Innenwinkel im Parallelogramm

Innenwinkel im Parallelogramm Übung

• Benenne die Eigenschaften der Innenwinkel eines Parallelogramms.

  Tipps

  • Die Winkel $\alpha$ und $\alpha'$ sind Stufenwinkel.
  • Die Winkel $\alpha'$ und $\gamma$ sind Wechselwinkel.

  Die beiden Winkel $\beta$ und $\alpha'$ sind Nebenwinkel.

  • Stufenwinkel und Wechselwinkel sind gleich groß.
  • Nebenwinkel addieren sich zu $180^\circ$.

  Lösung

  In einem Parallelogramm sind die einander gegenüber liegenden Seiten parallel zueinander und gleich lang. Außerdem kann man auch noch besondere Eigenschaften für die Innenwinkel feststellen.

  Einander gegenüber liegende Winkel sind gleich groß

  Das bedeutet: $\alpha=\gamma$ und $\beta=\delta$.

  Benachbarte Winkel summieren sich immer zu $180^\circ$.

  Also gilt:

  • $\alpha+\beta=180^\circ$
  • $\alpha+\delta=180^\circ$
  • $\gamma+\beta=180^\circ$
  • $\gamma+\delta=180^\circ$

• Zeige auf, wie die Eigenschaften der Innenwinkel eines Parallelogramms nachgewiesen werden können.

  Tipps

  Verwende den Kongruenzsatz SSS: Zwei Dreiecke sind kongruent, also deckungsgleich, wenn sie in den Längen ihrer Seiten übereinstimmen.

  Aus der Kongruenz zweier Dreiecke folgt, dass diese Dreiecke ähnlich sind. Umgekehrt gilt dies im Allgemeinen nicht.

  In ähnlichen Dreiecken stimmen die einander entsprechenden Winkel überein.

  Lösung

  Zuerst soll folgende Behauptung bewiesen werden:

  $\alpha+\beta=\alpha+\delta=\gamma+\beta=\gamma+\delta=180^\circ$.

  Hierfür betrachten wir das Winkelpaar $\alpha$ und $\beta$. Bei gedrehtem Parallelogramm kannst du erkennen, dass $\alpha$ und $\beta$ entgegengesetzt liegende Winkel an parallelen Geraden sind. Deshalb ist deren Summe $180^\circ$.

  Ebenso kannst du diese Behauptung für die übrigen drei Winkelpaare nachweisen.

  Kommen wir nun zu folgender Behauptung:

  $\alpha=\gamma$ und $\beta=\delta$.

  Um diese zu beweisen betrachten wir das Parallelogramm mit den Ecken $A$, $B$, $C$ und $D$ sowie die beiden einander gegenüber liegenden Winkel $\alpha$ und $\gamma$.

  • Die Verbindung der beiden Punkte $B$ und $D$ ist eine Diagonale.
  • Diese teilt das Parallelogramm in zwei Dreiecke $\Delta_{ABD}$ und $\Delta_{BCD}$.
  • Diese beiden Dreiecke sind kongruent.

  Die Kongruenz kann mit dem Kongruenzsatz SSS nachgewiesen werden. Dieser besagt, dass zwei Dreiecke kongruent, also deckungsgleich, sind, wenn sie in den Längen ihrer Seiten übereinstimmen.

  • $|\overline{AB}|=|\overline{CD}|$
  • $|\overline{AD}|=|\overline{BC}|$
  • Die beiden Dreiecke haben die Seite $\overline{BD}$ gemeinsam.

  Da die Dreiecke kongruent sind, stimmen auch die einander entsprechenden Winkel überein.

  Übrigens kann man dies umgekehrt nicht schlussfolgern. Wenn man also zwei Dreiecke betrachtet, die in ihren Winkeln übereinstimmen, müssen diese nicht kongruent sein.

  Damit folgt, dass $\alpha=\gamma$ ist.

  Auf die gleiche Weise kann auch $\beta =\delta$ nachgewiesen werden.

• Berechne die fehlenden Winkel.

  Tipps

  Einander gegenüber liegende Winkel in einem Parallelogramm sind gleich groß.

  Benachbarte Winkel in einem Parallelogramm summieren sich immer zu $180^\circ$.

  Lösung

  Der Winkel $\delta$ liegt dem bekannten Winkel gegenüber.

  Da einander gegenüber liegende Winkel gleich groß sind, gilt $\delta=70^\circ$.

  Sowohl der Winkel $\alpha$ als auch $\gamma$ sind benachbart zu dem bekannten Winkel.

  Da benachbarte Winkel sich zu $180^\circ$ addieren, gilt

  • $\alpha+70^\circ=180^\circ$
  • Durch Subtraktion von $70$ erhältst du $\alpha=180^\circ-70^\circ=110^\circ$.
  • Da der Winkel $\gamma$ dem Winkel $\alpha$ gegenüber liegt, gilt $\gamma=110^\circ$.

• Leite die vier Innenwinkel her.

  Tipps

  Sei der kleinere Winkel $\alpha$, dann ist der größere benachbarte Winkel $\beta=n\cdot \alpha$.

  Da die Summe benachbarter Winkel $180^\circ$ beträgt, erhältst du die Gleichung $\alpha+n\cdot \alpha=(n+1)\alpha=180^\circ$.

  Forme die Gleichung $(n+1)\alpha=180^\circ$ nach $\alpha$ um.

  Wenn du $\alpha$ kennst, kannst du auch alle anderen fehlenden Winkel berechnen.

  Es ist $\gamma=\alpha$ und $\delta=n\cdot \alpha$.

  Lösung

  Für die beiden benachbarten Winkel $\alpha$ und $\beta$ ist bekannt, dass $\beta=n\cdot\alpha$ ist.

  • Da die Summe zweier benachbarter Winkel $180^\circ$ beträgt, folgt $\alpha+n\cdot\alpha=180^\circ$.
  • Ausklammern von $\alpha$ führt zu $(n+1)\alpha=180^\circ$.
  • Division durch $n+1$ führt zu $\alpha=\frac{180^\circ}{n+1}$.

  Nun kann es losgehen:

  • $n=2$ führt zu $\alpha=\frac{180^\circ}{2+1}=60^\circ$ und somit $\gamma=60^\circ$ sowie $\beta=\delta=120^\circ$.
  • $n=3$ führt zu $\alpha=\frac{180^\circ}{3+1}=45^\circ$ und somit $\gamma=45^\circ$ sowie $\beta=\delta=135^\circ$.
  • $n=4$ führt zu $\alpha=\frac{180^\circ}{4+1}=36^\circ$ und somit $\gamma=36^\circ$ sowie $\beta=\delta=144^\circ$.
  • $n=5$ führt zu $\alpha=\frac{180^\circ}{5+1}=30^\circ$ und somit $\gamma=30^\circ$ sowie $\beta=\delta=150^\circ$.

• Beschreibe die Eigenschaften eines Parallelogramms.

  Tipps

  • Benachbarte Seiten sind zum Beispiel $a$ und $d$.
  • Die Seiten $a$ und $c$ liegen zum Beispiel einander gegenüber.

  $\alpha$ und $\beta$ sind benachbarte Winkel, ebenso $\alpha$ und $\delta$.

  Lösung

  In einem Parallelogramm sind die einander gegenüber liegenden Seiten parallel zueinander (daher kommt auch der Name) und gleich lang.

  Kommen wir nun zu den Besonderheiten der Innenwinkel im Parallelogramm:

  1. Es gilt, dass die Summe eines beliebigen Winkels und eines zu diesem Winkel benachbarten Winkel immer $180^\circ$ beträgt: $\alpha+\beta=\beta+\gamma=\gamma+\delta=\delta+\alpha=180^\circ$
  2. Zwei einander gegenüber liegende Winkel in einem Parallelogramm sind immer gleich groß.

  Übrigens: Diese Aussagen gelten natürlich auch für jede Raute, für jedes Rechteck und für jedes Quadrat, da diese besondere Parallelogramme sind.

• Ermittle alle Winkel der Raute.

  Tipps

  • Das Dreieck $\Delta_{ABD}$ ist gleichschenklig.
  • In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.

  Es gilt der Winkelsummensatz: In einem Dreieck ist die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$.

  Beachte, dass in jedem Parallelogramm Folgendes gilt:

  • Einander gegenüber liegende Winkel sind gleich groß.
  • Die Summe benachbarter Winkel beträgt immer $180^\circ$.

  Lösung

  Das Dreieck $\Delta_{ABD}$ ist gleichschenklig. Die Basiswinkel von gleichschenkligen Dreiecken sind gleich groß: Das bedeutet, dass der Winkel $\angle(ADB)=\beta_1=40^\circ$ ist.

  Mit dem Winkelsummensatz in dem Dreieck $\Delta_{ABD}$ folgt $\alpha=180^\circ-(40^\circ-40^\circ)=100^\circ$.

  Damit sind alle übrigen Winkel klar:

  • $\gamma=\alpha=100^\circ$
  • Mit $\alpha+\delta=180^\circ$ folgt durch Subtraktion von $100^\circ$, dass $\delta=80^\circ$ ist.
  • Somit muss auch $\beta=\beta_1+\beta_2=\delta=80^\circ$ gelten und du erhältst $\beta_2=40^\circ$.

  Insbesondere kannst du der obigen Argumentation entnehmen, dass die (beiden!) Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ sowie $\beta$ und $\delta$ halbieren.