Umfang von Rechtecken

Umfang von Rechtecken Übung

• Beschreibe, wie man den Umfang eines Rechtecks berechnet.

  Tipps

  Es gilt:

  $2ab = 2 \cdot a \cdot b$

  $2a+2b = 2 \cdot a + 2 \cdot b$

  Lösung

  Rechtecke sind Vierecke mit zwei Paaren gleich langer gegenüberliegender Seiten und vier rechten Winkeln.
  Wir nennen die eine Seitenlänge $a$ und die andere Seitenlänge $b$.

  Der Umfang $U$ ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt. Der Umfang eines Rechtecks ist also gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten. Wir können also schreiben:

  $U = a+b+a+b$

  Wir können jeweils zwei Seitenlängen zusammenfassen und erhalten somit diese allgemeine Formel:

  $U=2a+2b$

  Da der Umfang eine Länge ist, brauchen wir die Längeneinheiten Millimeter, Zentimeter, Dezimeter, Meter oder Kilometer.

  Beispiel:

  Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=4~\text{cm}$ und $b=7~\text{cm}$ hat folgenden Umfang:

  $U = 2a+2b = 2 \cdot 4~\text{cm} + 2 \cdot 7~\text{cm} = 8~\text{cm} + 14~\text{cm} = 22~\text{cm}$

• Berechne den Umfang des Rechtecks.

  Tipps

  $U=2a+2b$

  Beispiel:

  Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=4~\text{cm}$ und $b=7~\text{cm}$ hat folgenden Umfang:

  $U = 2a+2b = 2 \cdot 4~\text{cm} + 2 \cdot 7~\text{cm} = 8~\text{cm} + 14~\text{cm} = 22~\text{cm}$

  Lösung

  Der Umfang $U$ ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt. Der Umfang eines Rechtecks ist also gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten. Da jeweils zwei Seiten gleich lang sind, können wir für ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ schreiben:

  $U=2a+2b$

  Wir setzen die Seitenlängen $a=65~\text{cm}$ und $b=32~\text{cm}$ ein und erhalten:

  $U = 2a+2b$
  $U = 2 \cdot 65~\text{cm} + 2 \cdot 32~\text{cm}$
  $U = 130~\text{cm} + 64~\text{cm}$
  $U = 194~\text{cm}$

• Bestimme den Umfang der Rechtecke.

  Tipps

  Der Umfang eines Rechtecks ist gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten.

  Lösung

  Der Umfang $U$ ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt. Der Umfang eines Rechtecks ist also gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten. Da jeweils zwei Seiten gleich lang sind, können wir für ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ schreiben:

  $U=2a+2b$

  Wir setzen die Seitenlängen ein und erhalten:

  Beispiel 1:

  $U = 2 \cdot 3~\text{cm} + 2 \cdot 7~\text{cm} = 6~\text{cm} + 14~\text{cm} = 20~\text{cm}$

  Beispiel 2:

  $U = 2 \cdot 4~\text{cm} + 2 \cdot 5~\text{cm} = 8~\text{cm} + 10~\text{cm} = 18~\text{cm}$

  Beispiel 3:

  $U = 2 \cdot 2~\text{cm} + 2 \cdot 4~\text{cm} = 4~\text{cm} + 8~\text{cm} = 12~\text{cm}$

  Beispiel 4:

  $U = 2 \cdot 3~\text{cm} + 2 \cdot 5~\text{cm} = 6~\text{cm} + 10~\text{cm} = 16~\text{cm}$

• Berechne den Umfang der Rechtecke mit den Seitenlängen $a$ und $b$.

  Tipps

  Achte auf die Einheiten! Manche Einheiten musst du noch umwandeln.

  Der Umrechnungsfaktor zwischen $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{dm}$ und $\text{m}$ beträgt $10$.

  So gilt zum Beispiel:

  $1~\text{dm}=10~\text{cm}$

  Lösung

  Der Umfang $U$ ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt. Der Umfang eines Rechtecks ist also gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten. Da jeweils zwei Seiten gleich lang sind, können wir für ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ schreiben:

  $U=2a+2b$

  Da der Umfang eine Länge ist, brauchen wir die Längeneinheiten:

  • Millimeter ($\text{mm}$)
  • Zentimeter ($\text{cm}$)
  • Dezimeter ($\text{dm}$)
  • Meter ($\text{m}$)
  • Kilometer ($\text{km}$)

  Wir müssen darauf achten, dass die Einheit von $a$ und $b$ gleich ist, bevor wir den Umfang berechnen können. Der Umrechnungsfaktor zwischen $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{dm}$ und $\text{m}$ beträgt $10$. Der Umrechnungsfaktor zwischen $\text{km}$ und $\text{m}$ beträgt $1\,000$.

  Beispiel 1:

  $a=3~\text{dm}$ und $b=13~\text{dm}$
  $U = 2a+2b = 2 \cdot 3~\text{dm} + 2 \cdot 13~\text{dm} = 6~\text{dm} + 26~\text{dm} = 32~\text{dm}$

  Beispiel 2:

  $a=13~\text{mm}$ und $b=3~\text{mm}$
  $U = 2a+2b = 2 \cdot 3~\text{mm} + 2 \cdot 13~\text{mm} = 6~\text{mm} + 26~\text{mm} = 32~\text{mm}$

  Beispiel 3:

  $a=13~\text{cm}$ und $b=3~\text{dm} = 30~\text{cm} $
  $U = 2a+2b = 2 \cdot 13~\text{cm} + 2 \cdot 30~\text{cm} = 26~\text{cm} + 60~\text{cm} = 86~\text{cm}$

  Beispiel 4:

  $a=13~\text{m}$ und $b=3~\text{m}$
  $U = 2a+2b = 2 \cdot 13~\text{m} + 2 \cdot 3~\text{m} = 26~\text{m} + 6~\text{m} = 32~\text{m}= 320~\text{dm}$

  Beispiel 5:

  $a=6~\text{dm}$ und $b=2~\text{dm}$
  $U = 2a+2b = 2 \cdot 6~\text{dm} + 2 \cdot 2~\text{dm} = 12~\text{dm} + 4~\text{dm} = 16~\text{dm}$

• Gib an, welche Einheiten der Umfang eines Rechtecks haben kann.

  Tipps

  Der Umfang $U$ ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt.

  Überlege, welche Einheiten überhaupt Längeneinheiten sind.

  Beispiel:

  Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=1~\text{m}$ und $b=7~\text{m}$ hat folgenden Umfang:

  $U = 2 \cdot 1~\text{m} + 2 \cdot 7~\text{m} = 2~\text{m} + 14~\text{m} = 15~\text{m}$

  Nur Einheiten wie $\text{m}$ stehen für Längeneinheiten. Solche mit einer kleinen Zahl oben, also mit einem Exponenten, wie $\text{m²}$ stehen für Flächeneinheiten oder wie bei $\text{m³}$ für Raumeinheiten.

  Lösung

  Der Umfang $U$ ist die Länge der Linie, die das Rechteck begrenzt. Der Umfang eines Rechtecks ist also gleich der Summe der Längen der vier Rechteckseiten. Wir können schreiben:

  $U=2a+2b$

  Da der Umfang eine Länge ist, brauchen wir diese Längeneinheiten:

  • Millimeter ($\text{mm}$)
  • Zentimeter ($\text{cm}$)
  • Dezimeter ($\text{dm}$)
  • Meter ($\text{m}$)
  • Kilometer ($\text{km}$)

  Folgende Größen passen also zu dem Umfang eines Rechtecks:

  • $\text{cm}$
  • $\text{mm}$
  • $\text{m}$
  • $\text{km}$

  Folgende Größen sind keine Längeneinheiten und passen somit nicht zu dem Umfang eines Rechtecks:

  • $\text{t}$ (Gewicht)
  • $\text{dm}^2$ (Fläche)
  • $\text{m}^3$ (Volumen)
  • $\text{kg}$ (Gewicht)

• Berechne die fehlenden Größen bei den Rechtecken und gib sie in $\text{dm}$ an.

  Tipps

  Achte auf die Einheiten. Es gilt:

  $10~\text{dm} = 1~\text{m}$

  Berechne im letzten Beispiel zuerst $2b$ und versuche dann, zu $U$ zu ergänzen.

  Lösung

  Für den Umfang $U$ des Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ gilt:

  $U=2a+2b$

  Da der Umfang eine Länge ist, verwenden wir die Längeneinheiten. Diese müssen wir gegebenenfalls umrechnen. Dabei gilt:

  • Der Umrechnungsfaktor zwischen $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{dm}$ und $\text{m}$ beträgt $10$.
  • Der Umrechnungsfaktor zwischen $\text{km}$ und $\text{m}$ beträgt $1\,000$.

  Beispiel 1:

  $a=9~\text{dm}$ und $b=1~\text{dm}$

  $U = 2a+2b = 2 \cdot 9~\text{dm} + 2 \cdot 1~\text{dm} = 18~\text{dm} + 2~\text{dm} = 20~\text{dm}$

  Beispiel 2:

  $a=11~\text{dm}$ und $b=2~\text{m}=20~\text{dm}$

  $U = 2a+2b = 2 \cdot 11~\text{dm} + 2 \cdot 20~\text{dm} = 22~\text{dm} + 40~\text{dm} = 62~\text{dm}$

  Beispiel 3:

  $b=35~\text{dm}$ und $U=10~\text{m}=100~\text{dm}$

  Wir berechnen zuerst das Doppelte von $b$:

  $2b = 2 \cdot 35~\text{dm} = 70~\text{dm}$

  Zu dem Umfang $U=100~\text{dm}$ fehlen nun noch $30~\text{dm}$. Diese müssen $2a$ entsprechen, sodass gilt:

  $a = 15~\text{dm}$