Signifikanztests – Anwendung für Normalverteilung

Signifikanztests – Anwendung für Normalverteilung Übung

• Vervollständige die Angaben zum Signifikanztest.

  Tipps

  Der existierende Marktanteil aus dem Vorjahr wird als Nullhypothese verwendet.

  Der Umfang einer Stichprobe ist die Anzahl der getesteten Objekte, befragten Personen, beobachteten Ereignisse,...

  Lösung

  Bevor man das Signifikanzniveau ermitteln kann, muss man die gegebenen Größen des Tests kennen und benennen.

  Dazu wird immer eine Nullhypothese und eine Alternativhypothese aufgestellt, die beide nicht zur selben Zeit gültig sein können.

  In diesem Beispiel würde die Nullhypothese bedeuten, dass der Marktanteil gleich geblieben ist:

  $H_0:p=0,2$

  Die Alternativhypothese hingegen besagt, dass der Marktanteil gesunken ist, also unter dem alten liegt:

  $H_1:p<0,2$

  Der Umfang der Stichprobe ist $n=1000$ - nämlich die Anzahl der befragten Personen.

  Die kritische Zahl $k$ hat der Hersteller mit $k=180$ selbst benannt. Sie ist die obere Grenze des Verwerfungsbereichs von $H_0$. Somit liegt dieser zwischen einschließlich $0$ und $180$.

  Die Wahrscheinlichkeit fälschlicherweise trotzdem ein Ergebnis aus diesem Bereich zu erhalten, also $H_0$ zu verwerfen, obwohl diese Hypothese stimmt, ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art. Das nennt man auch das Signifikanzniveau $\alpha$ des Signifikanztests.

• Berechne das Signifikanzniveau des Signifikanztests.

  Tipps

  Der Erwartungswert wird so berechnet:

  $\large{\mu=n \cdot p}$

  Die Standardabweichung wird so berechnet:

  $\large{\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}$

  Man kann den Wert für $\alpha$ durch eine Annäherungsfunktion bestimmen:

  $\large{\alpha\approx \Phi(z)}$ mit $\large{z=\frac{k - \mu + 0,5}{\sigma}}$

  Für negative $z$ gilt:

  $\large{\Phi(z)=1-\Phi(-z)}$

  Lösung

  Gehen wir die Rechenschritte der Reihe nach durch.

  Zuerst berechnen wir die Standardabweichung, um zu prüfen, ob die Laplace-Bedingung erfüllt ist. Denn um die Normalverteilung verwenden zu dürfen, muss gelten $\sigma > 3$.

  $\begin{align} \sigma &=\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)} \\ &=\sqrt{1000 \cdot 0,2 \cdot 0,8} \\ &=\sqrt{160} \\ & \approx 12,65 > 3 \end{align}$

  Die Bedingung ist erfüllt, wir können weiter rechnen.

  Als nächstes benötigen wir den Erwartungswert.

  $\begin{align} \mu &=n\cdot p \\ &=1000 \cdot 0,2 \\ &=200 \end{align}$

  Nun können wir das $z$ für die Annäherungsfunktion bestimmen.

  $\begin{align} z &=\frac{k - \mu + 0,5}{\sigma} \\ &=\frac{180 - 200 + 0,5}{12,65} \\ & \approx -1,54 \end{align}$

  Nun können wir mit Hilfe der Annäherungsfunktion $\Phi(z)$ und der Normalverteilung den Wert für das Signifikanzniveau ermitteln. Wir entnehmen den Wert einer Wahrscheinlichkeitstabelle der Normalverteilung.

  $\begin{align} \alpha &= \Phi(z) \\ &= \Phi(-1,54) \\ &= 1 - \Phi(1,54) \\ & \approx 1 - 0,9382 \\ & = 0,0618\end{align}$

  Damit ist der Wert für das gesuchte $\alpha=6,18~\%$.

• Bestimme die Größen und entscheide, ob die Laplace-Bedingung erfüllt ist.

  Tipps

  Der Umfang einer Stichprobe ist die Anzahl der getesteten Objekte, befragten Personen, beobachteten Ereignisse,..

  Der Erwartungswert wird so berechnet:

  $\mu=n \cdot p$

  Die Standardabweichung wird so berechnet:

  $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

  Die Laplace-Bedingung lautet $\sigma > 3$.

  Lösung

  Bei Signifikanztests wählt man als Nullhypothese immer den Wert, der feststeht. Die Alternativhypothese ist dann immer ein davon nach oben oder unten abweichender Wert.

  Daher gilt:

  • $H_0:p=0,15$ (da $200 : 30 = 0,15$) und

  • $H_1:p<0,15$ (da geprüft werden soll, ob die Rate gesunken ist)

  Der Umfang der Stichprobe ist die Anzahl der Befragten, also $n=1500$.

  Nun ermitteln wir den Erwartungswert:

  $\mu = n\cdot p = 1500 \cdot 0,15 = 225$

  Als Nächstes die Standardabweichung:

  $\begin{align} \sigma &= \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\ &=\sqrt{1500 \cdot 0,15 \cdot 0,85} \\ &=\sqrt{191,25} \\ & \approx 13,83 \end{align}$

  Damit ist auch die Laplace-Bedingung ($\sigma > 3$) erfüllt.

• Ermittle das Signifikanzniveau.

  Tipps

  Man kann den Wert für $\alpha$ durch eine Annäherungsfunktion bestimmen:

  $\alpha\approx \Phi(z)$ mit $z=\frac{k - \mu + 0,5}{\sigma}$

  Für negative $z$ gilt:

  $\Phi(z)=1-\Phi(-z)$

  Zur Kontrolle: $\mu = 225$ und $\sigma = 13,83$

  Zur Kontrolle: Hier ist $z=-1,77$. Schau dir eine Wahrscheinlichkeitstabelle für die Normalverteilung an.

  Lösung

  Sammeln wir zuerst alle bekannten Werte.

  Aus der vorherigen Aufgabe wissen wir:

  $\mu = n\cdot p = 1500 \cdot 0,15 = 225$

  und

  $\begin{align} \sigma &= \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\ &=\sqrt{1500 \cdot 0,15 \cdot 0,85} \\ &=\sqrt{191,25} \\ &\approx 13,83 \end{align}$

  Die kritische Zahl $k$ und somit die Obergrenze für den Ablehnungsbereich von $H_0$ liegt bei $k=200$.

  Nun können wir den Wert für $z$ berechnen:

  $\begin{align} z &=\frac{k - \mu + 0,5}{\sigma} \\ &=\frac{200 - 225 + 0,5}{13,83} \\ &\approx -1,77 \end{align}$

  Nun können wir mit Hilfe der Annäherungsfunktion $\Phi(z)$ und der Normalverteilung den Wert für das Signifikanzniveau ermitteln:

  $\begin{align} \alpha &= \Phi(z) \\ &= \Phi(-1,77) \\ &= 1 - \Phi(1,77) \\ &\approx 1 - 0,9616 \\ &\approx 0,0384 \end{align}$

  Damit ist der Wert für das gesuchte gefunden $\alpha=3,84~\%$.

• Gib die Laplace-Bedingung wieder.

  Tipps

  Die Laplace-Bedingung hat etwas mit dem Wert der Standardabweichung zu tun.

  Lösung

  Die Laplace-Bedingung ist an den Wert der Standardabweichung geknüpft, da es hier um die Normalverteilung (Streuung) der möglichen Ergebnisse geht.

  Dafür wurde festgelegt, dass man nur mit einer Normalverteilungstabelle für $\Phi(z)$ arbeiten darf, wenn $\sigma > 3$ ist.

  Das Ergebnis der Rechnung

  $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

  muss also größer sein als $3$.

• Gib die kritische Zahl $k$ für den Signifikanztest an.

  Tipps

  Man kann den Wert für $\alpha$ durch eine Annäherungsfunktion bestimmen:

  $\alpha\approx \Phi(z)$ mit $z=\frac{k - \mu + 0,5}{\sigma}$

  Der Erwartungswert wird so berechnet:

  $\mu=n \cdot p$

  Die Standardabweichung wird so berechnet:

  $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

  Gesucht ist das $z$, bei dem gilt: $\Phi(z) \le 0,05$. Nimm an, dass $z$ negativ ist. Es gilt dann $\Phi(-z)=1-\Phi(z) \le 0,05$. Stelle diese Gleichung nach $\Phi(z)$ um.

  Nutze diesen Auszug aus der Tabelle zur Normalverteilung.Gesucht ist $\Phi(z) \ge 0,95$.

  Lösung

  Bei dieser Aufgabe muss man rückwärts rechnen und auch ein wenig rückwärts denken, um auf das richtige Ergebnis zu kommen.

  Berechnen wir zunächst den neuen Erwartungswert:

  $\mu = n\cdot p = 1000 \cdot 0,15 = 150$

  Als Nächstes die Standardabweichung:

  $\begin{align} \sigma &= \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\ &=\sqrt{1000 \cdot 0,15 \cdot 0,85} \\ &=\sqrt{127,5} \\ & \approx 11,29 \end{align}$

  Die Laplace-Bedingung ist erfüllt, wir dürfen für alles weitere eine Tabelle der Normalverteilung verwenden.

  Nun müssen wir zunächst ein $z$ finden, für das gilt:

  $\Phi(z) \le 0,05$, da das Signifikanzniveau nicht größer sein soll als $5~\%$.

  Gehen wir davon aus, dass unser gesuchtes $z$, wie auch in den Beispielen davor, negativ ist, können wir rechnen:

  $\begin{align} \Phi(-z)=1 - \Phi(z) &\le 0,05 \\ \Phi(z) &\ge 0,95 \end{align}$

  Wir schauen in einer Tabelle für die Normalverteilung nach dem ersten $z$, bei dem $\Phi(z)$ über $95~\%$ liegt (Bild). Setzen wir für $z=1,65$ ein, erhalten wir $0,9505$, liegen damit also knapp über dem Mindestwert aus der Ungleichung.

  Somit haben wir jetzt auch unser $z$ mit $z=-1,65$ gefunden.

  Betrachten wir nun die Gleichung, die eigentlich für die Berechnung von $z$ gedacht ist. Wir stellen sie nach $k$ um und runden ab:

  $\begin{align} \frac{k - \mu + 0,5}{\sigma} &= z \\ k &= z \cdot \sigma + \mu - 0,5 \\ k &= -1,65 \cdot 11,29 + 150 - 0,5 \\ k &=130,8715 \\ &\approx 130 \end{align}$

  Da wir in jedem Fall abrunden sollen, ist unser gesuchtes $k=130$.