Streudiagramme

Streudiagramme Übung

• Beschreibe die Verwendung und Interpretation von Streudiagrammen.

  Tipps

  Sind die Punkte in einem Streudiagramm nicht gruppiert, liegt keine Korrelation vor.

  Eine Korrelation ist negativ, wenn eine der beiden Größen sinkt, während die andere steigt. Steigen beide Größen gemeinsam, so ist die Korrelation positiv.

  Lösung

  • In einem kartesischen Koordinatensystem werden Streudiagramme dazu verwendet, zu überprüfen, ob bei der Beziehung zweier Größen zueinander ein Trend vorliegt.

  Hierzu zeichnet man Punkte für verschiedene Werte zweier Größen in ein Koordinatensystem ein und interpretiert anhand der Verteilung dieser Punkte, wie die Größen sich zueinander verhalten.

  • Das Streudiagramm in dieser Aufgabe zeigt die Beziehung zwischen der Bekanntheit des DJs und der Anzahl der Partygäste. Bei einem DJ mit einem Bekanntheitsgrad von $50\,\%$ waren zum Beispiel $200$ Gäste anwesend, bei einem DJ mit dem Bekanntheitsgrad von $80\,\%$ waren es $350$ Gäste.

  Das Wertepaar $(50\vert 200)$ erhältst du, wenn du auf der $x$-Achse bei $50$ eine vertikale Linie nach oben verfolgst und den $y$-Wert für den Punkt, der auf dieser Linie liegt, abliest.

  • Der Graph zeigt also den Trend, dass die Anwesenheit von Gästen je nach Bekanntheit des DJs steigt. Am Graphen siehst du außerdem, dass die Punkte gruppiert sind – dies zeigt eine hohe Korrelation der beiden Größen. Da bei einem Anstieg der einen Größe auch die andere ansteigt, ist die Korrelation hier positiv.

  Sind die Punkte in einem Streudiagramm nicht gruppiert, liegt keine Korrelation vor. Eine Korrelation kann positiv und negativ sein. Sie ist negativ, wenn eine der beiden Größen sinkt, während die andere steigt. Steigen beide Größen gemeinsam, so ist die Korrelation positiv.

• Gib eine Funktion für die Trendgerade des Streudiagramms an und berechne einige fehlende Wertepaare.

  Tipps

  Eine Gerade hat eine Funktionsgleichung der Form $y=mx+b$. Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt, also derjenige $y$-Wert, an dem die Gerade die $y$-Achse schneidet.

  Du kannst die Steigung einer Geraden, die durch die Punkte $(0\vert 0)$ und $(1\vert 6)$ verläuft, wie folgt berechnen:

  • $m=\dfrac {6-0}{1-0}=\dfrac 61=6$

  Kennst du die Gleichung einer Funktion, so kannst du durch Einsetzen eines $x$-Wertes den zugehörigen $y$-Wert bestimmen. Betrachte hierzu die Funktionsgleichung $y=4x+7$. An der Stelle $x=5$ erhältst du folgenden $y$-Wert:

  • $y=4\cdot 5+7=20+7=27$

  Lösung

  Eine Gerade hat eine Funktionsgleichung der Form $y=mx+b$. Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt, also derjenige $y$-Wert, an dem die Gerade die $y$-Achse schneidet.

  Wir können die Steigung einer Geraden, die durch die Punkte $(x_1\vert y_1)$ und $(x_2\vert y_2)$ verläuft, wie folgt berechnen:

  • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Den $y$-Achsenabschnitt $b$ erhalten wir dann, wenn wir ein Wertepaar und die berechnete Steigung $m$ und die Funktionsgleichung einsetzen und nach $b$ umstellen.

  Wir nutzen zunächst die Punkte $(80\vert 350)$ und $(50\vert 200)$ der Trendgerade, um die Steigung zu ermitteln:

  • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{350-200}{80-50}=\dfrac{150}{30}=5$

  Dann nutzen wir eines der Wertepaare, um den $y$-Achsenabschnitt $b$ zu berechnen. Mit $(50\vert 200)$ erhalten wir folgende Gleichung:

  • $200=5\cdot 50+b$

  Nach $b$ umgestellt folgt:

  • $b=-50$

  Damit lautet die Funktionsgleichung für die Trendgerade:

  • $y=5\cdot x-50$

  Kennen wir die Gleichung einer Funktion, können wir durch Einsetzen eines $x$-Wertes den zugehörigen $y$-Wert bestimmen. So erhalten wir für $x=20$ folgenden $y$-Wert:

  • $y=5\cdot 20-50=100-50=50$

• Ordne den Trendgeraden die zugehörigen Streudiagramme zu.

  Tipps

  Eine allgemeine lineare Funktion hat die Form $f(x)=mx+b$. Darin ist $m$ die Steigung der zugehörigen Geraden und $b$ ihr $y$-Achsenabschnitt.

  Wenn du in Gedanken (oder auf einem Blatt Papier) eine Trendgerade zeichnest, die zu dem jeweiligen Streudiagramm passt, dann kannst du dir zwei beliebige Punkte auf dieser Geraden aussuchen, um ihre Steigung und ihren $y$-Achsenabschnitt zu berechnen. So wirst du vermutlich nicht die exakte Lösung erhalten, allerdings sollte deine Geradengleichung dann einer der hier möglichen Lösungen recht ähnlich sein.

  Lösung

  Die Koordinaten eines Punktes im kartesischen Koordinatensystem kannst du wie folgt ablesen:

  • $x$-Wert an der Horizontalachse
  • $y$-Wert an der Vertikalachse

  Um (näherungsweise) die Trendgeraden für die einzelnen Streudiagramme zu erhalten, kannst du folgendermaßen vorgehen: Du suchst dir einen Punkt $(x_1|y_1)$ am linken Ende und einen Punkt $(x_2|y_2)$ am rechten Ende des Streudiagramms aus. Durch diese beiden Punkte kannst du dann – in Gedanken oder auf einem Blatt Papier – eine Gerade zeichnen. Die Steigung dieser Geraden $m$ kannst du dann berechnen mithilfe der Formel:

  $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Den $y$-Achsenabschnitt $b$, also die Höhe, bei der die Gerade die $y$-Achse schneidet, erhältst du dann mit der Formel:

  $b=y_1-mx_1$ (oder genauso gut mit $b=y_2-mx_2$)

  Probieren wir ein solches Vorgehen einmal für das Streudiagramm oben links aus. Wählen wir den Punkt ganz links, also $(1|500)$, und den Punkt ganz rechts, also $(5|250)$, ergibt sich durch die obigen Formeln folgende Funktion:

  $f(x)=-62,5x + 562,5$

  Zeichnen wir diese Gerade in das Streudiagramm ein, sehen wir aber, dass die Gerade etwas steiler nach unten verlaufen könnte, um die Lagen aller Punkte besser zu repräsentieren. Denken wir uns den zusätzlichen Punkt $(5|200)$ in das Diagramm und wählen ihn anstatt $(5|250)$ als rechten Punkt, so erhalten wir stattdessen folgende Gerade, die wir dem Streudiagramm nun zuordnen können:

  $f(x)=-75x+575$

  Es sollte nicht verschwiegen werden, dass dieses Verfahren eher ungenau und etwas willkürlich ist. Es gibt deshalb sehr viel genauere mathematische Methoden, um Trendgeraden in Streudiagrammen zu berechnen. Sie sind allerdings deutlich komplizierter und erfordern einen riesigen Rechenaufwand, weswegen sie auch meistens von Computern übernommen werden. Daher wollen wir uns hier mit diesem Näherungsverfahren begnügen.

  Nach dem gleichen Schema ordnen wir jetzt auch den restlichen Streudiagrammen Trendgeraden zu:

  • Das Streudiagramm oben rechts erhält die Funktion $f(x)=70x+150$.
  • Das Streudiagramm unten links passt zur Funktion $f(x)=-24x+370$.
  • Das Streudiagramm unten rechts erhält die Funktion $f(x)=100x-50$.

• Ermittle mithilfe der Funktionsgleichung der Trendgeraden weitere Punkte, die auf der Trendgeraden liegen.

  Tipps

  Du kannst mittels zweier Punkte $P_1(x_1\vert y_1)$ und $P_2(x_2\vert y_2)$ einer Geraden deren Steigung wie folgt bestimmen:

  • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Es ist wichtig, dass du dabei die Anordnung der Koordinaten beibehältst. Das heißt, wenn du von der $y$-Koordinate des zweiten Punktes die $y$-Koordinate des ersten Punktes abziehst, musst du es genauso auch mit den $x$-Koordinaten machen.

  Hast du die Steigung $m$ berechnet, brauchst du noch den $y$-Achsenabschnitt $b$, um die Funktionsgleichung $y=mx+b$ aufzustellen.

  $b$ erhältst du, indem du in die Gleichung $y=mx+b$ den Wert für die Steigung $m$ sowie einen bekannten Punkt $P$ der Geraden einsetzt und nach $b$ umstellst.

  Lösung

  Wir können mittels zweier Punkte $P_1(x_1\vert y_1)$ und $P_2(x_2\vert y_2)$ einer Geraden deren Steigung wie folgt bestimmen:

  • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Es ist wichtig, dass wir dabei die Anordnung der Koordinaten beibehalten. Das heißt, wenn wir von der $y$-Koordinate des zweiten Punktes die $y$-Koordinate des ersten Punktes abziehen, müssen wir es genauso auch mit den $x$-Koordinaten machen. Wir verwenden die Punkte $(15 \vert 6)$ und $(35 \vert 16)$ der Geraden, um deren Steigung zu berechnen und erhalten:

  • $m=\dfrac {16-6}{35-15}=\dfrac{10}{20}=\dfrac 12=0,5$

  Wenn wir die Steigung $m$ kennen, müssen wir noch den $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnen, um die Funktionsgleichung $y=mx+b$ aufzustellen. $b$ erhalten wir, indem wir in die Gleichung $y=mx+b$ den Wert für die Steigung $m$ sowie einen der bekannten Punkte der Geraden einsetzen und nach $b$ umstellen. Wir verwenden den Punkt $(15\vert 6)$ und erhalten:

  $\begin{array}{lllll} & 6 &=& 0,5\cdot 15+b & \\ & 6 &=& 7,5+b & \vert -7,5 \\ & -1,5 &=& b & \end{array}$

  Die Funktionsgleichung für die Trendgerade lautet also:

  $~y=0,5x-1,5$

  Mit dieser berechnen wir nun die jeweiligen Punkte:

  • $y=0,5\cdot 10-1,5=5-1,5=3,5\quad\rightarrow\quad (10\vert 3,5)$

  • $y=0,5\cdot 25-1,5=12,5-1,5=11\quad\rightarrow\quad (25\vert 11)$

  • $y=0,5\cdot 30-1,5=15-1,5=13,5\quad\rightarrow\quad (30\vert 13,5)$

  • $y=0,5\cdot 45-1,5=22,5-1,5=21\quad\rightarrow\quad (45\vert 21)$

  • $y=0,5\cdot 50-1,5=25-1,5=23,5\quad\rightarrow\quad (50\vert 23,5)$

• Gib die Art der Korrelation in den Streudiagrammen an.

  Tipps

  Eine Korrelation der Daten liegt vor, wenn diese im Streudiagramm gruppiert sind.

  Wenn sich durch Änderung der einen Größe keine Änderung der anderen Größe beobachten lässt, so hat die eine Größe keinen Einfluss auf die andere Größe. Somit liegt auch in diesem Fall keine Korrelation vor.

  Kann man durch die Daten eine Trendgerade mit positiver Steigung legen, ist auch die Korrelation positiv.

  Lösung

  Eine Korrelation der Daten liegt vor, wenn diese im Streudiagramm gruppiert sind. Ist das nicht der Fall, kann in dem Streudiagramm keine Korrelation festgestellt werden.

  Kann man durch die Daten, die eine hohe Korrelation aufweisen, eine Trendgerade mit positiver Steigung legen, so ist auch die Korrelation positiv. Eine fallende Trendgerade spiegelt eine negative Korrelation wider.

  Wenn sich durch Änderung der einen Größe keine Änderung der anderen Größe beobachten lässt, dann hat die eine Größe keinen Einfluss auf die andere Größe. Auch dann liegt keine Korrelation vor.

  Mit diesen Erklärungen können wir folgende Feststellungen notieren:

  1. Streudiagramm

  Die Gruppierung der Daten weist auf eine hohe Korrelation hin. Das Streudiagramm zeigt eine positive Korrelation, da durch Steigerung der einen Größe eine Steigerung der anderen Größe verursacht wird.

  2. Streudiagramm

  Auch hier ist eine hohe Korrelation zu beobachten. Das Streudiagramm zeigt diesmal eine negative Korrelation, da durch Steigerung der einen Größe eine Minderung der anderen Größe verursacht wird.

  3. Streudiagramm

  Hier sind die Daten wild verstreut. Wir haben somit keine Gruppierung der Daten und damit auch keine Korrelation.

  4. Streudiagramm

  Die Änderung des $x$-Wertes bewirkt keine Veränderung des $y$-Wertes. Somit haben wir hier keine Korrelation der beiden Größen.

• Prüfe die Aussage auf ihre Richtigkeit.

  Tipps

  Werden die Achsen vertauscht, werden die einzelnen Punkte an der Geraden $y=x$ gespiegelt. Diese Gerade verläuft durch den Ursprung und hat die Steigung $m=1$.

  Wann und wie viel es an einem Tag regnet, kann von Tag zu Tag ganz unterschiedlich sein.

  Eine Größe hängt nicht unbedingt immer von einer anderen Größe ab.

  Je schneller ein Fahrzeug fährt, desto länger ist bei einer Vollbremsung der Bremsweg.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Stellt man in einem Streudiagramm die Beziehung der Größen „Ausgangsgeschwindigkeit“ und den daraus resultierenden „Bremsweg“ bei einer Vollbremsung dar, so erhält man eine positive Korrelation.

  Je schneller ein Fahrzeug fährt, desto länger ist bei einer Vollbremsung der Bremsweg. Das bedeutet, dass beide Größen gemeinsam steigen. Somit liegt hier eine positive Korrelation vor. Zudem würde man, wenn man den Bremsweg für genügend Geschwindigkeiten misst, eine Gruppierung der Daten im Streudiagramm beobachten, was stark auf eine Korrelation hinweist.

  • Um ein Streudiagramm zeichnen zu können, benötigt man eine Reihe von Messpaaren $x$ und $y$.

  Es genügt nicht, eine Größe zu messen, um ein Streudiagramm zu erstellen. Ein Streudiagramm ist nämlich die grafische Darstellung von Wertepaaren in einem kartesischen Koordinatensystem. Also musst du immer zwei Größen messen.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Vertauscht man die Achsen eines Streudiagramms mit positiver Korrelation, so erhält man ein Streudiagramm mit negativer Korrelation.

  Solange die Achsen weiterhin gleich skaliert sind, ändert sich durch das Vertauschen der Achsen die Art der Korrelation zweier Größen nicht.

  • Vertauscht man die Achsen eines Streudiagramms, dessen Daten in keiner Korrelation stehen, erhält man ein Streudiagramm mit hoher Korrelation.

  Auch durch das Vertauschen der Achsen erhält man für Daten, die in keiner Korrelation stehen, kein Streudiagramm mit hoher Korrelation.

  • Würde man auf der $x$-Achse eines Streudiagramms die „Tageszeit“ und auf der $y$-Achse die „Niederschlagsmenge an einem Ort“ auftragen, so würde man für jeden Tag eine negative Korrelation erhalten.