Winkelsumme in Vierecken
Erfahre, warum die Winkelsumme in einem Dreieck $180^\circ$ und in einem Viereck $360^\circ$ beträgt. Wir erklären die Benennung der Punkte, Seiten und Winkel anhand von Beispielen und bieten Übungsaufgaben. Interessiert? All das und noch mehr findest du im folgenden Text!
- Winkelsummen in Dreiecken zur Vermessung von Straßenkreuzungen
- Größen am Dreieck und Viereck
- Winkelsummensatz im Dreieck
- Warum ist die Winkelsumme im Dreieck immer 180 Grad?
- Beispiel zum Berechnen der Winkelsumme im Dreieck
- Winkelsummensatz im Viereck
- Warum ist die Winkelsumme in einem Viereck 360 Grad?
- Beispiel zum Berechnen der Winkelsumme im Viereck
- Zusammenfassung zur Winkelsumme im Dreieck und im Viereck
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Grundlagen zum Thema Winkelsumme in Vierecken
Winkelsummen in Dreiecken zur Vermessung von Straßenkreuzungen
In der Vermessungstechnik sind die Winkelsummen oder auch Innenwinkelsummen von Dreiecken besonders wichtig. So stellt man beispielsweise zur Vermessung von Straßenkreuzungen die Messgeräte so auf, dass die Messpunkte ein Dreieck bilden. Um später alle Messwerte richtig ausrechnen zu können, spielen die Innenwinkel eine wichtige Rolle. Wir betrachten daher im Folgenden die Winkelsumme im Dreieck und im Viereck.
Größen am Dreieck und Viereck
Dreiecke und Vierecke werden ähnlich beschriftet, um einheitlich und klar nachvollziehbar mit ihnen umgehen zu können.
Beschriftung von Dreiecken
Beim Dreieck werden die Eckpunkte mit Großbuchstaben bezeichnet: $A$, $B$ und $C$. Sie werden entgegen dem Uhrzeigersinn angeordnet. Wir nennen das Dreieck dann $ABC$. Die Strecken zwischen den Eckpunkten nennt man Seiten. Diese werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Dabei werden die Seiten entsprechend der gegenüberliegenden Eckpunkte bezeichnet: Gegenüber von Punkt $A$ liegt die Seite $a$, gegenüber von Punkt $B$ die Seite $b$ und gegenüber von Punkt $C$ die Seite $c$. Die drei Winkel an den Eckpunkten des Dreiecks werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet. Der Winkel bei Punkt $A$ heißt $\alpha$, der Winkel bei Punkt $B$ heißt $\beta$ und der Winkel bei Punkt $C$ heißt $\gamma$. Da diese Winkel innerhalb des Dreiecks liegen, nennt man sie auch Innenwinkel des Dreiecks.
Beschriftung von Vierecken
Auch beim Viereck werden die Eckpunkte mit Großbuchstaben bezeichnet: $A$, $B$, $C$ und $D$. Auch hier werden sie entgegen dem Uhrzeigersinn angeordnet. Wir nennen das Viereck dann $ABCD$. Die Strecken zwischen benachbarten Eckpunkten nennt man auch hier Seiten. Diese werden wieder mit Kleinbuchstaben bezeichnet: $a$, $b$, $c$ und $d$. Die vier Innenwinkel an den Ecken werden wieder mit griechischen Buchstaben bezeichnet: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$.
Winkelsummensatz im Dreieck
Die Summe aller Innenwinkel im Dreieck beträgt $180^\circ$:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
Warum ist die Winkelsumme im Dreieck immer 180 Grad?
Wir können die Winkelsumme im Dreieck beweisen, indem wir durch den Eckpunkt $C$ eine Parallele zur Seite $c$ einzeichnen. Die dadurch links und rechts von $\gamma$ entstehenden Winkel sind Wechselwinkel von $\alpha$ und $\beta$. Wir können somit erkennen, dass die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ zusammen einen gestreckten Winkel, also $180^\circ$, bilden.
Beispiel zum Berechnen der Winkelsumme im Dreieck
Wir können die Winkelsumme im Dreieck an einem Beispiel entdecken. Ein Dreieck habe folgende Winkel:
- $\alpha =50^\circ$
- $\beta =60^\circ$
- $\gamma =70^\circ$
Wie rechnet man die Winkelsumme aus? Wir können die gegebenen Winkel addieren und erhalten:
$\alpha + \beta + \gamma = 50^\circ + 60^\circ + 70^\circ = 180^\circ$
Dies entspricht der Aussage des Winkelsummensatzes.
Genauso können wir auch die Winkelsumme in einem gleichschenkligen oder rechtwinkligen Dreieck berechnen. Der Winkelsummensatz gilt für jedes beliebige Dreieck.
Winkelsummensatz im Viereck
Wir kennen nun die Winkelsumme im Dreieck. Aber wie groß ist die Winkelsumme im Viereck? Es gilt:
Die Summe aller Innenwinkel im Viereck beträgt $360^\circ$.
$\alpha + \beta + \gamma + \delta= 360^\circ$
Warum ist die Winkelsumme in einem Viereck 360 Grad?
Der Beweis der Winkelsumme im Viereck erfolgt durch das Einzeichnen der Diagonale $AC$. Diese teilt das Viereck in zwei Dreiecke. Die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ werden dadurch jeweils in zwei Teilwinkel aufgeteilt. Mithilfe des Innenwinkelsummensatzes für Dreiecke können wir dann den Winkelsummensatz für Vierecke beweisen. Denn die beiden Dreiecke haben jeweils die Innenwinkelsumme $180^\circ$, das Viereck ist aus den beiden Dreiecken zusammengesetzt und hat daher die Innenwinkelsumme $180^\circ +180^\circ = 360^\circ$.
Beispiel zum Berechnen der Winkelsumme im Viereck
Ein Viereck habe folgende Winkel:
- $\alpha =80^\circ$
- $\beta =70^\circ$
- $\gamma =100^\circ$
- $\delta =110^\circ$
Wir können nun die Winkelsumme des Vierecks berechnen:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta= 80^\circ + 70^\circ + 100^\circ + 110^\circ = 360^\circ$
Zusammenfassung zur Winkelsumme im Dreieck und im Viereck
Wir haben zunächst die Beschriftung der Eckpunkte, der Seiten und der Winkel im Dreieck und im Viereck wiederholt. Anschließend haben wir die Winkelsummen, die auch Innenwinkelsummen genannt werden, für das Dreieck und das Viereck an Beispielen erläutert. Der Innenwinkelsummensatz wurde auch bewiesen. Wenn du noch mehr Übungen zur Winkelsumme im Dreieck und im Viereck benötigst, so wirst du auf dieser Seite fündig. Hier findest du verschiedene Aufgaben zur Winkelsumme im Viereck. Auch kannst du hier Arbeitsblätter zur Winkelsumme im Dreieck und im Viereck herunterladen.
Transkript Winkelsumme in Vierecken
Philgonia Eckstein erforscht die Flora und Fauna in Polygonien! Dort haben alle Lebewesen die Form von Vielecken! Heute kümmert sie sich um die Flora, genauer gesagt: Sie untersucht verschiedene Arten von Bäumen! Diese Bäume der Art "arbor quadrata" haben VIEReckige Baumkronen. IRGENDETWAS haben die Innenwinkel dieser Baumkronen doch alle gemeinsam. Eine BAHNBRECHENDE wissenschaftliche Erkenntnis liegt in der Luft, aber Philgonia kommt einfach nicht darauf. Am besten forschen wir mal gemeinsam nach und nehmen die "Winkelsumme in Vierecken" unter die Lupe! Das Ganze hat also etwas mit den INNENWINKELN der Vierecke zu tun – also DIESEN hier. Schauen wir uns so eine Baumkrone mal genauer an! Die Eckpunkte von Vierecken beschriften wir jeweils mit Großbuchstaben. Wir beginnen links unten und beschriften dann GEGEN den Uhrzeigersinn in alphabetischer Reihenfolge. Jetzt können wir die Innenwinkel betrachten! Für diese benutzen wir die ersten Buchstaben des GRIECHISCHEN Alphabets. Bei Eckpunkt A liegt der Winkel Alpha, bei B der Winkel Beta, bei C der Winkel Gamma, und zu D gehört der Winkel Delta. Bei diesen Innenwinkeln ist irgendetwas auffällig und das schauen wir uns jetzt mal gemeinsam an! Philgonia betrachtet die Winkel zwei unterschiedlicher viereckiger Baumkronen. Auf ihrer Skizze misst sie die Winkel der Vierecke mit einem Geodreieck. Bei diesem Viereck ist der erste Winkel zweiundsechzig, der nächste Winkel sechsundachtzig, dieser Winkel einhundertacht Grad, und der vierte Winkel einhundertvier Grad groß. Bei diesem sind es einundachtzig,.. fünfundsiebzig vierundneunzig, und einhundertzehn Grad. Hmm, was könnten diese beiden Vierecke bezüglich ihrer Winkelgrößen denn gemeinsam haben? Fällt DIR etwas auf? Plötzlich hat Philgonia einen Geistesblitz: Wenn wir die Innenwinkel der beiden Vierecke jeweils addieren, erhalten wir in beiden Fällen dreihundertsechzig Grad! Ob das wohl nur ein Zufall ist? Das kann sich Philgonia kaum vorstellen! Ihre These lautet: Die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck beträgt dreihundertsechzig Grad. Und zwar IMMER. Um zu zeigen, dass ihre Entdeckung richtig ist, müssen wir Philgonias Aussage nun auch mathematisch BEWEISEN. Dafür schauen wir uns ein BELIEBIGES allgemeines Viereck mit den Eckpunkten A, B, C und D an. Jetzt müssen wir zeigen, dass die Summe von Alpha, Beta, Gamma und Delta dreihundertsechzig Grad beträgt. Dazu zeichnen wir eine Diagonale zwischen dem Eckpunkt A und dem Eckpunkt C, die die Winkel Alpha und Gamma jeweils in zwei kleinere Winkel teilt. "Alpha eins" und "Alpha zwei" ergeben zusammengenommen wieder Alpha und Gamma ist jetzt in "Gamma eins" und "Gamma zwei" aufgeteilt. Siehst du schon, was wir dadurch erreicht haben? Genau, wir haben das VIEReck in zwei DREIecke zerlegt. Und zwar einmal das Dreieck "ABC". Und einmal das Dreieck "ACD". Die Innenwinkelsummen von diesen Dreiecken kennen wir tatsächlich schon, denn die beträgt ja immer einhundertachtzig Grad. Wenn wir jetzt die Informationen aus beiden Gleichungen in EINER Gleichung zusammenfügen, sehen wir: Alle Winkel zusammen sind dreihundertsechzig Grad groß. Auf der anderen Seite der Gleichung können wir dann noch ein bisschen umsortieren. Weil "Alpha eins" plus "Alpha zwei" gleich Alpha und "Gamma eins" plus "Gamma zwei" gleich Gamma ist, können wir die beiden Winkel in unsere Gleichung einsetzen und sehen: Alle vier Innenwinkel müssen zusammen dreihundertsechzig Grad groß sein! Und genau das wollten wir ja beweisen! Philgonias These ist also bestätigt. Sie wird auch der "Innenwinkelsummensatz" für Vierecke genannt. Was für ein Wort. So eine Erkenntnis schreit nach einer ersten Anwendung in der Praxis. Der vierte Winkel Delta dieser Baumkrone ist verdeckt, Philgonia kann ihn also nicht einfach messen. Doch hier hilft uns jetzt der Innenwinkelsummensatz für Vierecke. Denn Dank ihm wissen wir, dass die Summe der drei bekannten Winkel zusammen mit Delta genau dreihundertsechzig Grad groß sein muss. Wir können auf beiden Seiten die bekannten Winkelgrößen abziehen. Und haben dann auch den Winkel Delta bestimmt: Er ist neunzig Grad groß! Und siehe da, das stimmt tatsächlich! Schauen wir uns unsere Forschungsergebnisse nochmal kurz und knapp in einer Zusammenfassung an: Die Innenwinkel eines Vierecks beschriften wir üblicherweise mit den griechischen Buchstaben Alpha, Beta, Gamma und Delta. Die Summe dieser vier Winkel ist – wie wir bewiesen haben – in jedem Viereck gleich groß: Sie beträgt nach dem Innenwinkelsummensatz für Vierecke dreihundertsechzig Grad! Ein weiterer Zusammenhang, den Philgonia in ihre Aufzeichnungen übernehmen kann. Na also, Philgonia ist zu einer weiteren wichtigen Erkenntnis durchgedrungen! Da hat sie wohl bisher den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen.
Winkelsumme in Vierecken Übung
-
Gib die Aussage des Innenwinkelsummensatzes für Vierecke wieder.
TippsBeispiel für die Innenwinkel eines Vierecks:
- $\alpha = 90^\circ$
- $\beta = 125^\circ$
- $\gamma = 45^\circ$
- $\delta = 100^\circ$
Der Begriff Innenwinkelsummensatz verrät dir, welche Rechenoperation angewendet wird.
LösungDie Innenwinkel im Viereck werden mit griechischen Buchstaben benannt:
$\alpha,~ \beta,~ \gamma$ und $\delta$.Die Summe aller Innenwinkel ist in jedem Viereck gleich groß.
Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel im Viereck $\color{#99CC00}{\mathbf{360^\circ}}$ beträgt.
Wir schreiben dies als Formel:
$\color{#99CC00}{\mathbf{\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ}}$
Alle Winkel zusammen ergeben also $360^\circ$.
Wir betrachten dazu noch ein Beispiel:
In einem Viereck sind die Innenwinkel:- $\alpha = 90^\circ$
- $\beta = 125^\circ$
- $\gamma = 45^\circ$
- $\delta = 100^\circ$
$ 90^\circ+ 125^\circ+ 45^\circ+ 100^\circ = 360^\circ$
...und erkennen, dass die Summe der Innenwinkel wie erwartet $360^\circ$ ergibt. -
Beschreibe, wie der Innenwinkelsummensatz für Vierecke bewiesen werden kann.
TippsBeginne damit, das Dreieck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zu teilen, wie abgebildet.
Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$.
Als letzten Schritt musst du die erhaltene Gleichung zusammenfassen.
LösungUm den Innenwinkelsummensatz für Vierecke zu beweisen, betrachten wir ein beliebiges allgemeines Viereck mit den Eckpunkten $A$, $B$, $C$ und $D$.
Wir wollen zeigen, dass die Summe der Innenwinkel $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ genau $360^\circ$ beträgt.Dazu gehen wir wie folgt vor:
1.$~$Wir zeichnen eine Diagonale zwischen den Eckpunkgen $A$ und $C$ ein.
Die Diagonale teilt die Winkel $\alpha$ und $\gamma$ jeweils in zwei kleinere Winkel. Wir nennen diese $\alpha_1$ und $\alpha_2$ mit ${\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha}$ beziehungsweise $\gamma_1$ und $\gamma_2$ mit ${\gamma_1 + \gamma_2 = \gamma}$.
2.$~$Das Viereck wird durch die Diagonale in zwei Dreiecke geteilt: die Dreiecke $ABC$ und $ACD$.
Wir wissen bereits, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck $180^\circ$ beträgt. Damit ergeben sich für die beiden Dreiecke die beiden Gleichungen:
${\alpha_2 + \beta + \gamma_2 = 180^\circ}~$ und $~{\alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ}$
3.$~$Wir fügen diese beiden Gleichungen zusammen und erhalten:
${\alpha_2 + \beta + \gamma_2 + \alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ + 180^\circ}$
4.$~$Diese Gleichung können wir noch sortieren:
${\alpha_1 + \alpha_2 + \beta + \gamma_1 + \gamma_2 + \delta = 360^\circ}$
5.$~$Und im letzten Schritt zum Innenwinkelsummensatz für Vierecke zusammenfassen:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$Die Innenwinkelsumme beträgt im Viereck $360^\circ$.
Zusammengefasst erhalten wir folgende korrekte Reihenfolge:
1.$~$Wir betrachten das Viereck $ABCD$ und zeichnen eine Diagonale zwischen $A$ und $C$ ein. Diese teilt:
$\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha \quad$ und $\quad \gamma_1 + \gamma_2 = \gamma$
2.$~$Für die beiden entstandenen Dreiecke $ABC$ und $ACD$ gilt:
${\alpha_2 + \beta + \gamma_2 = 180^\circ}~$ und $~{\alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ}$
3.$~$Wir setzen diese Gleichungen zu einer Gleichung zusammen:
${\alpha_2 + \beta + \gamma_2 + \alpha_1 + \gamma_1 + \delta = 180^\circ + 180^\circ}$
4.$~$Wir sortieren:
${\alpha_1 + \alpha_2 + \beta + \gamma_1 + \gamma_2 + \delta = 360^\circ}$
5.$~$Und fassen zusammen:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$
-
Überprüfe, ob die vier gegebenen Winkel die Innenwinkel eines Vierecks sein können.
TippsHier siehst du ein Beispiel für ein Viereck mit den eingetragenen vier Innenwinkeln.
Bilde die Summe der vier gegebenen Winkel.
LösungDamit die vier gegebenen Winkel ein Viereck bilden können, muss der Innenwinkelsummensatz erfüllt sein.
Der Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel im Viereck $360^\circ$ beträgt.
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$Wir bilden also jeweils die Summe der vier gegebenen Winkel, und überprüfen, ob diese $360^\circ$ ergibt:
Viereck 1:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 126^\circ + 34^\circ + 112^\circ + 78^\circ = 350^\circ \neq 360^\circ$
$\implies$ kein ViereckViereck 2:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 90^\circ + 67^\circ + 103^\circ + 100^\circ = 360^\circ$
$\implies$ ViereckViereck 3:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 78^\circ + 95^\circ + 86^\circ + 101^\circ = 360^\circ$
$\implies$ ViereckViereck 4:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 66^\circ + 78^\circ + 19^\circ + 101^\circ = 264^\circ \neq 360^\circ$
$\implies$ kein ViereckViereck 5:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$
$\implies$ ViereckViereck 6:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 77^\circ + 115^\circ + 59^\circ + 108^\circ = 359^\circ \neq 360^\circ$
$\implies$ kein Viereck -
Berechne den fehlenden Winkel $\beta$ der Vierecke.
TippsDu kannst mit dem Innenwinkelsummensatz für Viereck einen fehlenden Winkel in einem Viereck berechnen.
Setze die gegebenen Winkel in die Gleichung $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$ ein und stelle nach dem gesuchten Winkel um.
LösungDer Innenwinkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel im Viereck $360^\circ$ beträgt.
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$Um den fehlenden Winkel $\beta$ zu berechnen, können wir von $360^\circ$ die drei bekannten Winkel abziehen und erhalten so den gesuchten Winkel:
$\beta = 360^\circ - \alpha - \gamma -\delta$Wir führen diese Berechnung für die vier Vierecke durch:
Erstes Viereck:
$\alpha = 68^\circ \,\, \gamma = 123^\circ \,\, \delta = 97^\circ$
$\beta = 360^\circ - 68^\circ -123^\circ -97^\circ =72^\circ $Zweites Viereck:
$\alpha = 131^\circ \,\, \gamma = 51^\circ \,\,\delta = 47^\circ$
$\beta = 360^\circ - 131^\circ -51^\circ -47^\circ =131^\circ $Drittes Viereck:
$\alpha = 106^\circ \,\, \gamma = 98^\circ \,\, \delta = 62^\circ$
$\beta = 360^\circ - 106^\circ -98^\circ -62^\circ =94^\circ $Viertes Viereck:
$\alpha = 99^\circ \,\, \gamma = 58^\circ \,\, \delta =116^\circ$
$\beta = 360^\circ - 99^\circ -58^\circ -116^\circ =87^\circ $ -
Benenne die Innenwinkel des abgebildeten Vierecks.
TippsDie griechischen Buchstaben entsprechen den Großbuchstaben der Ecken.
Winkelbezeichnungen:
- $\alpha$: $~$ Alpha
- $\beta$: $~$ Beta
- $\gamma$: $~$ Gamma
- $\delta$: $~$ Delta
LösungBei der Beschriftung eines Vierecks gehen wir wie folgt vor:
Beschriftung der Ecken:
Wir beginnen links unten und beschriften die Ecken dann gegen den Uhrzeigersinn in alphabetischer Reihenfolge mit Großbuchstaben:
$A \quad - \quad B \quad - \quad C\quad - \quad D$Beschriftung der Innenwinkel:
Wir beschriften die Innenwinkel mit griechischen Buchstaben. Die Buchstaben entsprechen den Großbuchstaben der Ecken:
$\alpha \quad - \quad \beta \quad - \quad \gamma \quad - \quad \delta$
Wir sprechen diese wie folgt:- $\alpha$: $~$ Alpha
- $\beta$: $~$ Beta
- $\gamma$: $~$ Gamma
- $\delta$: $~$ Delta
-
Ermittle die fehlenden Winkel der Vierecke.
TippsBeim Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel. Außerdem sind gegenüberliegende Winkel gleich groß.
Beim Drachenviereck gibt es zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten und ein Paar gegenüberliegender gleich großer Winkel.
LösungWir wissen, dass die Summe der Innenwinkel im Viereck $360^\circ$ beträgt:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$In unserem Fall handelt es sich um spezielle Vierecke:
Das Parallelogramm:
Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel und gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Wir wissen also, dass $\alpha = \gamma = 110^\circ$ //. Entsprechend dem Winkelsummensatz bleiben $360^\circ - 110^\circ - 110^\circ = 140^\circ$ für die beiden verbleibenden Winkel:
$\beta = \delta = 140^\circ :2 = 70^\circ$
Insgesamt erhalten wir also die Winkel:$\alpha = 110^\circ$
$\beta=\color{#99CC00}{\mathbf{70^\circ}}$
$\gamma=\color{#99CC00}{\mathbf{110^\circ}}$
$\delta=\color{#99CC00}{\mathbf{70^\circ}}$Das Drachenviereck:
Es gibt zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten und ein Paar gegenüberliegender gleich großer Winkel.
Es gilt also $\beta = \delta = 100^\circ$
Den vierten fehlenden Winkel können wir über den Winkelsummensatz berechnen:
$\gamma = 360^\circ - 120 ^\circ - 100^\circ - 100^\circ = 40^\circ$
Insgesamt erhalten wir also die Winkel:$\alpha = 120^\circ$
$\beta= 100^\circ$
$\gamma=\color{#99CC00}{\mathbf{40^\circ}}$
$\delta=\color{#99CC00}{\mathbf{100^\circ}}$
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Sehr gut ich habe 5 Sterne gegeben sehr gut erklärt👍
Hch habe da nochmal eine Frage unswar wofür braucht man das Thema im späteren Leben, weil bei meinem Traumberuf muss man sowas nicht können wäre schön wen jemand das beantworten kann wofür man das braucht 😁
Habt alle noch einen schönen Tag