indem du den Winkel $\beta$ oder $\gamma$ festlegst oder die Länge der Diagonale $f$. Die Länge der Seite $b$ macht die Konstruktion nicht eindeutig: Trägst du die Länge mit dem Zirkel vom Punkt $C$ aus auf der Halbgeraden durch $A$ ab, so wird der Halbkreisbogen im Allgemeinen zwei Schnittpunkte mit der Halbgerade haben.

  Beispiel 3:

  Die Länge der Seite $b$ ist festgelegt, aber nicht ihre genaue Lage. Diese wird durch den Winkel $\beta$ oder $\gamma$ bestimmt, aber auch durch die Länge der Diagonale $f$ oder der Seite $c$.

  Beispiel 4:

  Diese Konstruktionsvorgaben können auf verschiedene Weisen ergänzt werden, aber nur die Ergänzung durch den Winkel $\beta$ oder $\gamma$ macht die Konstruktion eindeutig. Ergänzt man etwa die Länge der Seite $b$ oder der Diagonalen $f$, so lassen auch die ergänzten Vorgaben noch jeweils mögliche vier Trapeze zu.

• Beschrifte die Figur.

  Tipps

  Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten.

  Bei einem Viereck werden die Eckpunkte, Seiten und Winkel in alphabetischer Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet.

  Dem Winkel $\alpha$ liegt der Winkel $\gamma$ gegenüber.

  Lösung

  Bei einem Viereck bezeichnet man die Eckpunkte mit lateinischen Großbuchstaben, die Seiten mit lateinischen Kleinbuchstaben und die Winkel mit griechischen Kleinbuchstaben, und zwar jeweils in alphabetischer Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn. An dem Eckpunkt $A$ liegt der Winkel $\alpha$, am Eckpunkt $B$ der Winkel $\beta$ usw.

  Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten zueinander parallel sind, d. h. in derselben Richtung verlaufen. Diese Seiten haben keinen Punkt gemeinsam, sonst wären sie nicht parallel. Zueinander parallele Seiten eines Vierecks müssen einander also gegenüberliegen.

  Das Viereck im Bild ist ein Trapez, denn die Seiten $a$ und $c$ sind zueinander parallel. Sie verlaufen beide horizontal, also parallel zur oberen oder unteren Bildschirmkante. Um zu bezeichnen, dass die Seiten parallel sind, schreibt man auch:

  $a \parallel c$

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Ähnliche Figuren haben dieselben Winkelgrößen, aber nicht unbedingt dieselben Seitenlängen.

  Ein symmetrisches Trapez hat folgende Eigenschaften:

  • $b = d$
  • $\alpha = \beta$
  • $\gamma = \delta$

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Um ein Trapez eindeutig festzulegen, ist die Vorgabe von mindestens vier geometrischen Größen notwendig.“ Durch drei Größen allein ist ein Trapez nie eindeutig festgelegt.

  • „Kennst du von einem Trapez nur die vier Seitenlängen, so kannst du es noch nicht eindeutig konstruieren.“ Ein Parallelogramm ist ein spezielles Trapez, bei dem beide Paare gegenüberliegender Seiten zueinander parallel sind. Ist keiner der Winkel festgelegt, so kannst du das Parallelogramm scheren, ohne die Parallelität der Seiten zu zerstören. Das Parallelogramm ist also durch die Vorgabe der Seitenlängen nicht eindeutig festgelegt.

  • „Ein Trapez ist eindeutig bestimmt, wenn man die Länge der Diagonalen, ihren Schnittpunkt und den Winkel zwischen den Diagonalen festlegt.“ Diese vier ungewöhnlichen Größen legen ein Trapez eindeutig fest. Allerdings führen nur spezielle Wahlen der Größen überhaupt zu einem Trapez.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Durch die Festlegung der Diagonalenlängen und einer Seite ist ein Trapez eindeutig bestimmt.“ Drei Größen reichen nicht aus, um das Trapez eindeutig zu konstruieren. Du musst z. B. noch einen Winkel oder eine weitere Seitenlänge festlegen.

  • „Ein Trapez ist durch die Vorgabe seiner vier Winkel eindeutig konstruierbar.“ Zwei zueinander ähnliche Trapeze haben dieselben Winkelgrößen, aber nicht dieselben Seitenlängen. Daher legen die vier Winkelgrößen ein Trapez nicht eindeutig fest.

  • „Zur eindeutigen Konstruktion eines symmetrischen Trapezes ist die Vorgabe von zwei Seitenlängen ausreichend.“ Die Vorgabe, dass das Trapez symmetrisch sein soll, ist eine geometrische Vorgabe für die Konstruktion, ähnlich wie die Vorgabe einer Seite oder eines Winkels. Zusammen mit den beiden Seitenlängen sind aber nur drei geometrische Größen festgelegt, und das ist mindestens eine zu wenig. Du kannst mit der Vorgabe zweier Seitenlängen (zum Beispiel $a$ und $c$) immer noch verschiedene symmetrische Trapeze konstruieren: Probier es mal aus!