Numerische Integrationsverfahren – Simpson-Verfahren

Hallo hier ist Mandy. Ein Gärtner soll ein Beet gestalten, dass von einer Holzterrasse und einem Teich begrenzt wird. Zuerst muss er das Beet mit Erde befüllen, bevor er Blumen einpflanzen kann. Dazu muss er wissen, wie groß die Fläche des Beetes ist. Hast du eine Idee, wie man den Flächeninhalt berechnen könnte? Eine Möglichkeit wäre zum Beispiel die Kepler’sche Fassregel zu verwenden. Der Grundgedanke hinter dieser Formel ist, den Flächeninhalt mit Hilfe von quadratischen Parabeln näherungsweise zu bestimmen. So definiert man drei Punkte: A, B und M auf dem Funktionsgraphen zur Bestimmung einer geeigneten quadratischen Parabel. Der Inhalt der Fläche, die von der Parabel und der x-Achse in einem bestimmten Intervall [a;b] eingeschlossen wird, kann man dann mit Hilfe einer Näherungsformel bestimmen. F sei eine stetige Funktion im Intervall [a;b]. Dann gilt die Näherungsformel: Integral von a bis b von f(x) dx ist rund ((b - a)/6)×(f(a)+4×f(m)+f(b)) mit m = (a+b)/2. Ungefähr einhundert Jahre später entwickelte der englische Mathematiker Thomas Simpson dieses Verfahren weiter. Er hielt für Kepler’sche Fassregel für zu ungenau. Da Keppler die gesamte Fläche nur mit Hilfe einer quadratischen Parabel annäherte. Simpson meinte, dass es sinnvoller sei, die Fläche in mehrere kleine Intervalle zu unterteilen. Und jedes dieser Teilintervalle mit Hilfe einer Parabel zu berechnen und die Teilflächen anschließend zu addieren. Auf diese Weise schuf er das Simpson-Verfahren, das auf einer Mehfachanwendung der Kepler’schen Fassregel beruht. Wir betrachten im Folgenden das Simpson-Verfahren etwas näher. Dazu konzentrieren wir uns auf diese Zeichnung. Beim Simpson-Verfahren teilt man also das Intervall [a;b] in n weitere teil Intervalle ein. Dabei geht es abzuwägen: Je größer die Anzahl der Teilintervalle, also n, ist, umso genauer wird auch der angenäherte Wert. Aber umso größer wird auch der Rechenaufwand. Die Intervallgrenzen werden durch x₀ bis x_2n angegeben. Wobei x₀ die Grenze a und x_2n die Grenze b darstellt. Die Grenzen der Teilintervalle werden immer mit geraden Indizes bezeichnet. Zum Beispiel x₂. Die Mitten der Teilintervalle werden entsprechend mit ungerade Indizes bezeichnet. Wie zum Beispiel x₁. Allgemein lassen sich alle x_i durch die Formen a + i×((b - a)/2n) bestimmen. Die Streifen, welche durch die Einteilung des Intervalls entstehen, bezeichnet man als Simpson-Streifen. Zu jedem x-Wert x_i gibt es einen y-Wert y_i, der zu einem Punkt auf dem Graphen gehört. Diesen y-Wert bestimmt man, indem man den jeweiligen x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. Um die Näherungsformel besser verstehen zu können, berechnen wir nun der Flächeninhalt der ersten beiden Simpson-Streifen. Der Flächeninhalt des ersten Streifens mit dem Intervall x₀ bis x₂ berechnet man laut der Kepler’schen Fassregel durch diese Formel. Analog erhalten wir für den Flächeninhalt des zweiten Streifens mit dem Intervall x₂ bis x₄ diese Formel. Wenn wir beide Flächeninhalte addieren, erhalten wir diese Formel. Diese Formel kann man nun für jede beliebige Anzahl von Teilintervallen verallgemeinern. Man nennt sie die Näherungsformel zum Simpson-Verfahren. f sei eine auf dem Intervall [a;b] stätige Funktion. Dann gilt die Näherungsformel: Integral von a bis b von f(x) dx ist rund: ((b - a)/6n)×y₀ + 4y₁ + 2y₂ + 4y₃ + und so weiter + 2y_2n-2 + 4y_2n-1 + y_2n. Mit y_i = f(x_i) = f(a + i×((b-a)/2n)). Wobei i die Werte von 0 bis 2n annehmen kann. Wenden wir nun die Formel auf unser Einstiegsbeispiel an. Dazu brauchen wir noch die gegebenen Größen. Der Gärtner hat das Beet vermessen und eine Breite von 8 Metern und am linken Ende eine Höhe von 2 Metern gemessen. Damit ergibt sich ein Intervall von [0;8]. Die Funktionsgleichung, mit welcher man die Begrenzungslinie angeben kann lautet f(x) = sin(x) + 2. Um zu ermitteln wie genau das Simpson-Verfahren ist, vergleichen wir den angenäherten anschließend mit dem genauen Wert, den wir mit dem bestimmten Integral berechnen. Wir beginnen mit dem Weg über das Simpson-Verfahren. Wir wählen für dieses Beispiel vier Teilintervalle und erhalten damit auch vier Simpson-Streifen. Also ist n = 4. Zur Veranschaulichung verwenden wir folgendes Diagramm. Zur Berechnung der y-Werte y_i nutzen wir eine Tabelle an der wir im Tabellenkopf i, x_i und y_i beziehungsweise f(x_i) notieren. Da wir vier Simpson-Streifen haben, erhalten wir für i die Werte 0 bis 8. Die werte x_i berechnen wir über die Formel a + i×((b - a)/2n). Sie sind in diesem Beispiel schnell bestimmt. So gilt für x₀ = 0 + 0 + ((8 - 0)/2×4). Somit ist x₀ = 0. Die anderen x-Werte ergeben sich analog und nehmen die Werte 0 bis 8 an. Dies kann man auch schnell der Skizze entnehmen. Um die Werte für y_i zu erhalten, setzen wir die Werte in die Funktionsgleichung ein. Für y₀ müssen wir x₀ in die Funktionsgleichung einsetzen. Und erhalten dann: sin(0) + 2. Da sin(0) = 0, erhalten wir für y₀ den Wert zwei. Analog werden die anderen y-Werte berechnet. Nun berechnen wir den Flächeninhalt mit der Näherungsformel. Es gilt dann, Integral von 0 bis 8, von f(x)dx ist rund: ((8 - 0)/6×4)×(2 + 4×2,8415+2×2,9093+4×2,1411+2×1,2432+4×1,0411+2×1,7206+4×2,6570+2,9894). Dies ist 17,1428. Zum Vergleich berechnen wir nun das bestimmte Integral. Es gilt: Integral von 0 bis 8 von sin(x)+2 dx ist rund 17,1455. Damit haben wir eine Abweichung von 0,0073 zwischen dem Näherungsweise berechneten Wert und dem exakten Wert. Das Simpson-Verfahren liefert damit einen sehr genauen Wert. Nun weiß der Gärtner, dass er Erde für eine Fläche von 17,1528 Quadratmeter benötigt. Das war es schon wieder von mir. Daher sage ich nun: Bye, bye und bis zum nächsten Mal.