Umfang eines Rechtecks – Übung

Umfang eines Rechtecks – Übung Übung

• Vervollständige den Text zum Umfang von Rechtecken.

  Tipps

  Du kannst zum Beispiel $b + b$ zu $2b$ zusammenfassen.

  Es gilt immer: Klammern zuerst.

  Die Seiten eines Rechtecks werden meistens mit Länge und Breite bzw. den Variablen $a$ und $b$ bezeichnet.

  Lösung

  Für den Umfang eines Rechtecks addieren wir alle vier Seitenlängen. Der Umfang entspricht also der Summe aller Seiten.
  Hat das Rechteck die Länge $a$ und die Breite $b$, dann ergibt sich als Formel:

  $\begin{array}{rcl} U & = & a + b + a + b \\ & = & 2a + 2b \\ & = & 2(a+b) \end{array}$

  Wenn wir Werte für $a$ und $b$ in die Formel einsetzen, bestimmen wir immer zuerst den Wert in der Klammer, da Klammern Vorrang haben. Danach wird dieses Ergebnis mit $2$ multipliziert. Wichtig bei der Berechnung ist es, darauf zu achten, die Längeneinheiten von $a$ und $b$ in jedem Schritt mit aufzuschreiben.

• Berechne den Umfang der Rechtecke.

  Tipps

  Die allgemeine Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet $U = 2(a + b)$. Die Werte, die in der Klammer addiert werden, entsprechen also den Seitenlängen $a$ und $b$ des Rechtecks.

  Achte auf die Längeneinheiten.

  Wenn bereits $U = 2(14 ~\text{cm} + 7 ~\text{cm})$ gegeben ist, dann können wir daraus schließen, dass eine Seite des Rechtecks $14 ~\text{cm}$ und die andere Seite $7 ~\text{cm}$ lang ist.

  Lösung

  Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe aus der Länge aller Seiten. Zur Berechnung nutzen wir die zusammengefasste Formel:

  $U = 2(a + b)$

  Zuerst berechnen wir den Wert in der Klammer und multiplizieren anschließend mit $2$.

  Beispiel 1: $a = 24 ~\text{cm}$ und $b = 17 ~\text{cm} \rightarrow$ Das sind die beiden Werte in der Klammer.

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(24 ~\text{cm} + 17 ~\text{cm}) \\ & = & 2 \cdot 41 ~\text{cm} \\ & = & 82 ~\text{cm} \end{array}$

  Vor der Klammer steht in dieser Formel immer eine $2$.

  Beispiel 2: $a = 8 ~\text{m}$ und $b = 5,5 ~\text{m} \rightarrow$ Das sind die beiden Werte in der Klammer.

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(8 ~\text{m} + 5,5 ~\text{m}) \\ & = & 2 \cdot 13,5 ~\text{m} \\ & = & 27 ~\text{m} \end{array}$

  Die Einheit musst du beim Rechnen mitnehmen.

• Ermittle den Umfang der Rechtecke.

  Tipps

  Setze die Seitenlängen $a$ und $b$ in die Formel $U=2(a+b)$ ein, um den Umfang zu bestimmen.

  Du berechnest zunächst die Summe in der Klammer und multiplizierst das Ergebnis dann mit $2$, um den Umfang zu erhalten.

  Beispiel:

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(11 ~\text{m} + 5 ~\text{m}) \\ & = & 2 ~ \cdot ~ 16 ~\text{m} \\ & = & 32 ~\text{m} \end{array}$

  Lösung

  Den Umfang eines Rechtecks bestimmst du, indem du alle Seiten addierst. Die Formel lässt sich vereinfachen zu:

  $U = 2(a+b)$

  Zur Berechnung des Umfangs setzt du zunächst die gegebenen Werte für $a$ und $b$ in diese Formel ein.
  Im nächsten Schritt berechnest du die Summe in der Klammer und multiplizierst diese anschließend mit $2$, um das Ergebnis zu erhalten.

  Beispiel 1: $a = 5 ~\text{cm}$ und $b = 7 ~\text{cm}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(5 ~\text{cm} + 7 ~\text{cm}) \\ & = & 2 \cdot 12 ~\text{cm} \\ & = & 24 ~\text{cm} \end{array}$

  Beispiel 2: $a = 10 ~\text{m}$ und $b = 15 ~\text{m}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(10 ~\text{m} + 15 ~\text{m}) \\ & = & 2 \cdot 25 ~\text{m} \\ & = & 50 ~\text{m} \end{array}$

  Beispiel 3: $a = 6,5 ~\text{cm}$ und $b = 15,5 ~\text{cm}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(6,5 ~\text{cm} + 15,5 ~\text{cm}) \\ & = & 2 \cdot 22 ~\text{cm} \\ & = & 44 ~\text{cm} \end{array}$

  Beispiel 4: $a = 113 ~\text{m}$ und $b = 85 ~\text{m}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(113 ~\text{m} + 85 ~\text{m}) \\ & = & 2 \cdot 198 ~\text{m} \\ & = & 396 ~\text{m} \end{array}$

• Ermittle die Längen eines Rechtecks mit dem Umfang $30 ~\text{cm}$.

  Tipps

  Achte auf die passenden Einheiten!

  Berechne den Umfang eines Rechtecks mit den angegebenen Seitenlängen und überprüfe, ob er mit $30 ~\text{cm}$ übereinstimmt.

  Welchen Wert muss die Klammer, also die Summe der beiden Seiten $a$ und $b$, immer betragen, wenn das Ergebnis der Formel insgesamt $30 ~\text{cm}$ sein soll?

  Lösung

  Aus den Seitenlängen $a$ und $b$ kannst du mit der bekannten Formel $U = 2(a + b)$ den Umfang des zugehörigen Rechtecks berechnen.
  Um ein Rechteck mit einem Umfang von $30 ~\text{cm}$ zu erhalten, muss der Wert in der Klammer, also die Summe der beiden Seiten $a$ und $b$, immer $15 ~\text{cm}$ betragen.

  Folgende Beispiele sind richtig:

  • $a = 10 ~\text{cm}$ und $b = 5 ~\text{cm}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(10 ~\text{cm} + 5 ~\text{cm}) \\ & = & 2 \cdot 15 ~\text{cm} \\ & = & 30 ~\text{cm} \end{array}$

  • $a = 3 ~\text{cm}$ und $b = 12 ~\text{cm}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(3 ~\text{cm} + 12 ~\text{cm}) \\ & = & 2 \cdot 15 ~\text{cm} \\ & = & 30 ~\text{cm} \end{array}$

  • $a = 7,5 ~\text{cm}$ und $b = 7,5 ~\text{cm}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(7,5 ~\text{cm} + 7,5 ~\text{cm}) \\ & = & 2 \cdot 15 ~\text{cm} \\ & = & 30 ~\text{cm} \end{array}$

  Folgende Beispiele sind falsch:

  • $a = 7 ~\text{m}$ und $b = 6~\text{m}$ (Hier passt schon die Einheit $\text{m}$ nicht.)

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(7 ~\text{m} + 6 ~\text{m}) \\ & = & 2 \cdot 13 ~\text{m} \\ & = & 26 ~\text{m} \end{array}$

  • $a = 7,5 ~\text{cm}$ und $b = 6,5~\text{cm}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(7,5 ~\text{cm} + 6,5 ~\text{cm}) \\ & = & 2 \cdot 14 ~\text{cm} \\ & = & 28 ~\text{cm} \end{array}$

  • $a = 10 ~\text{cm}$ und $b = 6~\text{cm}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(10 ~\text{cm} + 6 ~\text{cm}) \\ & = & 2 \cdot 16 ~\text{cm} \\ & = & 32 ~\text{cm} \end{array}$

  • $a = 7,5 ~\text{cm}$ und $b = 8~\text{cm}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(7,5 ~\text{cm} + 8 ~\text{cm}) \\ & = & 2 \cdot 15,5 ~\text{cm} \\ & = & 31 ~\text{cm} \end{array}$

• Setze die gegebenen Seitenlängen in die Formel zur Berechnung des Umfangs ein.

  Tipps

  Erinnere dich an die Formel für den Umfang:

  $U = 2(a+b)$

  Achte beim Einsetzen auf die Längeneinheiten der beiden Seiten $a$ und $b$.

  Für die Seitenlängen $a = 5 ~\text{dm}$ und $b = 3 ~\text{dm}$ lautet die Formel für den Umfang zum Beispiel:

  $U = 2(5 ~\text{dm} + 3 ~\text{dm})$

  Lösung

  Den Umfang eines Rechtecks bestimmst du, indem du alle Seiten addierst. Die Formel lässt sich zu $U = 2(a+b)$ vereinfachen.
  Zur Berechnung des Umfangs setzt du zunächst die gegebenen Werte für $a$ und $b$ in diese Formel ein.

  Beispiel 1: $a = 6 ~\text{cm}$ und $b = 4 ~\text{cm}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(6 ~\text{cm} + 4 ~\text{cm}) \\ & = & 2 \cdot 10 ~\text{cm} \\ & = & 20 ~\text{cm} \end{array}$

  Beispiel 2: $a = 105 ~\text{m}$ und $b = 68 ~\text{m}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(105 ~\text{m} + 68 ~\text{m}) \\ & = & 2 \cdot 173 ~\text{m} \\ & = & 346 ~\text{m} \end{array}$

  Beispiel 3: $a = 24 ~\text{cm}$ und $b = 17 ~\text{cm}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(24 ~\text{cm} + 17 ~\text{cm}) \\ & = & 2 \cdot 41 ~\text{cm} \\ & = & 82 ~\text{cm} \end{array}$

  Beispiel 4: $a = 8 ~\text{m}$ und $b = 5,5 ~\text{m}$

  $\begin{array}{rcl} U & = & 2(8 ~\text{m} + 5,5 ~\text{m}) \\ & = & 2 \cdot 13,5 ~\text{m} \\ & = & 27 ~\text{m} \end{array}$

• Bestimme die Länge der fehlenden Seite des Rechtecks mit den gegebenen Größen.

  Tipps

  Nach der Formel $U = 2(a + b)$ ist der Umfang doppelt so lang wie die Summe der Seitenlängen.

  Versuche, die Formel rückwärts anzuwenden, indem du den Umfang halbierst und diese Länge dann auf die beiden Seiten verteilst.

  Wenn ein Rechteck zum Beispiel den Umfang $U = 30 ~\text{m}$ hat, dann muss die Summe der Seiten $a + b$ die Hälfte davon, also $15 ~\text{m}$, betragen. Wenn du bereits weißt, dass $a = 5 ~\text{m}$ ist, dann muss $b$ dementsprechend $10 ~\text{m}$ lang sein, damit die Summe passt.
  Damit gilt dann:

  $U = 2(a+b) = 2 (5 ~\text{m} + 10 ~\text{m}) = 2 \cdot 15 ~\text{m} = 30 ~\text{m}$

  Lösung

  Wenn du eine Seitenlänge und den Umfang eines Rechtecks kennst, dann kannst du daraus die Länge der anderen Seite erschließen.
  Wir erinnern uns an die Formel für den Umfang: $U = 2(a + b)$. Zur Berechnung des Umfangs haben wir also die Summe aus den beiden Seitenlängen verdoppelt. Umgekehrt bedeutet das, dass die beiden Seiten zusammen halb so lang sind, wie der Umfang des Rechtecks.

  Beispiel 1: $a = 10 ~\text{cm}$ und $U = 26 ~\text{cm}$
  Die Hälfte des Umfangs ist hier $26 ~\text{cm} : 2 = 13 ~\text{cm}$.
  Es muss also gelten $a + b = 13 ~\text{cm}$.
  Mit $a = 10 ~\text{cm}$ bleiben für $b$ noch $3 ~\text{cm}$, da gilt: $10 ~\text{cm} + 3 ~\text{cm} = 13 ~\text{cm}$.
  Und somit $U = 2(a+b) = 2 (10 ~\text{cm} + 3 ~\text{cm}) = 2 \cdot 13 ~\text{cm} = 26 ~\text{cm}$.

  Beispiel 2: $a = 6 ~\text{m}$ und $U = 20 ~\text{m}$
  Die Hälfte des Umfangs ist hier $20 ~\text{m} : 2 = 10 ~\text{m}$.
  Es muss also gelten $a + b = 10 ~\text{m}$.
  Mit $a = 6 ~\text{m}$ bleiben für $b$ noch $4 ~\text{m}$, da gilt: $6 ~\text{m} + 4 ~\text{m} = 10 ~\text{m}$.
  Und somit $U = 2(a+b) = 2 (6 ~\text{m} + 4 ~\text{m}) = 2 \cdot 10 ~\text{m} = 20 ~\text{m}$.

  Beispiel 3: $b = 21 ~\text{cm}$ und $U = 55 ~\text{cm}$
  Die Hälfte des Umfangs ist hier $50 ~\text{cm} : 2 = 27,5 ~\text{cm}$.
  Es muss also gelten $a + b = 27,5 ~\text{cm}$.
  Mit $b = 21 ~\text{cm}$ bleiben für $a$ noch $6,5 ~\text{cm}$, da gilt: $6,5 ~\text{cm} + 21 ~\text{cm} = 27,5 ~\text{cm}$.
  Und somit $U = 2(a+b) = 2 (6,5 ~\text{cm} + 21 ~\text{cm}) = 2 \cdot 27,5 ~\text{cm} = 55 ~\text{cm}$.