Numerische Integrationsverfahren – Übersicht

Hallo! Hier ist Mandy. Manchmal stößt man im Alltag auf Probleme, die man auf den ersten Blick nicht lösen kann. So gelangt im folgenden Beispiel ein Handwerker auch an seine Grenzen. Sein Kunde hätte an seinem Haus gerne eine Holzterrasse, die eine besondere Form hat. Als Untergrund muss der Handwerker Kies ausstreuen. Er weiß aber nicht, wie viel Kies er bestellen soll, weil er den Flächeninhalt der geplanten Terrasse nicht bestimmen kann. Es gibt darüber hinaus viele andere Fälle, in denen man einen Flächeninhalt nicht exakt mit Hilfe bestimmter Integrale berechnen kann. So kann es sein, dass der Integrand keine geschlossen darstellbare Stammfunktion besitzt. Oder dessen Stammfunktion schwer zu bestimmen ist. Ein solcher Fall wäre zum Beispiel auch vorhanden, wenn der Graph, der eine Fläche einschließt, nicht durch eine Funktionsgleichung gegeben ist. Sondern nur mit Messwerten oder Zeichnungen gearbeitet werden kann. In der Mathematik gibt es dazu verschiedene Verfahren, mit denen man den Inhalt dieser Fläche näherungsweise bestimmen kann. Man nennt sie: "Numerische Integrationsverfahren". Im Folgenden erhältst Du einen Überblick über einige dieser Verfahren. Wir wenden uns hierbei der "Streifenmessung", dem "Rechteckverfahren", dem "Trapezverfahren", der "Keplerschen Fassregel" und deren Weiterentwicklung, dem "Simpson-Verfahren" zu. Wir nutzen für die Erklärungen das Einstiegsbeispiel. Der Einfachheit halber konzentrieren wir uns hierbei auf die Umrisse der Terrasse und stellen sie als Funktion in einem Intervall im Koordinatensystem dar. Wir beginnen mit der "Streifenmessung". Ausgangspunkt zur Verwendung dieses Verfahrens ist eine Zeichnung, aus der man lediglich Messwerte entnehmen kann. Man nutzt zur näherungsweisen Berechnung des Flächeninhalts mehrere gleich breite Streifen, die man über die Zeichnung der Fläche legt. Die Breite der Streifen hängt davon ab, wie genau der berechnete Wert sein soll und wie groß der Rechenaufwand sein darf. Man wählt eine geeignete Länge der Streifen, in dem man darauf achtet, dass sich die Mittellinien der Streifen mit der Begrenzungslinie der Fläche schneiden. Anschließend misst man die Länge der Streifen und kann mit Hilfe der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts für Rechtecke den Flächeninhalt der einzelnen Streifen bestimmen. Zum Schluss addiert man die Flächeninhalte aller Streifen. Und erhält damit den näherungsweise bestimmten Flächeninhalt der Fläche der Zeichnung. Häufig handelt es sich um eine Zeichnung mit bestimmtem Maßstab. Das heißt, man muss am Ende gegebenenfalls noch den Maßstab umrechnen. Das Verfahren der Streifenmessung hat den Vorteil, dass es stets anwendbar ist, weil lediglich eine Zeichnung gegeben sein muss. Es hat aber auch den Nachteil, dass die Genauigkeit des berechneten Wertes aufgrund von Ungenauigkeiten beim Einzeichnen der Streifen oder wegen Messungenauigkeiten begrenzt ist.Das "Rechteckverfahren" funktioniert ähnlich wie die "Streifenmessung". Der wesentliche Unterschied besteht darin, dass als Ausgangspunkt eine Funktionsgleichung oder eine Zeichnung mit einer passenden Funktionsgleichung gegeben ist. Analog zur "Streifenmessung" teilt man die Fläche in gleich breite Streifen beziehungsweise Rechtecke. Auch hier wird der angenäherte Wert umso genauer, je größer die Anzahl der Rechtecke und damit je geringer die Breite der Rechtecke ist. Die Längen der Rechtecke werden so gewählt, dass die Mittellinien der Rechtecke den Graphen der Funktion schneiden. Anders als bei der "Streifenmessung" berechnet man nun die Länge der Rechtecke mit Hilfe der Funktionsgleichung. Danach werden die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke berechnet und diese anschließend addiert. Dieses Verfahren hat den Vorteil, dass es einen genaueren Wert liefert als bei der "Streifenmessung". Im Vergleich zu weiteren Verfahren ist es außerdem mit einfachen Mitteln zu lösen. Da sich die Rechtecke jedoch häufig nicht so gut an die Begrenzungslinien anschmiegen, ist die Genauigkeit dieses Verfahrens relativ begrenzt. Eine Weiterentwicklung des "Rechtseckverfahrens" ist das "Trapezverfahren". Eine Trapezseite kann sich besser an den Funktionsgraphen anschmiegen. Ausgangspunkt ist wiederum eine Funktionsgleichung. Ähnlich wie bei den vorangegangenen Verfahren, teilt man die betrachtete Fläche in gleich breite Teilflächen beziehungsweise Trapeze ein. Hierbei handelt es sich um rechtwinklige Trapeze. Die zur x-Achse senkrecht stehenden Trapezseiten schneiden den Funktionsgraphen jeweils in einem Punkt. Verbindet man diese Punkte geradlinig, so erhält man die obere Trapezseite. Nun muss man noch die Längen der Trapezseiten berechnen, die senkrecht zur x-Achse stehen. Mit diesen Seitenlängen und der Breite der Trapeze kann man nun den Flächeninhalt der einzelnen Trapeze berechnen und diese anschließend addieren. Dieses Verfahren hat den Vorteil, dass es etwas genauer als das "Rechteckverfahren" ist. Aber auch den Nachteil, dass es etwas aufwendiger ist.Kepler hat ein weiteres Näherungsverfahren entwickelt. Die sogenannte "Kepler'sche Fassregel". Auch hier liegt als Ausgangspunkt eine Funktionsgleichung vor. So hatte Kepler die Idee, den Graph der Funktion durch eine Parabel näherungsweise zu bestimmen. Sie sollte die obere Begrenzungslinie der Fläche bilden. Den Parabelbogen legt man mit Hilfe von drei Punkten fest, die auf dem Funktionsgraphen liegen. Punkt A, dessen x-Wert die untere Intervallgrenze bildet. Punkt B, dessen x-Wert die obere Intervallgrenze bildet und Punkt M, dessen x-Wert die Mitte des Intervalls bildet. Den Flächeninhalt kann man nun mit Hilfe dieser drei Markierungspunkte über eine Näherungsformel berechnen. Das Verfahren ist weniger aufwendig als die vorherigen Methoden, weil keine einzelnen Streifen, Rechtecke oder Trapeze berechnet und addiert werden müssen. Allerdings gibt es noch ein genaueres Verfahren. Simpson entwickelte das Verfahren von Kepler weiter und teilte die Fläche in mehrere gleich breite Streifen, die sogenannten "Simpson-Streifen" ein. Er nutzte für jeden Streifen individuelle Parabeln als obere Begrenzungslinie. Er berechnete dann die Flächeninhalte der Streifen mit der "Kepler'schen Fassregel" und addierte sie anschließend. Der Vorteil dieses Verfahren ist, dass es genauer ist als alle anderen beschriebenen Verfahren. Es ist jedoch auch aufwendiger.Nun hast Du dir einen Überblick über alle numerischen Integrationsverfahren verschafft. Und kannst abwägen, welches Verfahren Du in welchen Situationen geeigneterweise verwendest. Das war es schon wieder von mir. Daher sage ich nun bye, bye und bis zum nächsten Mal!