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Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen

Prismen-Oberfläche erklärt Ein gerades Prisma besteht aus Boden- und Deckfläche sowie Seitenflächen, die das Prisma begrenzen. Erfahre, wie man den Oberflächeninhalt berechnet und wofür ein Körpernetz wichtig ist. Interessiert? Dies und vieles mehr erfährst du im Video!

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Wie berechnet man den Oberflächeninhalt eines Quaders?

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Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen
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Beschreibung zum Video Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen

Du weißt nicht, wie viel Geschenkpapier du für den nächsten Geburtstag oder das nächste Weihnachtsfest brauchst? Kein Problem. Sieh dir einfach dieses Video an und lerne, wie man die Oberfläche eines Prismas berechnet!

Nach einer kurzen Einleitung zu Prismen lernst du mithilfe von Beispielen, wie die Oberfläche verschiedener Prismen berechnet werden kann. Dazu lernst du die wichtigsten Definitionen und Formeln kennen. Nach diesem Video kannst du deinen Geschenkpapierbedarf perfekt planen – vorausgesetzt, du hast nur Geschenke in der Form von Prismen.

Grundlagen zum Thema Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen

Oberfläche eines Prismas – Definition

Ein gerades Prisma ist ein Körper, der von zwei kongruenten Vielecken in parallelen Ebenen und Rechtecken begrenzt wird. Die beiden Vielecke nennt man Bodenfläche und Deckfläche und sie liegen bei einem geraden Prisma genau übereinander. Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke, die alle zwei Seitenlängen gemeinsam haben. Diese Länge ist die Höhe des Prismas. Die Oberfläche des Prismas besteht aus allen Flächen, die das Prisma begrenzen – also aus den Seitenflächen sowie der Deck- und der Bodenfläche.

In diesem Video erklären wir dir, wie du den Flächeninhalt der Oberfläche berechnen kannst. Diesen Flächeninhalt nennt man auch den Oberflächeninhalt oder kurz die Oberfläche des Prismas.

Liegen die kongruenten Deck- und Bodenflächen eines Prismas in zueinander parallelen Ebenen, aber nicht genau übereinander, so handelt es sich um ein schiefes Prisma. Wenn du die Höhe des Prismas richtig berechnest, kannst du die Formel für den Oberflächeninhalt von Prismen auch für schiefe Prismen verwenden.

Oberfläche eines Prismas berechnen

Um den Flächeninhalt der Oberfläche zu berechnen, benutzen wir ein Körpernetz des Prismas. Das Körpernetz erhältst du, wenn du das Prisma längs einiger Kanten aufschneidest und zu einer ebenen Figur auseinanderfaltest. An dem Körpernetz erkennst du genau, aus welchen Flächen die Oberfläche des Prismas zusammengesetzt ist.


Oberfläche eines Quaders – Herleitung

Der Quader ist ein spezielles Prisma, nämlich eines mit rechteckiger Grund- und Deckfläche. Falten wir den Quader auf, so können wir an dem Körpernetz erkennen, aus welchen Flächen die Oberfläche des Quaders zusammengesetzt ist.

Quader: Körper und Körpernetz

Die beiden pinkfarbenen Flächen sind kongruent zueinander. Es handelt sich um die Deck- und Bodenfläche des Quaders mit den Seitenlängen aa und bb. Die vier orangfarbenen Flächen bilden die Mantelfläche des Quaders. Diese vier Flächen bilden zusammen ein Rechteck mit den Seitenflächen cc in der vertikalen Richtung sowie b+a+b+ab+a+b+a in der horizontalen. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist die Mantelfläche MM des Quaders.

Für die Oberfläche OO eines Prismas finden wir die Formel:

O=2G+MO=2G+M

Hier ist GG die Grundfläche und OO die Oberfläche des Prismas. Wir setzen die Seitenlängen ein, fassen die Terme zusammen und erhalten die Formel für den Oberflächeninhalt des Quaders:

O=2(ab)+(2a+2b)cO = 2 \cdot (a \cdot b) + (2a+2b) \cdot c


Oberfläche eines Quaders – Anwendung

Wir berechnen den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Seitenlängen a=20 cma=20~\text{cm}, b=15 cmb=15~\text{cm} und c=30 cmc=30~\text{cm}. Wir setzen also die Werte für aa, bb und cc in die Formel ein und erhalten:

O=220 cm15 cm+(220 cm+215 cm)30 cm =600 cm2+2.100 cm2 =2.700 cm2O=2 \cdot 20~\text{cm} \cdot 15~\text{cm} + (2\cdot 20~\text{cm} + 2\cdot 15~\text{cm}) \cdot 30~\text{cm} \newline ~=600~\text{cm}^2 + 2.100~\text{cm}^2 \newline ~=2.700~\text{cm}^2

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Oberfläche eines dreiseitigen Prismas – Herleitung

Ein dreiseitiges Prisma hat als Grundfläche ein Dreieck. Das Körpernetz des dreiseitigen Prismas besteht aus zwei Dreiecken und drei Rechtecken:

Körpernetz dreiseitiges Prisma

Die drei Rechtecke fügen sich zu einem Rechteck zusammen, dessen Flächeninhalt die Mantelfläche des Prismas ist. Die eine Seitenlänge dieses Rechtecks ist der Umfang (a+b+c)(a+b+c) der dreieckigen Grundfläche, die andere Seite ist die Höhe hPrismah_{\text{Prisma}} des Prismas. Der Flächeninhalt der Dreiecke kann mithilfe einer Seite cc und der dazugehörigen Höhe hch_c berechnet werden. Die Formel für den Flächeninhalt der Oberfläche sieht dann insgesamt so aus:

O=2G+M=212chc+(a+b+c)hPrismaO = 2G +M = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c + (a+b+c) \cdot h_{\text{Prisma}}

Mit dieser Formel kannst du die Oberfläche jedes geraden dreiseitigen Prismas berechnen, wenn du die Seitenlängen aa, bb und cc sowie die Höhen hch_c und hPrismah_{\text{Prisma}} kennst.


Oberfläche eines dreiseitigen Prismas – Anwendung

Wir berechnen die Oberfläche eines Prismas mit den Seitenlängen a=b=c=25 cma=b=c=25~\text{cm} und den Höhen hPrisma=35 cmh_{\text{Prisma}} = 35~\text{cm} sowie hc=21,7 cmh_c=21,7~\text{cm}. Dazu setzen wir die Werte in die Formel ein:

O=25 cm21,7 cm+(25 cm+25 cm+25 cm)35 cm=542,5 cm+75 cm35 cm=3.167,5 cm2O=25~\text{cm} \cdot 21,7~\text{cm} + (25~\text{cm} +25~\text{cm} +25~\text{cm}) \cdot 35~\text{cm} \newline = 542,5~\text{cm} + 75~\text{cm} \cdot 35~\text{cm} \newline = 3.167,5~\text{cm}^2

Oberflächeninhalt eines Prismas – Zusammenfassung

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, wie du die Oberfläche gerader Prismen berechnen kannst. Zu dem Video gibt es interaktive Übungen, in denen du dein neues Wissen sofort ausprobieren kannst!

Transkript Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen

Willkommen zurück bei DIY Debbie! Wollt ihr Geschenke einpacken und nie wieder zu viel Geschenkpapier verwenden? Euch nervt die Verschwendung genauso wie mich? Dann seid ihr hier genau richtig! Heute zeige ich euch, wie ihr am besten Geschenke einpackt! Und ich verspreche, meine Methode ist idiotensicher! Dazu müsst ihr einfach den Oberflächeninhalt von Prismen berechnen. Wiederholen wir dazu zunächst was ein gerades Prisma überhaupt ist. Dabei handelt es sich um einen Körper mit mindestens zwei zueinander parallelen, kongruenten Vielecken als Grund- und Deckfläche. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Das heißt, dass auch der Quader und der Würfel Prismen sind. Verläuft die Verschiebung nicht senkrecht, so sprechen wir von einem schiefen Prisma. Damit beschäftigen wir uns in diesem Video aber nicht. Betrachten wir zunächst diesen Quader. Die Oberfläche eines Prismas ist dann genau die Fläche, die den Körper umgibt. Klappen wir ihn auf, so sehen wir das Körpernetz des Quaders und können erkennen, aus welchen Flächen die Oberfläche zusammengesetzt ist. Wir haben hier die zwei kongruenten Grundflächen. Diese vier Flächen ergeben zusammen die Mantelfläche in der Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen b + a + b + a und c, also genau den Umfang der Grundfläche. Das hier können wir zusammenfassen zu 2a + 2b. Die Oberfläche eines Prismas ergibt sich dann durch 2 mal G plus M. G steht hier für Grundfläche und M für Mantelfläche. Für diesen Quader haben wir also 2 mal (a mal b) + (2a + 2b) mal c. Betrachten wir unser erstes Geschenk, diese beiden Debbie DIY Bücher, müssen wir hier nur noch die Seitenlängen einsetzen. Das Geschenk hat also eine Oberfläche von 2 mal 20 mal 15 plus in Klammern (2 mal 20 + 2 mal 15) mal 30 also 2700 Quadratzentimetern. Guckt! Das war doch total einfach. Auf zum nächsten Geschenk. Dieses ist in der Form eines dreiseitigen Prismas. Hier ist die Grundfläche also ein Dreieck. Klappen wir das Prisma auf, so sehen wir, dass die Oberfläche aus den zwei Grundflächen und 3 Seitenflächen besteht. Die Länge einer der Seiten des Rechtecks ist der Umfang des Dreiecks. Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen wir mit ein Halb mal c mal h_c also berechnen wir die Oberfläche mit ein Halb mal 2 mal c mal h_c plus (a+b+c) mal h_Prisma. Das hier können wir zu c mal h_c zusammenfassen. Bei der Berechnung der Oberfläche eines geraden Prismas musst du also IMMER die beiden Grundflächen bestimmen. Außerdem musst du erkennen, wie sich die Seitenlängen der rechteckigen Mantelfläche zusammensetzen. Betrachten wir unser zweites Geschenk, diese Lampe, müssen wir hier also nur noch die Seitenlängen einsetzen. Das Geschenk hat also eine Oberfläche von 25cm mal 21,7cm plus in Klammern (25cm plus 25cm plus 25cm) mal 35cm also 3167,5 Quadratzentimetern. Und während ich die restlichen Geschenke einpacke, fassen wir noch schnell zusammen. Möchtest du die Oberfläche eines Prismas bestimmen, so musst du wissen wie dieses aufgebaut ist. Dazu hilft dir das Körpernetz des Prismas. Das Prisma besteht aus zwei deckungsgleichen Flächen und der Mantelfläche. Du bestimmst die Oberfläche also mit 2 mal G plus M. Bei einem geraden Prisma ist die Mantelfläche ein Rechteck und die Seitenlängen ergeben sich aus dem Umfang der Grundfläche und der Höhe des Prismas. Fertig! Und wenn ihr euch an meine Tipps und Tricks haltet, könnt ihr Geschenke einpacken und benutzt nie mehr zu viel Geschenkpapier! Aber fehlt da nicht noch was?! Genau! Und wie ich das am besten zusammenklebe, zeige ich euch im nächsten Video. Bis dahin: Was sind eure DIY Geschenkpapier Lifehacks? Schreibt es in die Kommentare! Und vergesst nicht zu abonnieren.

43 Kommentare
  1. Sehr gutes Video hat mir vor der Mathe Arbeit mich gerätet

    Von Nik, vor 4 Monaten
  2. sehr verständlich gemacht.

    Von Jakob, vor 8 Monaten
  3. Hä? Egal, mein Lifehack ist: Paket auf das Papier legen, um zeichnen, auf eine andere Seite legen umzeichnen usw, bis man ungefähr das doppelte hat. Ausschneiden an den äußersten Linien und zukleben.

    Von Fabian, vor 8 Monaten
  4. Das Video ist auch toll :D

    Von Valentina Sophie Woog, vor 10 Monaten
  5. Sehr gutes Video. Toll erklärt und worum es im Video geht ist auch toll! Möchte gerne mehr solcher Videos! Liebe Grüße an Team Digital gehen raus :)

    Von Gabija, vor 10 Monaten
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Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen Übung

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