Winkelsumme in Vierecken

Winkelsumme in Vierecken Übung

• Gib die Aussage des Innenwinkelsummensatzes für Vierecke wieder.

  Tipps

  Beispiel für die Innenwinkel eines Vierecks:

  • $\alpha = 90^\circ$
  • $\beta = 125^\circ$
  • $\gamma = 45^\circ$
  • $\delta = 100^\circ$

  Der Begriff Innenwinkelsummensatz verrät dir, welche Rechenoperation angewendet wird.

  Lösung

  Die Innenwinkel im Viereck werden mit griechischen Buchstaben benannt:
  $\alpha,~ \beta,~ \gamma$ und $\delta$.

  Die Summe aller Innenwinkel ist in jedem Viereck gleich groß.

  Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel im Viereck $\color{#99CC00}{\mathbf{360^\circ}}$ beträgt.

  Wir schreiben dies als Formel:

  $\color{#99CC00}{\mathbf{\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ}}$

  Alle Winkel zusammen ergeben also $360^\circ$.

  Wir betrachten dazu noch ein Beispiel:
  In einem Viereck sind die Innenwinkel:

  • $\alpha = 90^\circ$
  • $\beta = 125^\circ$
  • $\gamma = 45^\circ$
  • $\delta = 100^\circ$

  Wir addieren alle vier Winkel...
  $90^\circ+ 125^\circ+ 45^\circ+ 100^\circ = 360^\circ$
  ...und erkennen, dass die Summe der Innenwinkel wie erwartet $360^\circ$ ergibt.

• Beschreibe, wie der Innenwinkelsummensatz für Vierecke bewiesen werden kann.

  Tipps

  Beginne damit, das Dreieck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zu teilen, wie abgebildet.

  Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$.

  Als letzten Schritt musst du die erhaltene Gleichung zusammenfassen.

  Lösung

  Um den Innenwinkelsummensatz für Vierecke zu beweisen, betrachten wir ein beliebiges allgemeines Viereck mit den Eckpunkten $A$, $B$, $C$ und $D$.
  Wir wollen zeigen, dass die Summe der Innenwinkel $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ genau $360^\circ$ beträgt.

  Dazu gehen wir wie folgt vor:

  1.$~$Wir zeichnen eine Diagonale zwischen den Eckpunkgen $A$ und $C$ ein.

  Die Diagonale teilt die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ jeweils in zwei kleinere Winkel. Wir nennen diese $\alpha_1$ und $\alpha_2$ mit ${\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha}$ beziehungsweise $\gamma_1$ und $\gamma_2$ mit ${\gamma_1 + \gamma_2 = \gamma}$.

  2.$~$Das Viereck wird durch die Diagonale in zwei Dreiecke geteilt: die Dreiecke $ABC$ und $ACD$.

  Wir wissen bereits, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck $180^\circ$ beträgt. Damit ergeben sich für die beiden Dreiecke die beiden Gleichungen:

  ${\alpha_2 + \beta + \gamma_2 = 180^\circ}~$ und $~{\alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ}$

  3.$~$Wir fügen diese beiden Gleichungen zusammen und erhalten:

  ${\alpha_2 + \beta + \gamma_2 + \alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ + 180^\circ}$

  4.$~$Diese Gleichung können wir noch sortieren:

  ${\alpha_1 + \alpha_2 + \beta + \gamma_1 + \gamma_2 + \delta = 360^\circ}$

  5.$~$Und im letzten Schritt zum Innenwinkelsummensatz für Vierecke zusammenfassen:
  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

  Die Innenwinkelsumme beträgt im Viereck $360^\circ$.

  
  

  Zusammengefasst erhalten wir folgende korrekte Reihenfolge:

  1.$~$Wir betrachten das Viereck $ABCD$ und zeichnen eine Diagonale zwischen $A$ und $C$ ein. Diese teilt:

  $\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha \quad$ und $\quad \gamma_1 + \gamma_2 = \gamma$

  2.$~$Für die beiden entstandenen Dreiecke $ABC$ und $ACD$ gilt:

  ${\alpha_2 + \beta + \gamma_2 = 180^\circ}~$ und $~{\alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ}$

  3.$~$Wir setzen diese Gleichungen zu einer Gleichung zusammen:

  ${\alpha_2 + \beta + \gamma_2 + \alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ + 180^\circ}$

  4.$~$Wir sortieren:

  ${\alpha_1 + \alpha_2 + \beta + \gamma_1 + \gamma_2 + \delta = 360^\circ}$

  5.$~$Und fassen zusammen:

  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

• Überprüfe, ob die vier gegebenen Winkel die Innenwinkel eines Vierecks sein können.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel für ein Viereck mit den eingetragenen vier Innenwinkeln.

  Bilde die Summe der vier gegebenen Winkel.

  Lösung

  Damit die vier gegebenen Winkel ein Viereck bilden können, muss der Innenwinkelsummensatz erfüllt sein.

  Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel im Viereck $360^\circ$ beträgt.
  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

  Wir bilden also jeweils die Summe der vier gegebenen Winkel, und überprüfen, ob diese $360^\circ$ ergibt:

  Viereck 1:
  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 126^\circ + 34^\circ + 112^\circ + 78^\circ = 350^\circ \neq 360^\circ$
  $\implies$ kein Viereck

  Viereck 2:
  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 90^\circ + 67^\circ + 103^\circ + 100^\circ = 360^\circ$
  $\implies$ Viereck

  Viereck 3:
  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 78^\circ + 95^\circ + 86^\circ + 101^\circ = 360^\circ$
  $\implies$ Viereck

  Viereck 4:
  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 66^\circ + 78^\circ + 19^\circ + 101^\circ = 264^\circ \neq 360^\circ$
  $\implies$ kein Viereck

  Viereck 5:
  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$
  $\implies$ Viereck

  Viereck 6:
  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 77^\circ + 115^\circ + 59^\circ + 108^\circ = 359^\circ \neq 360^\circ$
  $\implies$ kein Viereck

• Berechne den fehlenden Winkel $\beta$ der Vierecke.

  Tipps

  Du kannst mit dem Innenwinkelsummensatz für Viereck einen fehlenden Winkel in einem Viereck berechnen.

  Setze die gegebenen Winkel in die Gleichung $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$ ein und stelle nach dem gesuchten Winkel um.

  Lösung

  Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel im Viereck $360^\circ$ beträgt.
  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

  Um den fehlenden Winkel $\beta$ zu berechnen, können wir von $360^\circ$ die drei bekannten Winkel abziehen und erhalten so den gesuchten Winkel:
  $\beta = 360^\circ - \alpha - \gamma -\delta$

  Wir führen diese Berechnung für die vier Vierecke durch:

  Erstes Viereck:
  $\alpha = 68^\circ \,\, \gamma = 123^\circ \,\, \delta = 97^\circ$
  $\beta = 360^\circ - 68^\circ -123^\circ -97^\circ =72^\circ$

  Zweites Viereck:
  $\alpha = 131^\circ \,\, \gamma = 51^\circ \,\,\delta = 47^\circ$
  $\beta = 360^\circ - 131^\circ -51^\circ -47^\circ =131^\circ$

  Drittes Viereck:
  $\alpha = 106^\circ \,\, \gamma = 98^\circ \,\, \delta = 62^\circ$
  $\beta = 360^\circ - 106^\circ -98^\circ -62^\circ =94^\circ$

  Viertes Viereck:
  $\alpha = 99^\circ \,\, \gamma = 58^\circ \,\, \delta =116^\circ$
  $\beta = 360^\circ - 99^\circ -58^\circ -116^\circ =87^\circ$

• Benenne die Innenwinkel des abgebildeten Vierecks.

  Tipps

  Die griechischen Buchstaben entsprechen den Großbuchstaben der Ecken.

  Winkelbezeichnungen:

  • $\alpha$: $~$ Alpha
  • $\beta$: $~$ Beta
  • $\gamma$: $~$ Gamma
  • $\delta$: $~$ Delta

  Lösung

  Bei der Beschriftung eines Vierecks gehen wir wie folgt vor:

  Beschriftung der Ecken:
  Wir beginnen links unten und beschriften die Ecken dann gegen den Uhrzeigersinn in alphabetischer Reihenfolge mit Großbuchstaben:
  $A \quad - \quad B \quad - \quad C\quad - \quad D$

  Beschriftung der Innenwinkel:
  Wir beschriften die Innenwinkel mit griechischen Buchstaben. Die Buchstaben entsprechen den Großbuchstaben der Ecken:
  $\alpha \quad - \quad \beta \quad - \quad \gamma \quad - \quad \delta$
  Wir sprechen diese wie folgt:

  • $\alpha$: $~$ Alpha
  • $\beta$: $~$ Beta
  • $\gamma$: $~$ Gamma
  • $\delta$: $~$ Delta

  Somit ergibt sich die Beschriftung wie in der Abbildung.

• Ermittle die fehlenden Winkel der Vierecke.

  Tipps

  Beim Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel. Außerdem sind gegenüberliegende Winkel gleich groß.

  Beim Drachenviereck gibt es zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten und ein Paar gegenüberliegender gleich großer Winkel.

  Lösung

  Wir wissen, dass die Summe der Innenwinkel im Viereck $360^\circ$ beträgt:
  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

  In unserem Fall handelt es sich um spezielle Vierecke:

  Das Parallelogramm:
  Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel und gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
  Wir wissen also, dass $\alpha = \gamma = 110^\circ$ //. Entsprechend dem Winkelsummensatz bleiben $360^\circ - 110^\circ - 110^\circ = 140^\circ$ für die beiden verbleibenden Winkel:
  $\beta = \delta = 140^\circ :2 = 70^\circ$
  Insgesamt erhalten wir also die Winkel:

  $\alpha = 110^\circ$
  $\beta=\color{#99CC00}{\mathbf{70^\circ}}$
  $\gamma=\color{#99CC00}{\mathbf{110^\circ}}$
  $\delta=\color{#99CC00}{\mathbf{70^\circ}}$

  Das Drachenviereck:
  Es gibt zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten und ein Paar gegenüberliegender gleich großer Winkel.
  Es gilt also $\beta = \delta = 100^\circ$
  Den vierten fehlenden Winkel können wir über den Winkelsummensatz berechnen:
  $\gamma = 360^\circ - 120 ^\circ - 100^\circ - 100^\circ = 40^\circ$
  Insgesamt erhalten wir also die Winkel:

  $\alpha = 120^\circ$
  $\beta= 100^\circ$
  $\gamma=\color{#99CC00}{\mathbf{40^\circ}}$
  $\delta=\color{#99CC00}{\mathbf{100^\circ}}$