Rationale Zahlen – Klammerregeln

Rationale Zahlen – Klammerregeln Übung

• Gib das Assoziativ- und Distributivgesetz an.

  Tipps

  Das Assoziativgesetz der Addition und Multiplikation besagt, dass sich das Ergebnis einer reinen Addition bzw. reinen Multiplikation nicht ändert, wenn man Klammern umsetzt oder weglässt.

  Sieh dir folgendes Beispiel an: $~ 2\cdot (3+5)$

  Du kannst diese Aufgabe lösen, indem du entweder zuerst den Ausdruck in der Klammer berechnest und dann von links nach rechts weiter rechnest oder das Distributivgesetz anwendest:

  • $2\cdot 8=16$
  • $2\cdot 3+2\cdot 5=6+10=16$

  Lösung

  Assoziativgesetz der Addition

  Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass sich das Ergebnis einer reinen Addition nicht ändert, wenn man Klammern umsetzt oder weglässt. Es gilt demnach:

  • $a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c$

  Minusklammer

  Betrachtest du eine Additions- bzw. Subtraktionsaufgabe, die eine Minusklammer enthält, so gehst du wie folgt vor: Alle Zeichen in der Klammer drehen sich um, die Klammer und das Minuszeichen davor fallen weg. Beachte hierbei, dass vor dem $b$ am Anfang der Klammer eigentlich ein Pluszeichen steht, das wir in der Regel nur aus „Faulheit“ nicht aufschreiben! Es gilt also:

  • $a-(b+c)=a+(-b)+(-c)=a-b-c$

  Assoziativgesetz der Multiplikation

  Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass sich das Ergebnis einer reinen Multiplikation nicht ändert, wenn man Klammern umsetzt oder weglässt – also genauso wie für die Addition, nur mit Malpunkten statt Pluszeichen. Es gilt demnach:

  • $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c$

  Distributivgesetz

  Das Distributivgesetz besagt, dass man statt eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, auch jeden Summanden mit dieser Zahl multiplizieren und dann die Produkte addieren kann.

  • $a\cdot (b+c)=ab+ac$

• Vervollständige die Gleichungen mithilfe des Assoziativ- und Distributivgesetzes.

  Tipps

  Hast du in deinem Term eine Minusklammer, so kannst du die Klammer weglassen, indem du alle Pluszeichen innerhalb der Klammer in Minuszeichen und alle Minuszeichen in Pluszeichen umwandelst.

  Das Distributivgesetz lautet:

  $a\cdot (b+c)=ab+ac$

  Lösung

  Das Assoziativ- und Distributivgesetz können manchmal das Rechnen deutlich vereinfachen. Sie lauten wie folgt:

  Assoziativgesetz der Addition

  • $a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c$

  Minusklammer

  • $a-(b+c)=a+(-b)+(-c)=a-b-c$

  Assoziativgesetz der Multiplikation

  • $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c$

  Distributivgesetz

  • $a\cdot (b+c)=ab+ac$

  Nun wenden wir diese Gesetze auf die hier betrachteten Terme an und erhalten:

  • $(6,5+3,3)+2,4=6,5+(3,3+2,4)$
  • $6,5-(3,3+2,4)=6,5+(-3,3)+(-2,4)$
  • $(1,5\cdot 1,5)\cdot 1,2=1,5\cdot (1,5\cdot 1,2)$
  • $-2\cdot (3,5+5,2)=-2\cdot 3,5+(-2)\cdot 5,2$

• Ordne den Aufgaben das jeweils angewandte Rechengesetz zu.

  Tipps

  Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass sich das Ergebnis einer reinen Addition nicht ändert, wenn man Klammern umsetzt oder weglässt. Es gilt demnach:

  • $a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c$

  Dieses Gesetz gilt auch für die reine Multiplikation:

  • $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c$

  Das Distributivgesetz besagt, dass wir, anstatt eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, auch jeden Summanden mit dieser Zahl multiplizieren und dann die Produkte addieren können.

  Lösung

  Lass uns gemeinsam untersuchen, welche Gesetze in welchen Beispielen angewandt wurden.

  1. Beispiel: $\quad 2\cdot (5\cdot 3)=(2\cdot 5)\cdot 3=10\cdot 3=30$

  Nach dem ersten Gleichheitszeichen wird hier das Assoziativgesetz der Multiplikation genutzt: Anstatt zuerst das Produkt $5\cdot 3$ zu bestimmen, wird die Klammer so gesetzt, dass zuerst das Produkt $2\cdot 5$ berechnet wird, welches im nächsten Schritt dann mit dem Faktor $3$ multipliziert wird.

  2. Beispiel: $\quad 2\cdot (5+3)=2\cdot 5+2\cdot 3=10+6=16$

  Hier wird im ersten Schritt das Distributivgesetz angewandt. Dieses besagt, dass wir, anstatt eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, auch jeden Summanden mit dieser Zahl multiplizieren und dann die Produkte addieren können. Genauso wird hier vorgegangen.

  3. Beispiel: $\quad (5-3)\cdot 2=5\cdot 2-3\cdot 2=10-6=4$

  Auch hier wird im ersten Schritt das Distributivgesetz angewandt, selbst wenn in der Klammer eine Differenz steht. Diese kannst du nämlich ebenfalls als Summe $2+(-3)$ schreiben.

  4. Beispiel: $\quad 2+(5+3)=(2+5)+3=7+3=10$

  Nach dem ersten Gleichheitszeichen wird hier das Assoziativgesetz der Addition genutzt: Anstatt zuerst die Summe $5+3$ zu bestimmen, wird die Klammer so gesetzt, dass zuerst die Summe $2+5$ berechnet wird, welche im nächsten Schritt zum Summanden $3$ addiert wird.

  5. Beispiel: $\quad 5\cdot (2+3)=5\cdot 2+5\cdot 3=10 + 15=25$

  Hier wird gleichfalls das Distributivgesetz genutzt.

  6. Beispiel: $\quad (3\cdot 5)\cdot 5=3\cdot (5\cdot 5)=3\cdot 25=75$

  Mit dem Assoziativgesetz der Multiplikation wird hier zuerst $5\cdot 5$ statt $3\cdot 5$ gerechnet.

• Wende das Distributivgesetz an, um einfacher zu rechnen.

  Tipps

  Zerlege den Faktor, der ein Dezimalbruch ist, in zwei Summanden (oder Minuenden und Subtrahenden), sodass die Multiplikation einfacher wird.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $6\cdot 7,6=6\cdot (7+0,6)=42+3,6=45,6$

  Lösung

  Wir können das Distributivgesetz auch umgekehrt nutzen, um uns das Lösen einer Multiplikationsaufgabe zu erleichtern. Dazu zerlegen wir einen der Faktoren so, dass wir die Aufgabe mit geringerem Rechenaufwand lösen können. Wir erhalten dann folgende Rechnungen:

  1. Beispiel

  • $5,7\cdot 4=(5+0,7)\cdot 4=20+2,8=22,8$

  Hier zerlegen wir den Faktor $5,7$ in die Summanden $5$ und $0,7$.

  2. Beispiel

  • $6,9\cdot 5=(7-0,1)\cdot 5=35-0,5=34,5$

  Diesmal wird der Faktor $6,9$ in den Minuenden $7$ und den Subtrahenden $0,1$ zerlegt.

  3. Beispiel

  • $9\cdot 4,3=9\cdot (4+0,3)=36+2,7=38,7$

  Den Faktor $4,3$ zerlegen wir in die Summanden $4$ und $0,3$.

• Gib die rationalen Zahlen der markierten Punkte auf der Zahlengeraden an.

  Tipps

  $\frac 12$ liegt genau in der Mitte von $0$ und $1$. Ist diese Mitte markiert?

  Alle Zahlen auf der Zahlengeraden, die links von der Null liegen, sind negativ.

  Lösung

  Eine Zahlengerade dient zur Veranschaulichung von Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Die Zahl $0$ teilt die Zahlengerade in zwei Teile. Auf der rechten Seite der $0$ befinden sich die positiven Zahlen, auf der linken Seite die negativen.

  Der Bereich zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen kann unterschiedlich in gleich große Teile unterteilt werden. Teilen wir diesen Abstand zum Beispiel in drei gleich große Teile, entspricht jedes Teil einem Drittel. Genauso können wir ein Ganzes auch halbieren, sodass jedes Teil genau $\frac 12$ groß ist. Teilen wir das Ganze in $10$ gleich große Teile, zählt jedes Teil $\frac 1{10}=0,1$. Damit erhalten wir die hier abgebildeten Zahlen für die Zahlengerade.

• Ermittle die Lösungen der jeweiligen Aufgaben.

  Tipps

  Du kannst hier entweder die Rechengesetze Assoziativ- und Distributivgesetz anwenden oder in folgender Reihenfolge vorgehen:

  1. Zuerst die Klammern berechnen, dabei beginnst du bei den inneren Klammern.
  2. Dann die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen durchführen.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\begin{array}{lll} 20-32-(1,8+3\cdot(1,3+3,7))\cdot 1,9 &=& 20-32-(1,8+3\cdot 5)\cdot 1,9 \\ &=& 20-32-(1,8+15)\cdot 1,9 \\ &=& 20-32-16,8\cdot 1,9 \\ &=& 20-32-31,92 \\ &=& -12-31,92 \\ &=& -43,92 \end{array}$

  Lösung

  Wir können hier entweder die Rechengesetze Assoziativ- und Distributivgesetz anwenden oder in folgender Reihenfolge vorgehen:

  1. Zuerst die Klammern berechnen, dabei beginnen wir bei den inneren Klammern.
  2. Dann die Punktrechnungen vor den Strichrechnungen durchführen.

  Wir werden nun beide Varianten anwenden:

  1. Beispiel

  Zuerst wenden wir die Regel für Minusklammern an. Dann nutzen wir das Distributivgesetz, um uns die Multiplikation $5,4\cdot 9$ zu erleichtern. Wir zerlegen dazu den Faktor $5,4$ in die Summanden $5$ und $0,4$.

  $\begin{array}{lll} 5,4\cdot 9+22,4-(4,5-2,5) &=& 5,4\cdot 9+22,4-4,5+2,5 \\ &=& (5+0,4)\cdot 9+22,4-4,5+2,5 \\ &=& 45+3,6+22,4-4,5+2,5 \\ &=& 69 \end{array}$

  2. Beispiel

  Hier nutzen wir im ersten Schritt das Distributivgesetz. Danach berechnen wir den Klammerausdruck und rechnen anschließend von links nach rechts:

  $\begin{array}{lll} (5-2,2)\cdot 5+(6+33,8) &=& 25-11+(6+33,8) \\ &=& 25-11+39,8 \\ &=& 53,8 \end{array}$

  3. Beispiel

  Im ersten Schritt formulieren wir die Summe in der ersten Klammer so um, dass wir Summanden erhalten, mit denen wir einfacher rechnen können, und wenden dann das Distributivgesetz an. Bevor wir erneut das Distributivgesetz anwenden formulieren wird die Summe wieder geschickt um. Dann heben wir die hintere Minusklammer auf, indem wir alle Plus- und Minuszeichen in der Klammer entsprechend umkehren:

  $\begin{array}{lll} 2\cdot (1,6+3,3)\cdot 3-(1,2-6) &=& 2\cdot (0,9+4)\cdot 3-(1,2-6) \\ &=& (1,8+8)\cdot 3-(1,2-6) \\ &=& (0,8+9)\cdot 3-(1,2-6) \\ &=& 2,4+27-(1,2-6) \\ &=& 2,4+27-1,2+6 \\ &=& 34,2 \end{array}$

  4. Beispiel

  Hier nutzen wir weder Assoziativ- noch Distributivgesetz. Wir berechnen beginnend bei der innersten Klammer zuerst die Klammerausdrücke, dabei beachten wir Punkt- vor Strichrechnung:

  $\begin{array}{lll} 54-(2+3\cdot(3,6+2,4))\cdot 1,2 &=& 54-(2+3\cdot 6)\cdot 1,2 \\ &=& 54-(2+18)\cdot 1,2 \\ &=& 54-20\cdot 1,2 \\ &=& 54-24 \\ &=& 30 \end{array}$