Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte Übung

• Beschreibe das Rechnen mit Gegenzahlen.

  Tipps

  Nimmst du von drei Kaninchen drei Kaninchen weg, so bleibt kein Kaninchen übrig.

  Die Zahlen, mit denen du zum Beispiel deine Finger zählst, sind positiv.

  Zwei Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden, sind Gegenzahlen voneinander.

  Lösung

  Wannas Zahlentrick benutzt das neutrale Element der Addition und die Gegenzahlen. Das neutrale Element der Addition ist die Zahl $0$. Subtrahiert Wanna eine Zahl von sich selbst, so erhält sie $0$. Für die Zahl $5$ sieht das so aus:

  $5-5=0$

  Statt zu subtrahieren, kann Wanna auch addieren. Sie benutzt dann statt des Subtrahenden $5$ den Summanden $-5$:

  $5-5= 5 +(-5)=0$

  Die Zahl $-5$, die Wanna addiert, ist die Gegenzahl von $5$. Das bedeutet, dass $0$ herauskommt, wenn Wanna $-5$ zu $5$ addiert. Die Gegenzahl einer positiven Zahl ist negativ und die Gegenzahl einer negativen Zahl ist positiv. Außerdem ist die Gegenzahl der Gegenzahl wieder die ursprüngliche Zahl.

  Im Allgemeinen kannst du Wannas Trick so beschreiben: Die Gegenzahl einer Zahl $x$ ist die Zahl $-x$. Addierst du eine Zahl $x$ und ihre Gegenzahl $-x$, so erhältst du immer die Zahl $0$:

  $x+(-x)=0$

  Schließlich wendet Wanna ihren Trick auch noch auf die Gegenzahl von $x$ an. Wenn der Trick wirklich funktioniert, so sollte sie eine Zahl herausbekommen, die $0$ ergibt, wenn sie sie zu $-x$ addiert. Tatsächlich ist die Gegenzahl von $-x$ wieder die Zahl $x$ selbst. Das kann Wanna beweisen bzw. nachrechnen:

  $-x +x=0$

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Addierst du $0$ zu einer Zahl $x$, so erhältst du wieder die Zahl $x$.

  Um eine Zahl $x \neq 0$ zu $1$ zu machen, kannst du $x$ mit seinem Kehrwert multiplizieren.

  Überlege, ob die ganze Zahl $0$ einen Kehrwert hat.

  Lösung

  Das neutrale Element der Addition ist diejenige Zahl, die eine andere Zahl bei Addition unverändert lässt. Die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft ist $0$, denn für jede Zahl $x$ ist $0+x=x$. Analog ist $1$ das neutrale Element der Multiplikation, denn für jede Zahl $x$ ist $1 \cdot x=x$.

  Die Summe einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist $0$. Zu einer Zahl $x$ ist $-x$ die Gegenzahl, denn $x+(-x)=0$. Eine Zahl, die mit $x$ multipliziert $1$ ergibt, heißt Kehrwert von $x$. Zu jeder Zahl $x \neq 0$ ist $\frac{1}{x}$ der Kehrwert, denn $x \cdot \frac{1}{x}=1$.

  Die ganze Zahl $0$ hat keinen Kehrwert, denn keine Zahl ergibt bei Multiplikation mit $0$ die Zahl $1$. Andersherum ist auch $\frac10$ nicht definiert. Die $0$ hat aber eine Gegenzahl: sich selbst. Das sieht man an folgender Gleichung: $0+0=0$.

  So erhältst du folgende Sätze:

  • Das neutrale Element der Multiplikation ... ist $1$.
  • Zu jeder ganzen Zahl $x$ ... gibt es genau eine Gegenzahl $-x$.
  • Die Gegenzahl einer positiven Zahl ... ist negativ.
  • Eine Zahl und ihr Kehrwert ... haben dasselbe Vorzeichen.

• Analysiere die Ergebnisse.

  Tipps

  $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation.

  Addierst du zu einer ganzen Zahl ihren Kehrwert, so erhältst du nicht $1$.

  Hier ist eine Beispielrechnung:

  $(-4) \cdot \frac{1}{(-4)} =1$

  Lösung

  Die Zahl $0$ ist das neutrale Element der Addition. Das bedeutet: Die Summe von $0$ und einer beliebigen Zahl $x$ ist wieder diese Zahl $x$. Analog ist $1$ das neutrale Element der Multiplikation, denn das Produkt einer beliebigen Zahl $x \neq 0$ mit $1$ ist wieder $x$.

  Die Summe einer Zahl $x$ und ihrer Gegenzahl $-x$ ist $0$. Analog ist das Produkt einer Zahl $x \neq 0$ und ihres Kehrwertes $\frac{1}{x}$ die Zahl $1$.

  Folgende Gleichungen sind richtig:

  • $1 \cdot 9=9$: Das neutrale Element der Multiplikation ist $1$, das Produkt von $1$ und $9$ ist also $9$.
  • $-3 + 3 =0$: Die Addition einer Zahl und ihrer Gegenzahl ergibt stets $0$.
  • $3 \cdot \frac{1}{3} =1$: Das Produkt einer Zahl und ihres Kehrwerts ergibt $1$.

  Folgende Gleichungen sind falsch:

  • $7+0\neq 0$: Die Addition mit $0$ ergibt stets wieder den anderen Summanden. Richtig wäre also $7+0=7$.
  • $4+(-4) \neq 8$: Die Gegenzahl von $4$ ist $-4$, daher ist die Summe der beiden Zahlen $0$.
  • $\frac{1}{4} \cdot 4 \neq 0$: Ein Produkt ist nur dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.
  • $3 + \frac{1}{3} \neq 1$: Der Kehrwert von $3$ ist $\frac{1}{3}$. Nur wenn du eine Zahl und ihren Kehrwert multiplizierst, erhältst du $1$, nicht bei der Addition.

• Erschließe die Rechnungen.

  Tipps

  Der Kehrwert von $-4$ ist $\frac{1}{-4}$.

  Hier ist eine Beispielrechnung:

  $(-9) + 9=0$

  Lösung

  Die Zahl $0$ ist nur dann das Ergebnis einer Multiplikation, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

  Multiplizierst du eine Zahl und ihren Kehrwert, so erhältst du $1$. Der Kehrwert einer Zahl $x\neq 0$ ist $\frac{1}{x}$. Addierst du eine Zahl und ihre Gegenzahl, so ist das Ergebnis $0$. Die Gegenzahl einer Zahl $x$ ist $-x$.

  Addierst du $0$ zu einer Zahl $x$, so ergibt sich wieder $x$. Multiplizierst du $x$ mit $1$, so erhältst du ebenfalls $x$.

  So findest du folgende Zuordnungen:

  $1$:

  • $=3 \cdot \frac{1}{3}$: Multiplikation mit Kehrwert
  • $=0+1$: Addition des neutralen Elements der Addition $0$
  • $=(-5) \cdot \frac{1}{(-5)}$: Multiplikation mit Kehrwert

  $0$:

  • $=0 \cdot 1$: Multiplikation mit dem neutralen Element der Multiplikation $1$
  • $=3+(-3)$: Addition der Gegenzahl
  • $=(-1)+1$: Addition der Gegenzahl

  $3$:

  • $=0+3$: Addition des neutralen Elements
  • $=1 \cdot 3$: Multiplikation mit dem neutralen Element der Multiplikation $1$

  $-5$:

  • $=0+(-5)$: Addition des neutralen Elements der Addition $0$
  • $=(-5) \cdot 1$: Multiplikation mit dem neutralen Element der Multiplikation $1$

• Bestimme die Ergebnisse.

  Tipps

  Addierst du eine negative Zahl, so kannst du auch die positive Gegenzahl subtrahieren.

  Multiplizierst du eine Zahl mit $1$, so verändert sich diese Zahl nicht.

  Hier ist eine Beispielrechnung für die Multiplikation mit dem Kehrwert:

  $5 \cdot \frac{1}{5} =1$

  Lösung

  Addierst du $0$ zu einer beliebigen Zahl $x$, so erhältst du wieder die Zahl $x$, denn $0+x=x$. Man nennt $0$ das neutrale Element der Addition. Ähnliches gilt für die Zahl $1$ bei der Multiplikation: $1 \cdot x =x$. Daher heißt $1$ das neutrale Element der Multiplikation.

  Addierst du zu einer Zahl $x$ ihre Gegenzahl $-x$, so erhältst du $0$, denn $x+(-x) = x-x=0$. Multiplizierst du eine Zahl $x\neq 0$ mit ihrem Kehrwert $\frac{1}{x}$, so erhältst du $1$, denn $x \cdot \frac{1}{x} = 1$.

  So erhältst du folgende Gleichungen:

  • $5+(-5) = 0$: Hier addierst du die Zahl $5$ mit ihrer Gegenzahl $-5$, daher ist das Ergebnis $0$.
  • $5+0 = 5$: Das neutrale Element der Addition ist $0$. Das bedeutet: Addierst du $0$ zu einer Zahl, z. B. $5$, so ist das Ergebnis wieder diese Zahl, also $5$.

  • $8 \cdot 1 = 8$: Das neutrale Element der Multiplikation ist $1$. Multiplizierst du eine Zahl, z. B. $8$, mit $1$, so ist das Ergebnis wieder diese Zahl, also $8$.

  • $8 \cdot \frac{1}{8} =1$: Der Kehrwert der Zahl $8$ ist $\frac{1}{8}$. Multiplizierst du eine Zahl mit ihrem Kehrwert, so ist das Ergebnis $1$.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Für jede Zahl $x$ gilt:

  $0 \cdot x=0$

  Bedenke, dass die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen, ihren negativen Gegenzahlen und der $0$ bestehen.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Die Gegenzahl von $0$ ist $0$.“ Denn die Summe der beiden Zahlen ist $0$.
  • „Ist der Kehrwert einer ganzen Zahl $x$ wieder eine ganze Zahl, so ist $x=1$ oder $x=-1$.“ Der Kehrwert von $x \neq 0$ ist $\frac{1}{x}$. Ist $x \neq \pm 1$, so ist $\frac{1}{x}$ keine ganze Zahl.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Jede ganze Zahl hat einen Kehrwert.“ Die ganze Zahl $0$ hat keinen Kehrwert.
  • „Für jede ganze Zahl $x$ ist $1 \cdot x=1$.“ Für $x=0$ ist die Gleichung falsch, denn $1 \cdot 0 = 0 \neq 1$.
  • „Der Kehrwert einer negativen Zahl ist positiv.“ Eine Zahl und ihr Kehrwert haben dasselbe Vorzeichen, sonst wäre ihr Produkt nicht $1$, sondern hätte ein negatives Vorzeichen.