Parallelverschiebung von Figuren
Lerne die Parallelverschiebung von Figuren mit Zirkel und Lineal! Verstehe, wie man jeden Punkt einer Figur parallel und in derselben Richtung verschiebt. Schritt-für-Schritt-Anleitung mit Lot und Geraden. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Parallelverschiebung von Figuren
Parallelverschiebung mit Zirkel und Lineal
In diesem Text wird die Parallelverschiebung von Figuren einfach erklärt. Bei einer Parallelverschiebung wird jeder Punkt einer Figur um dieselbe Länge in dieselbe Richtung verschoben. Wie man das Ganze durch das Arbeiten mit dem Zirkel und mit einem Lineal macht, schauen wir uns in diesem Text gemeinsam an.
Parallelverschiebung – Definition
Wir möchten das folgende Dreieck $ABC$ verschieben. Die Richtung und Länge der Verschiebung ist durch den Verschiebungspfeil gegeben.
Die Figur wird entlang der Richtung des Verschiebungspfeils verschoben. Zudem wird sie genau so weit verschoben, wie der Verschiebungspfeil lang ist. Das sind die zwei wichtigen Eigenschaften der Parallelverschiebung. Schauen wir uns im Folgenden die Erklärung zur Parallelverschiebung an.
Wie macht man eine Parallelverschiebung?
Es kann helfen, den Verschiebungspfeil durch eine Gerade zu verlängern. Diese Gerade bezeichnen wir im Folgenden mit $g$. Die Verschiebung führen wir nun Punkt für Punkt durch. Dabei beginnen wir mit Punkt $A$. Zunächst muss ein Lot auf die Gerade $g$ durch den Punkt $A$ gefällt werden. Das Lot auf $g$ ist eine zu $g$ senkrechte Gerade. Um das Lot zu fällen, gehen wir folgendermaßen vor:
- Mit dem Zirkel in $A$ einstechen
- Kreisbogen zeichnen, der $g$ an zwei Stellen schneidet
- In einen der Schnittpunkte mit dem Zirkel einstechen. Einen Kreisbogen mit einem etwas größeren Radius zeichnen
- In den anderen Schnittpunkt einstechen. Mit demselben Radius einen weiteren Kreisbogen zeichnen, der den vorher gezeichneten schneidet
- Den Schnittpunkt mit $P$ bezeichnen
- Zeichnen einer Geraden $h$ durch $P$ und $A$. Diese steht nun senkrecht zu $g$.
- Somit wurde das Lot auf die Gerade $g$ gefällt.
Ohne die Verlängerung des Verschiebungspfeils hätten wir das Lot nicht fällen können. Dieser erste Schritt ist also sehr wichtig.
Nun muss ein Lot auf die Gerade $h$ durch den Punkt $A$ gefällt werden. Das geht so:
- Mit dem Zirkel in $A$ einstechen
- Kreisbogen um $A$ zeichnen, der $h$ an zwei Stellen schneidet
- Mit einem größeren Radius jeweils einen Kreisbogen um die beiden Schnittpunkte auf der Geraden $h$ zeichnen. Beide Kreisbogen müssen denselben Radius haben.
- Diese Kreisbögen schneiden sich zweimal.
- Eine Gerade $i$ zeichnen, die durch die beiden Schnittpunkte und $A$ verläuft
- Die Gerade $i$ steht nun senkrecht zu $h$ und ist parallel zu $g$.
Jetzt können wir die Länge des Verschiebungspfeils auf der Geraden $i$ abtragen und erhalten so den Punkt $A^{\prime}$. Dazu müssen wir:
- In einen Eckpunkt des Verschiebungspfeils mit dem Zirkel einstechen
- Einstellen des Zirkels auf die exakte Länge des Pfeils
- Mit dem so eingestellten Zirkel in $A$ einstechen und einen Kreisbogen um $A$ zeichnen, der $i$ in Richtung des Verschiebungspfeils schneidet
- Der entstandene Schnittpunkt wird $A^{\prime}$ genannt.
- $A^{\prime}$ ist nun die Verschiebung des Punkts $A$ parallel zur Geraden $g$ und somit entlang des Verschiebungspfeils.
- $A$ und $A^{\prime}$ haben beide denselben Abstand zur Geraden $g$.
Für Punkt $B$ gehen wir nach demselben Prinzip vor. Zunächst wird das Lot durch $B$ auf $g$ gefällt. Danach konstruieren wir eine senkrechte Gerade zum Lot durch den Punkt $B$.
Die Länge des Verschiebungspfeils wird nun auf dieser Geraden abgetragen. Der Schnittpunkt wird $B^{\prime}$ genannt. Der Punkt $B^{\prime}$ ist somit die parallele Verschiebung des Punkts $B$ entlang der Geraden $g$.
Den gleichen Vorgang wiederholen wir nun auch für den Punkt $C$. Wir erhalten den Punkt $C^{\prime}$. Nun müssen die drei entstandenen Punkte nur noch zum Dreieck $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ verbunden werden.
Dieses Dreieck ist damit die parallele Verschiebung des Dreiecks $ABC$ entlang und parallel zur Geraden $g$. Die Dreiecke $ABC$ und $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ sind kongruent zueinander. Das heißt, sie sind deckungsgleich. Mit diesem Prinzip lässt sich jede beliebige Figur in eine bestimmte Richtung verschieben.
Zusammenfassung – Parallelverschiebung in Mathe
Die folgenden Stichpunkte fassen die einzelnen Schritte der Parallelverschiebung von Figuren noch einmal zusammen. Möchte man eine Figur entlang und parallel zu einem Verschiebungspfeil verschieben, so geht man in folgenden Schritten vor:
- Zeichnen einer Geraden durch den Verschiebungspfeil
- Lot durch einen Eckpunkt der Figur auf die Gerade fällen
- Senkrecht zum Lot eine weitere Gerade durch den entsprechenden Punkt konstruieren
- Auf der Geraden mit dem Zirkel die Länge des Verschiebungspfeils abtragen
- Man erhält den parallel verschobenen Bildpunkt zum Ursprungspunkt.
- Nach demselben Prinzip wird mit allen Punkten verfahren.
- Somit erhält man eine parallel in Richtung des Verschiebungspfeils verschobene Figur.
Nun haben wir anhand des Beispiels alles gelernt, um Parallelverschiebungen von Figuren mithilfe von Zirkel und Lineal durchzuführen. Weitere Aufgaben zur Parallelverschiebung von Figuren findest du hier auf der Seite unter Arbeitsblättern und Übungen.
Transkript Parallelverschiebung von Figuren
In diesem Video beschäftigen wir uns mit Parallelverschiebungen von Figuren. Bei einer Parallelverschiebung wird jeder Punkt einer Figur um dieselbe Länge in dieselbe Richtung verschoben. Und wie man das Ganze mit Zirkel und Lineal macht, schauen wir uns heute an. Wir möchten das Dreieck ABC verschieben. Der Verschiebungspfeil gibt uns hier die Richtung und Länge der Verschiebung an. Um besser arbeiten zu können, zeichnen wir eine Gerade g durch den Verschiebungspfeil. Wozu das nützlich ist, sehen wir gleich. Die Verschiebung führen wir Punkt für Punkt durch. Wir beginnen dabei mit dem Punkt A. Zunächst müssen wir das Lot auf die Gerade g durch den Punkt A fällen. Das Lot ist hier dann eine senkrechte Gerade zu g. Um das Lot durch A zu fällen, stechen wir mit dem Zirkel in A ein und zeichnen einen Kreisbogen, der g an zwei Stellen schneidet. Nun stechen wir in einen der beiden Schnittpunkte ein und zeichnen ebenfalls einen Kreisbogen. Der Einfachheit halber sollte der Radius etwas vergrößert werden. Mit demselben Radius stechen wir nun auch in den anderen Schnittpunkt ein und zeichnen ebenfalls einen Kreisbogen. Wie wir sehen, schneiden sich die beiden Kreisbögen in einem Punkt, den wir mit P bezeichnen. Lass uns weitermachen. Zeichnen wir nun eine Gerade h durch P und A, steht diese senkrecht zu g. Somit haben wir das Lot auf die Gerade g gefällt. Jetzt sehen wir auch, warum wir diese zuvor durch den Verschiebungspfeil gezeichnet haben. Ohne die Gerade hätten wir kein Lot fällen können. Das sieht doch schon sehr gut aus. Anschließend müssen wir das Lot auf die Gerade h durch den Punkt A fällen. Dazu stechen wir mit dem Zirkel in A ein und zeichnen einen Kreisbogen um A, der h an zwei Stellen schneidet. Mit einem größeren Radius zeichnen wir nun jeweils einen Kreisbogen um die beiden Schnittpunkte auf der Geraden h. Beide Kreisbögen müssen dabei denselben Radius haben. Diese Kreisbögen schneiden sich zweimal. Anschließend zeichnen wir eine Gerade i, die durch die beiden Schnittpunkte und somit auch durch A verläuft. i steht nun senkrecht zu h und ist parallel zu g. Abschließend stechen wir mit dem Zirkel in einen Eckpunkt des Verschiebungspfeils und stellen ihn exakt auf dessen Länge ein. Mit dem so eingestellten Zirkel stechen wir nun in A ein und zeichnen einen Kreisbogen um A, der i in Richtung des Verschiebungspfeils schneidet. Den so entstandenen Schnittpunkt nennen wir 'A Strich'. A Strich' ist nun die Verschiebung des Punktes A parallel zur Geraden g und somit entlang des Verschiebungspfeils. A und 'A Strich' haben beide denselben Abstand zur Geraden g. Prima! Nach demselben Prinzip verfahren wir nun auch mit dem Punkt B. Wir fällen das Lot durch B auf g. Nun konstruieren wir eine weitere senkrechte Gerade zum Lot durch B. Auf dieser Geraden tragen wir mit dem Zirkel die Länge des Verschiebungspfeils ab. Den Schnittpunkt nennen wir 'B Strich'. Auch 'B Strich' ist somit die parallele Verschiebung des Punktes B entlang der Geraden g. Perfekt! Diesen Vorgang wiederholen wir auch für den Punkt C. Wir erhalten somit den Punkt 'C Strich'. Zum Schluss verbinden wir alle Punkte zum Dreieck 'A Strich, B Strich, C Strich' miteinander. Dieses Dreieck ist damit die parallele Verschiebung des Dreiecks ABC entlang und parallel zur Geraden g. Genau das wollten wir ja auch erreichen, sehr gut! Die Dreiecke sind somit auch kongruent zueinander. Das heißt deckungsgleich. Mit diesem Prinzip lässt sich nahezu jede beliebige Figur in eine bestimmte Richtung verschieben. Das gilt zum Beispiel auch für diesen Pfeil. Fassen wir das zusammen. Möchten wir eine Figur entlang und parallel zu einem Verschiebungspfeil verschieben, zeichnen wir zunächst eine Gerade durch den Pfeil. Anschließend fällen wir das Lot durch einen Eckpunkt der Figur auf die Gerade. Senkrecht zum Lot konstruieren wir eine weitere Gerade durch den entsprechenden Punkt. Auf dieser Geraden tragen wir mit dem Zirkel die Länge des Verschiebungspfeils ab. Somit erhalten wir den parallel verschobenen Bildpunkt zum ursprünglichen Punkt. Nach demselben Schema verfahren wir auch mit allen anderen Punkten. Wir erhalten so eine parallel in Richtung des Verschiebungspfeils verschobene Figur. Jetzt haben wir alles gelernt, um Parallelverschiebungen von Figuren mit Zirkel und Lineal durchzuführen. Probier es doch mal aus!
Parallelverschiebung von Figuren Übung
-
Beschreibe das Vorgehen beim Konstruieren einer Lotgeraden.
TippsSo sieht die fertige Konstruktion aus.
Die beiden Schnittpunkte der Geraden $h$ mit dem ersten Kreisbogen sind die Grundlage für die Konstruktion der Lotgeraden.
LösungDie Konstruktionsschritte gehören in diese Reihenfolge:
„Sie sticht den Zirkel in $P$ ein und zeichnet einen Kreisbogen, der $h$ in zwei Stellen schneidet.“
- Die beiden Schnittpunkte sind die Grundlage für die Konstruktion der Lotgeraden. Dieser Schritt muss zuerst geschehen.
„Um den zweiten Schnittpunkt zeichnet sie einen weiteren Kreisbogen. Dieser hat denselben Radius, wie der Kreisbogen, den sie davor gezeichnet hat.“
- Anschließend musst du zwei Kreisbögen mit gleichem Radius um die beiden Schnittpunkte zeichnen. Diese schneiden sich in zwei Punkten.
„Die gerade gezeichnete Gerade $i$ steht senkrecht zu $h$. Sie ist also eine Lotgerade.“
- Durch die Schnittpunkte verläuft die Lotgerade.
-
Gib das Vorgehen einer Parallelverschiebung eines Dreiecks wieder.
TippsEin Lot zu einer Geraden steht immer senkrecht auf dieser Geraden.
Fällst du ein Lot auf einer Geraden und fällst anschließend ein weiteres Lot auf diesem Lot, dann ist das zweite Lot parallel zur Geraden.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Zunächst verlängern wir den Verschiebungspfeil zu einer Geraden.“
- Auf dieser Geraden fällst du anschließend ein Lot. Das kannst du nur tun, wenn du den Verschiebungspfeil verlängerst.
- Ein Lot zu einer Geraden steht immer senkrecht auf dieser Geraden.
- Fällst du ein Lot auf einer Geraden und fällst anschließend ein weiteres Lot auf diesem Lot, dann ist das zweite Lot parallel zur Geraden (in diesem Fall der Verlängerung des Verschiebungspfeils). Du hast also eine Gerade konstruiert, die durch den zu verschiebenden Punkt verläuft und parallel zu der Richtung ist, in die er verschoben werden soll.
- Indem du jetzt die Richtung des Pfeils abmisst, kannst du den neuen Punkt $A'$ bestimmen.
Den Punkt $C'$ bestimmen wir genauso. Zuletzt verbinden wir die drei Punkte zu einem Dreieck.“
- Hast du alle parallelverschobenen Punkte auf diese Weise bestimmt, kannst du sie zu einem Dreieck verbinden. Dieses ist nun parallelverschoben zum ursprünglichen Dreieck mit der Länge des Verschiebungspfeils und in dessen Richtung.
-
Entscheide, welcher Konstruktionsschritt hier durchgeführt wird.
TippsBeim Fällen eines Lots durch einen Punkt musst du zwei sich schneidende Kreisbogensegmente im gleichen Abstand von diesem Punkt zeichnen.
Für die Verlängerung einer Strecke zu einer Geraden zeichnest du eine Gerade durch diese Strecke.
LösungMit diesen Überlegungen kannst du die Konstruktionen zuordnen:
- Beim Fällen eines Lots durch einen Punkt musst du zwei sich schneidende Kreisbögensegmente im gleichen Abstand von diesem Punkt zeichnen. Durch die beiden Schnittpunkte verläuft das Lot.
- Bei einer Parallelverschiebung eines Punkts mithilfe von zwei Loten fällst du ein Lot durch den Punkt und fällst anschließend ein weiteres Lot auf diesem Lot. So erhältst du eine Gerade, die parallel zu der Richtung ist, in die du verschieben möchtest.
- Für die Verlängerung einer Strecke zu einer Geraden zeichnest du eine Gerade durch diese Strecke.
- Zum Abtragen einer gegebenen Strecke auf einer Geraden stellst du den Zirkel auf diese Strecke ein und zeichnest ein Kreisbogensegment mit diesem Radius auf der Geraden.
-
Leite die verschobene Figur ab.
TippsDu kannst die fehlenden Koordinaten bestimmen, indem du eine Parallelverschiebung mit zwei Loten durchführst.
Zeichne dazu das Koordinatensystem in dein Heft und verlängere zuerst den Verschiebungspfeil zu einer Geraden. Dann fällst du ein Lot auf dieser Geraden durch deinen ersten Punkt. Anschließend fällst du ein weiteres Lot auf dem ersten Lot und trägst die Länge des Pfeils darauf ab.
LösungDu kannst die fehlenden Koordinaten bestimmen, indem du eine Parallelverschiebung mit zwei Loten durchführst. Zeichne dazu das Koordinatensystem in dein Heft und führe die Verschiebung durch. Verlängere dazu zuerst den Verschiebungspfeil zu einer Geraden. Dann fällst du ein Lot auf dieser Geraden durch deinen ersten Punkt. Anschließend fällst du ein weiteres Lot auf dem ersten Lot und trägst die Länge des Pfeils darauf ab. Das wiederholst du für alle Punkte. So erhältst du folgende Koordinaten:
$A'(6\vert4)$
$B'(10\vert6)$
$C'(7\vert8)$
-
Bestimme die korrekten Aussagen zur Parallelverschiebung von Figuren.
TippsNach einer Parallelverschiebung sind die ursprüngliche und die verschobene Figur immer kongruent.
Mithilfe von zwei Lotgeraden und einem Punkt der Figur kannst du eine Gerade konstruieren, die parallel zum Verschiebungspfeil verläuft.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Bei einer Parallelverschiebung wird jeder Punkt einer Figur um die unterschiedlichen Längen in unterschiedliche Richtungen verschoben.“
- Alle Punkte werden um die gleiche Länge in die gleiche Richtung verschoben. So bleiben die ursprüngliche Figur und die verschobene Figur kongruent.
- Da alle Punkte um die gleiche Länge verschoben werden, müssen alle Abstände zwischen ursprünglichen und verschobenen Punkten gleich sein.
Diese Aussagen sind richtig:
„Die Länge und Richtung der Verschiebung kann durch einen Verschiebungspfeil dargestellt werden.“
- Dieser gibt Länge und Richtung der Verschiebung an.
- Mithilfe der zwei Lotgeraden kannst du eine Gerade konstruieren, die parallel zum Verschiebungspfeil liegt. Entlang dieser Geraden kannst du anschließend den Punkt verschieben.
-
Bestimme die korrekten Aussagen zum Parallelverschieben von Geraden.
TippsHier siehst du die Lagebeziehung von zwei nacheinander konstruierten Loten.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Konstruierst du ein Lot auf einer Geraden und anschließend ein weiteres Lot auf diesem Lot, dann ist das zweite Lot senkrecht zur ursprünglichen Geraden.“
- Ein Lot steht immer senkrecht auf der Geraden, zu der es konstruiert wird. Konstruierst du ein weiteres Lot auf diesem Lot, dann liegt das zweite Lot also parallel zur ursprünglichen Geraden.
- Die konstruierte Gerade muss parallel zum Verschiebungspfeil sein. Nur so kannst du die Parallelverschiebung in die richtige Richtung durchführen.
Diese Aussagen sind richtig:
„Um eine Figur parallel zu verschieben, verschiebst du nacheinander alle Punkte der Figur in dieselbe Richtung und um dieselbe Länge.“
- So funktioniert eine Parallelverschiebung.
„Mit den zwei Loten der Konstruktion bestimmst du die Richtung der Verschiebung und mit dem Abtragen der Länge des Pfeils die Länge der Verschiebung.“
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Schade das da keine Geschichte drin ist
Sehr ernst erklärt
ich finde es ist etwas schwierig erklärt...
gut
gut dankë