Multiplikation und Division von natürlichen Zahlen mit Brüchen – Merkregeln

Multiplikation und Division von natürlichen Zahlen mit Brüchen – Merkregeln Übung

• Bestimme die Ergebnisse der Rechenaufgabe.

  Tipps

  Wir multiplizieren eine natürliche Zahl mit einem Bruch, indem wir den Zähler mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner beibehalten.

  Wir dividieren eine natürliche Zahl durch einen Bruch, indem wir sie mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren.

  Beispiel:

  $2:\dfrac{2}{3} = 2 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$

  Lösung

  Wir multiplizieren eine natürliche Zahl mit einem Bruch, indem wir den Zähler mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner beibehalten.

  Wir dividieren eine natürliche Zahl durch einen Bruch, indem wir sie mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren.

  Wir lösen die Aufgaben mit diesen beiden Rechenregeln.

  Aufgabe 1:
  $\quad 2 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{2 \cdot 3}{8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$

  Aufgabe 2:
  $\quad 3 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{3 \cdot 2}{5} = \dfrac{6}{5}$

  Aufgabe 3:
  $\quad 4:\dfrac{1}{4} = 4 \cdot \dfrac{2}{1} = \dfrac{4 \cdot 2}{1} = \dfrac{8}{1} = 8$

  Aufgabe 4:
  $\quad 4:\dfrac{4}{3} = 4 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{4 \cdot 3}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$

• Berechne die Quotienten mit natürlichen Zahlen und Brüchen.

  Tipps

  Durch einen Bruch dividieren bedeutet, mit dem Kehrwert des Bruches zu multiplizieren.

  Wir dividieren einen Bruch durch eine natürliche Zahl, indem wir den Nenner des Bruches mit der natürlichen Zahl multiplizieren und den Zähler beibehalten.

  Hier ist eine Beispielrechnung:

  $\dfrac{7}{3} : 2 = \dfrac{7}{3\cdot 2} = \dfrac{7}{6}$

  Lösung

  In dieser Aufgabe kommen zwei verschiedene Arten von Divisionen vor:

  • Division ganzer Zahlen durch Brüche

  Wir dividieren eine natürliche Zahl durch einen Bruch, indem wir sie mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren.

  • Division von Brüchen durch ganze Zahlen

  Wir dividieren einen Bruch durch eine natürliche Zahl, indem wir den Nenner des Bruches mit der natürlichen Zahl multiplizieren und den Zähler beibehalten.

  
  

  Aufgabe 1:
  Eine natürliche Zahl wird durch einen Bruch dividiert. Das bedeutet, dass wir die Zahl mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren. Dann ergibt sich:
  $\quad 4:\dfrac{2}{3} = 4 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$

  Aufgabe 2:
  Ein Bruch wird durch eine natürliche Zahl geteilt. Das bedeutet, wir multiplizieren den Nenner des Bruches mit dieser Zahl. Die Lösung lautet :
  $\quad \dfrac{7}{9}:4 = \dfrac{7}{9} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{7 \cdot 1}{9 \cdot 4} = \dfrac{7}{36}$

  Aufgabe 3:
  Wieder wird ein Bruch durch eine natürliche Zahl dividiert. Wir gehen genauso vor wie oben und multiplizieren den Nenner des Bruches mit der Zahl und erhalten:
  $\quad \dfrac{5}{8}:3 = \dfrac{5}{8 \cdot 3} = \dfrac{5}{24}$

• Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen mit natürlichen Zahlen und Brüchen.

  Tipps

  Hier ist eine Beispielrechnung:

  $7:\dfrac{14}{3} = 7 \cdot \dfrac{3}{14} = \dfrac{7 \cdot 3}{14} = \dfrac{3}{2}$

  Kürze die Brüche, um die Rechnung oder das Ergebnis zu vereinfachen.

  Lösung

  In der Aufgabe kommen drei Arten von Rechnungen vor. Wir erinnern kurz daran, wie man das macht:

  • Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch: Multipliziere den Zähler mit der ganzen Zahl.
  • Division einer ganzen Zahl durch einen Bruch: Multipliziere die ganze Zahl mit dem Kehrwert des Bruches.
  • Teilen eines Bruches durch eine ganze Zahl: Multipliziere den Nenner mit der ganzen Zahl.

  Wir wenden die Regel an und berechnen:

  Aufgabe 1:
  $\quad 2:\dfrac{4}{3} = 2 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{2\cdot 3}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$

  Aufgabe 2:
  $\quad 3 : \dfrac{3}{2} = 3 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{3\cdot 2}{3}= \dfrac{6}{3} = \dfrac{2}{1} = 2$

  Aufgabe 3:
  $\quad 7 \cdot \dfrac{6}{8} = \dfrac{7 \cdot 6}{8} = \dfrac{42}{8} = \dfrac{21}{4}$

  Aufgabe 4:
  $\quad \dfrac{8}{7} \cdot 7 = \dfrac{8 \cdot 7}{7} = \dfrac{56}{7} = 8$

  Aufgabe 5:
  $\quad \dfrac{12}{5} : 4 =\dfrac{12}{5\cdot 4} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$

• Wende die Regeln zur Multiplikation und Division von natürlichen Zahlen mit Brüchen an.

  Tipps

  Berechne die einzelnen Aufgaben und vergleiche dein Ergebnis mit den vorgegebenen Brüchen.

  Du bildest den Kehrwert eines Bruchs, indem du Zähler und Nenner tauschst.

  Lösung

  Wir suchen zu den vorgegebenen Ergebnissen die passenden Aufgaben. Dazu lösen wir alle Aufgaben und vergleichen die Ergebnisse mit den vorgegebenen Brüchen.

  Hier ist die richtige Zuordnung, zusammen mit den Rechnungen für die einzelnen Aufgaben:

  Ergebnis $\dfrac{3}{4}$:

  $\quad \mathbf{\dfrac{6}{4}:2} = \dfrac{6}{4\cdot 2} =\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$

  $\quad \mathbf{3 \cdot \dfrac{7}{28}} = \dfrac{3\cdot 7}{28} = \dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4}$

  $\quad \mathbf{2:\dfrac{8}{3}} = 2 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{2\cdot 3}{8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$

  
  

  Ergebnis $\dfrac{4}{3}$:

  $\quad \mathbf{\dfrac{8}{3}:2} = \dfrac{8}{3\cdot 2}= \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$

  $\quad \mathbf{5:\dfrac{15}{4}} = 5\cdot \dfrac{4}{15} = \dfrac{5\cdot 4}{15} = \dfrac{20}{15} = \dfrac{4}{3}$

  
  

  Ergebnis $\dfrac{2}{5}$:

  $\quad \mathbf{8 \cdot \dfrac{1}{20}} = \dfrac{8\cdot 1}{20} = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}$

  $\quad \mathbf{3:\dfrac{15}{2}} = 3 \cdot \dfrac{2}{15} = \dfrac{3\cdot 2}{15} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$

  $\quad \mathbf{5:\dfrac{25}{2}} = 5 \cdot \dfrac{2}{25} = \dfrac{5\cdot 2}{25} = \dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}$

  
  

  Ergebnis $\dfrac{2}{3}$:

  $\quad \mathbf{\dfrac{4}{3}:2} = \dfrac{4}{3\cdot 2} = \dfrac{4}{6} =\dfrac{2}{3}$

  $\quad \mathbf{1:\dfrac{3}{2}} = 1 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}$

  $\quad \mathbf{\dfrac{30}{9}:5} = \dfrac{30}{9 \cdot 5} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$

• Vervollständige die Rechnung.

  Tipps

  Dreimal ein halber Apfel ist dasselbe, wie ein halber Apfel und ein halber Apfel und ein halber Apfel.

  Setze zwischen den $\dfrac{2}{5}$-Brüchen das passende Rechenzeichen ein.

  Hier ist eine Beispielaufgabe:

  $2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$

  Lösung

  Die Multiplikation mit einer natürlichen Zahl ist dasselbe wie eine wiederholte Addition. Das Ergebnis von $3 \cdot 4$ erhältst du, wenn du $4+4+4$ rechnest. Das geht genauso mit Brüchen:

  Um einen Bruch mit $2$ zu multiplizieren, kannst du den Bruch mit sich selbst addieren. Multiplizierst du den Bruch mit $3$, so erhältst du drei Summanden und so weiter.

  Wir rechnen also $3 \cdot \dfrac{2}{5}$, indem wir $\dfrac{2}{5}$ mit $\dfrac{2}{5}$ und noch einmal $\dfrac{2}{5}$ zusammenzählen.

  Die Addition von Brüchen mit demselben Nenner – also von gleichnamigen Brüchen – kannst du direkt durchführen. Du addierst nur die Zähler und behältst den Nenner bei:

  $3 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{2+2+2}{5} = \dfrac{6}{5}$

• Entscheide, ob die Gleichungen mit natürlichen Zahlen und Brüchen korrekt sind.

  Tipps

  Berechne beide Seiten einer Gleichung und vergleiche die Ergebnisse.

  Erweitere oder kürze die Brüche so, damit du die beiden Ergebnisse miteinander vergleichen kannst.

  Lösung

  Wir dividieren eine natürliche Zahl durch einen Bruch, indem wir sie mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren. Dabei muss man ganz genau hinschauen, um nicht eventuell Zähler und Nenner oder Multiplikation und Division zu vertauschen. Wir untersuchen jetzt jede einzelne Gleichung auf ihre Richtigkeit.

  Folgende Gleichungen sind richtig:

  • $2:\dfrac{6}{3}=1$

  Wir kürzen zuerst den Bruch $\dfrac{6}{3} = 2$, um die Rechnung zu vereinfachen: $2:\dfrac{6}{3} = 2:2 =1$.

  • $\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{15}{9}$

  Wir rechnen Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Dann erweitern wir den Bruch anschließend mit $3$ und erhalten:
  $\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{5\cdot 8}{8\cdot 3} = \dfrac{40}{24} =\dfrac{5 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \dfrac{15}{9}$

  • $\dfrac{8}{3}:4 = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2}$

  Wir multiplizieren den Nenner des Dividenden mit dem Divisor und berechnen die linke Seite der Gleichung:
  $\dfrac{8}{3}:4 = \dfrac{8}{3 \cdot 4} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$
  Die rechte Seite der Gleichung kürzen wir mit $2$ und erhalten:
  $ \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2} =\dfrac{4\cdot 1}{3\cdot 2} = \dfrac{4}{6} =\dfrac{2}{3}$

  
  

  Folgende Gleichungen sind falsch:

  • $\dfrac{3}{7}:\dfrac{7}{3}\neq 1$

  Für die linke Seite rechnen wir: $\dfrac{3}{7}:\dfrac{7}{3}=\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{49} \neq 1$

  • $\dfrac{4}{3}:\dfrac{3}{4} \neq \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3}$

  Wir berechnen zuerst die linke Seite: $\dfrac{4}{3}:\dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{4 \cdot 4}{3 \cdot 3} = \dfrac{16}{9}$

  Für die rechte Seite erhalten wir dagegen: $ \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{3\cdot 4}{4 \cdot 3} = \dfrac{12}{12} =1$
  Die beiden Ergebnisse sind nicht gleich.

  • $\dfrac{5}{6}:\dfrac{6}{6} \neq \dfrac{6}{5}$

  Um die linke Seite der Gleichung zu berechnen, kürzen wir zuerst den Bruch $\dfrac{6}{6}=1$.
  $\dfrac{5}{6}:\dfrac{6}{6} = \dfrac{5}{6} :1 = \dfrac{5}{6\cdot 1} = \dfrac{5}{6} \neq \dfrac{6}{5}$