Prozentangaben in Diagrammen

Prozentangaben in Diagrammen Übung

• Beschreibe die Darstellung von Prozentangaben in Diagrammen.

  Tipps

  Sind in einem Zoo $45\%$ der Tiere Säugetiere, so berechnest du den Anteil der übrigen Tiere wie folgt:

  $100\% - 45\% = 55\%$

  Der Dezimalbruch zu $45\%$ ist $0,45$.

  Mit einem Liniendiagramm kannst du die Veränderung der Daten bei verschiedenen Messungen darstellen.

  Lösung

  In Diagrammen kannst du Prozentangaben übersichtlich darstellen. Für verschiedene Arten von Prozentangaben sind unterschiedliche Diagramme nützlich. Ein Streifendiagramm wird meistens dazu verwendet, einen Anteil an einem Ganzen darzustellen. Ein Teil des Streifens stellt den Anteil dar und der andere Teil den Rest, der noch zum Ganzen fehlt. Will man dagegen verschiedene Anteile eines gemeinsamen Ganzen darstellen, so bietet sich neben einem Streifendiagramm besonders ein Kreisdiagramm an. Um Anteile darzustellen, die sich jeweils auf ein eigenes Ganzes und nicht auf ein gemeinsames Ganzes beziehen, eignet sich ein Säulendiagramm oder ein Balkendiagramm. Ein Liniendiagramm findet dagegen bei der Darstellung der Veränderung zwischen verschiedenen Erhebungen der Daten Verwendung.

  Im ersten Beispiel handelt es sich um die Darstellung eines Anteils und des verbleibenden Restes: Leben im Universum $95\%$ Aliens, so beträgt der menschliche Rest nur noch $100\% - 95\% = 5\%$. Du kannst die Prozentangaben als Dezimalbruch darstellen, indem du die Prozentzahl durch $100$ dividierst oder das Komma um zwei Stellen nach links verschiebst. Daher ist $95\% = 0,95$ und $5\% = 0,05$.

  Für die Darstellung des Anteils $95\%$ in einem Streifendiagramm legst du die Streifenlänge fest und berechnest die Länge des Anteils, indem du die Streifenlänge mit dem Prozentsatz multiplizierst: Bei einem Streifen der Länge $\text l = 10~\text{cm}$ entspricht dem Anteil $95\%$ dann die Länge:

  $0,95 \cdot 10~\text{cm} = 9,5~\text{cm}$

  In verschiedenen Galaxien ist der erforschte Anteil unterschiedlich groß. Dieser Anteil bezieht sich jeweils auf eine einzelne Galaxie, nicht auf ein gemeinsames Ganzes aller Galaxien. Da es kein gemeinsames Ganzes als Bezug gibt, kannst du kein Kreisdiagramm oder Streifendiagramm zur Darstellung verwenden. Stattdessen eignet sich ein Balkendiagramm oder ein Säulendiagramm. Bei letzterem ist die Höhe der Säulen ein Maß für die Größe der Prozentangaben. Ist die Prozent-Achse in Zehnerschritten skaliert, so kannst du die Prozentzahlen direkt als Höhe der Säulen eintragen bzw. ablesen.

• Fasse die Eigenschaften verschiedener Diagramme zusammen.

  Tipps

  In einem Streifendiagramm ist der Quotient aus der Länge eines Anteils und der Gesamtlänge des Streifens dasselbe, wie der Dezimalbruch zu dem dargestellten Prozentsatz.

  Bei einem Balken- oder Säulendiagramm beziehen sich die Balken bzw. Säulen nicht notwendig auf ein gemeinsames Ganzes.

  Lösung

  Für die Darstellung verschiedener Prozentangaben sind unterschiedliche Typen von Diagrammen nützlich. Kreisdiagramme und Streifendiagramme setzen ein gemeinsames Ganzes voraus. Die Länge bzw. der Winkel eines Anteils berechnet sich aus dem Produkt der Gesamtlänge bzw. dem Vollwinkel $360^\circ$ und dem Prozentsatz. Liegt den Prozentangaben kein gemeinsames Ganzes als Bezug zugrunde, so kannst du kein Kreisdiagramm oder Streifendiagramm zur Darstellung verwenden. Hier eignet sich ein Säulendiagramm oder ein Balkendiagramm. Die Höhe der Säulen bzw. die Länge der Balken entspricht der Prozentzahl in einer Skalierung, die an der Achse abgetragen ist. Die Breite der Säulen bzw. Balken hat dagegen keine Aussagekraft.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Die Länge eines Anteils in einem Streifendiagramm berechnest du durch Multiplikation der Länge des Streifens mit dem Prozentsatz des jeweiligen Anteils.“ Den Prozentsatz stellst du für die Rechnung am besten als Dezimalzahl dar.

  • „Willst du verschiedene Anteile eines Ganzen darstellen, so kannst du ein Kreisdiagramm wählen.“ Der Vollkreis stellt das Ganze dar, die Sektoren den Anteil am Ganzen.

  • „Aus einem Balkendiagramm kannst du ein Säulendiagramm machen, indem du die Achsen vertauschst.“ Bei einem Säulendiagramm ist die vertikale Achse diejenige, an deren Skalierung die Höhe der Säulen festgelegt wird. Bei einem Balkendiagramm ist die horizontale Achse diejenige, an der die Skalierung die Länge der Balken festlegt. Durch Vertauschung der horizontalen und vertikalen Achsen wird aus einem Säulen- ein Balkendiagramm und umgekehrt.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „In einem Balkendiagramm kannst du nur Anteile eines gemeinsamen Ganzen darstellen.“ Ein Balkendiagramm eignet sich auch zur Darstellung von Anteilen, die sich jeweils auf ein eigenes Ganzes und kein gemeinsames Ganzes beziehen. Die Länge eines Balkens entspricht jeweils der Größe des Anteils.

  • „Bei der Darstellung von Prozentangaben in einem Säulendiagramm entspricht die Breite einer Säule dem durch die Säule dargestellten Prozentsatz.“ Die Breite der Säulen bzw. Balken hat keine Aussagekraft und kann rein aus ästhetischen Gesichtspunkten festgelegt werden. Bei einem Säulendiagramm entspricht die Höhe der Säulen den jeweiligen Prozentsätzen, bei einem Balkendiagramm die Länge der Balken.

• Ordne die Prozentangaben den Balken zu.

  Tipps

  Vergleiche die Länge der Balken mit den Prozentangaben.

  Für die Zuordnung ist die absolute Länge der Balken entscheidend, nicht nur die relative Länge der Balken untereinander.

  Der kürzeste Balken entspicht der kleinsten Prozentzahl.

  Lösung

  Mit einem Balkendiagramm kannst du Prozentangaben darstellen, denen kein gemeinsames Ganzes zugrunde liegt. Dies ist der Fall bei den verschiedenen Galaxien, da sich die Prozentangaben jeweils auf eine einzelne Galaxie beziehen. Die Länge eines Balkens entspricht jeweils der Prozentzahl.

  In dem Diagramm sind sechs Balken zu sehen. Nur vier davon gehören zu den hier beschriebenen Galaxien. Es gilt herauszufinden, welcher Balken welche Prozentangabe repräsentiert.

  Obwohl die Länge der Balken den Prozentzahlen entspricht, gehört der längste Balken im Diagramm nicht notwendigerweise zu der größten vorkommenden Prozentzahl. Du musst vielmehr den Wert der Prozentzahl auf der Skalierung richtig zuordnen. Die größte Prozentzahl ist $85$ und sie gehört zu den grün leuchtenden Galaxien. Die Länge des zugehörigen Balkens liegt also in der Skalierung auf der Achse zwischen $80$ und $90$. Dies entspricht in diesem Fall also genau dem längsten Balken. Demnach ist der grün zu markierende Balken der längste im Diagramm. Der zweitlängste Balken hat eine Länge, die ein wenig länger als $70$ aber jedoch deutlich kürzer als $80$ ist. Keine der Prozentzahlen passt zu dieser Balkenlänge.

  Nur wenig kürzer als $70$ ist der drittlängste Balken. Die Prozentzahl $67$ für die blau leuchtenden Galaxien passt zu diesem Balken. Die gelb leuchtenden Galaxien haben eine Alien-Wahrscheinlichkeit von $33\%$. Dieser Wert ist der kleinste unter den Prozentangaben. Ihm entspricht auch der kürzeste der Balken. Der Wert für die violett leuchtenden Galaxien liegt bei $43%$. Die Prozentzahl liegt also deutlich unter $50$; dies entspricht dem zweitkürzesten Balken.

• Erschließe die Prozentangaben.

  Tipps

  Die Summe der Prozentangaben in einem Kreisdiagramm beträgt immer $100\%$.

  Die Summe in einem Balken- oder Säulendiagramm kann auch größer oder kleiner als $100\%$ sein.

  Ein halber Kreis entspricht im Kreisdiagramm genau $50\%$.

  Sowohl beim Säulen- als auch beim Balkendiagramm entspricht ein Strich an der Achse $10\%$. In der Mitte der Achse sind somit genau $50\%$.

  Lösung

  Insgesamt liegen hier $3$ verschiedene Diagrammtypen vor: Ein Kreisdiagramm sowie ein Säulen- und ein Balkendiagramm. Die Werte des Säulen- und des Balkendiagramms lassen sich an den Achsen ablesen. Beim Kreisdiagramm hilft es, die Verhältnisse der einzelnen Kreissektoren zueinander zu beachten. Ist ein Sektor des Diagramms beispielsweise größer als ein halber Kreis, dann entspricht dieser Sektor auch mehr als $50\%$. Somit kommen wir zu folgenden Zuordnungen:

  Säulendiagramm:
  

  • Die gelbe Säule ist am größten. Sie liegt zwischen $80$ und $90$ und daher können wir hier Gelb $85\%$ zuordnen.
  • Die violette Säule ist etwas kleiner als die gelbe und liegt genau bei $70$, weshalb wir Violett $70\%$ zuordnen können.
  • Blau ist wieder etwas kleiner als Violett, liegt jedoch noch über $50$ und entspricht somit Blau $60\%$.
  • Übrig bleibt die kleine grüne Säule, die genau bei $25$ liegt. Deshalb können wir dem Säulendiagramm auch Grün $25\%$ zuordnen.

  Balkendiagramm:
  

  • Hier können wir die Skalierung an der unteren Achse ablesen. Am größten ist hier der grüne Balken zwischen $70$ und $80$. Wir können diesem Diagramm also Grün $75\%$ zuordnen.
  • Der blaue Balken liegt exakt bei $50$, weshalb wir Blau $50\%$ zuordnen können.
  • Außerdem können wir ablesen, dass wir Violett $20\%$ zuordnen können.
  • Halb so groß wie der violette Balken ist der gelbe Balken. Deshalb ordnen wir ebenfalls Gelb $10\%$ zu.

  Kreisdiagramm:
  Um zu erkennen, welche Werte zu welchem Diagramm gehören, schauen wir die beiden Kreisdiagramme einmal genauer an. Bei einem Kreisdiagramm entsprechen je zwei Sektoren genau der Hälfte des Kreises. Das sind zum einen Blau und Gelb sowie Violett und Grün. Addiert müssen die Prozentangaben von Blau und Gelb also $50\%$ ergeben. Das gilt auch für die Summe von Violett und Grün. Somit ordnen wir zu:
  

  • Blau $30\%$ und Gelb $20\%$, denn addiert ergibt das $50\%$
  • Dementsprechend können wir hier auch Violett $40\%$ und Grün $10\%$ zuordnen, denn auch das ergibt in der Summe $50\%$ und in Kombination mit den beiden anderen Sektoren haben wir insgesamt $100\%$.

• Zeige die Prozentwerte im Diagramm auf.

  Tipps

  Der kleinste Prozentsatz gehört zu dem kleinsten Winkel.

  Der Prozentsatz $0,2$ gehört zu dem Sektor, der genau ein Fünftel des Vollkreises ausmacht.

  Der größte Anteil ist der der Bruchtanier, nämlich $45\%$. Dieser Anteil gehört zu dem größten der Segmente.

  Lösung

  In einem Kreisdiagramm kannst du Anteile eines gemeinsamen Ganzen darstellen. Die Größe des Anteils am Ganzen wird z. B. in $\%$ angegeben. Im Kreisdiagramm entspricht dann die Größe eines Segments genau diesem Anteil am Ganzen. Daraus ergibt sich insbesondere, dass der größte Anteil dem größten Segment entspricht. Ähnliches gilt für die Anordnung der Anteile: Ist ein Anteil größer als ein anderer, d. h. die Prozentzahl ist größer, so ist auch das zugehörige Segment größer als das andere.

  Die Größe des Winkels eines Segments kannst du aus dem Prozentsatz und dem Vollwinkel $360^\circ$ berechnen: Den Prozentsatz schreibst du als Dezimalbruch und multiplizierst ihn mit $360^\circ$. So erhältst du den entsprechenden Winkel.

  Dem Prozentsatz $20\% = 0,2$ entspricht der Winkel $0,2 \cdot 360^\circ = 72^\circ$. Dies ist genau ein Fünftel des Vollkreises.

  Das dunkelblaue Segment ist bereits vorgegeben; es entspricht dem Anteil von $10\%$ der dunkelblauen Binomier. Die rot-violetten Prozentuide haben ebenfalls einen Anteil von $10\%$ an den Aliens. Ihnen entspricht das kleinste noch verbleibende Segment des Kreises. Die größte Fraktion unter den Aliens bilden die Bruchtanier mit $45\%$. Ihrer gelb-orangenen Farbe entspricht das größte Segment des Kreises.

  Die Segmente der Marsianer und der Zephe-iden sind weniger leicht bestimmbar. Hier musst du genau hinschauen: Die grünen Marsianer machen mit $20\%$ einen etwas größeren Anteil aus, als die hellblauen Zephe-iden mit $15\%$. Der Anteil der Marsianer entspricht genau einem Fünftel, daher ist das Segment genau ein Fünftel des Vollkreises.

• Deute das Diagramm.

  Tipps

  Addiere die Prozentzahlen an jedem einzelnen Messpunkt auf der $x$-Achse.

  Der Anstieg einer Linie entspricht einem Anstieg des jeweiligen Anteils zwischen zwei Messungen.

  Lösung

  Ein Liniendiagramm eignet sich, um die Daten verschiedener Messungen zu vergleichen und die Veränderung der Messdaten darzustellen. Die Prozentangaben zu den einzelnen Messpunkten können sich auf ein gemeinsames Ganzes beziehen (und liegen dann in der Summe jeweils bei höchstens $100\%$) oder auch nicht. Die Prozentangaben zu verschiedenen Messpunkten auf der $x$-Achse beziehen sich in jedem Fall nicht auf ein gemeinsames Ganzes, denn sie gehören zu verschiedenen Messungen. Der Verlauf der Linien zeigt die Veränderung der Prozentangaben im Verlauf der vier Messungen.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Wenn das rote Licht stärker wird, dann nimmt der Anteil an blauem Licht ab.“ Zwischen den ersten drei Messpunkten nimmt der Anteil des roten Lichts ab, der des blauen Lichtes zu. Zwischen dem dritten und vierten Messpunkt nimmt der Anteil des roten Lichtes wieder zu, der des blauen Lichtes wieder ab.

  • „Die Stärke des grünen Lichtes nimmt bei jeder Messung zu.“ Die grüne Linie steigt von link nach rechts stets an, auch wenn die Steigung nicht immer dieselbe ist.

  • „Das Diagramm bezieht sich an jedem Messpunkt auf die Gesamtintensität des beobachteten Lichtes, denn die Summe der Anteile beträgt jeweils $100\%$.“ Die Summe der Prozentzahlen beträgt an jedem Messpunkt $100$. Die Prozentangaben beziehen sich jeweils auf die Intensität des beobachtbaren Lichtes zu einem Zeitpunkt. Die Prozentangaben geben die Anteile einer jeden Farbe an der Gesamtintensität wieder.

  • „Bei der ersten Messung wurde kein blaues Licht beobachtet.“ Die blaue Linie beginnt am ersten Messpunkt auf der $x$-Achse, d. h. bei der Prozentzahl $0$. Das bedeutet, dass der Anteil des blauen Lichtes bei $0\%$ lag.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Der Anteil an rotem Licht wird während des Beobachtungszeitraums immer kleiner.“ Zwischen der dritten und vierten Messung steigt die Stärke des roten Lichtes wieder an.

  • „Die Stärke des blauen Lichtes ist bei der letzten Messung doppelt so groß wie bei der ersten.“ Die Stärke beträgt bei der letzten Messung $20\%$. Ein halb so großer Anteil wäre $10\%$. Doch die Stärke des blauen Lichtes bei der ersten Messung liegt bei $0\%$.

  • „Gelbes Licht macht jeweils mindestens ein Viertel der Gesamtstärke aus.“ Der geringste Anteil gelben Lichtes liegt bei der letzten Messung. Er beträgt dort nur $20\%$. Das ist nur ein Fünftel der Gesamtintensität und daher weniger als ein Viertel.