Zweiseitige Hypothesentests

Zweiseitige Hypothesentests Übung

• Vervollständige den zweiseitigen Signifikanztest.

  Tipps

  Beim zweiseitigen Signifikanztest kann die Wahrscheinlichkeit der Alternativhypothese größer oder kleiner als die der Nullhypothese sein.

  Somit gibt es nicht eine feste kritische Zahl wie beim einseitigen Test, sondern zwei Grenzen innerhalb derer der Annahmebereich von $H_0$ liegt.

  Lösung

  Man möchte mit dem zweiseitigen Signifikanztest überprüfen, ob die Wahrscheinlichkeit, die man als Nullhypothese für ein bestimmtes Ereignis aufgestellt hat, der Wahrheit entspricht oder ob sie kleiner oder sogar größer ist.

  Damit sucht man nicht mehr nur nach einer oberen bzw. unteren Grenze, sondern nach allen von der Nullhypothese abweichenden Wahrscheinlichkeiten.

  Dabei sind die Hypothesen mit ihren Wahrscheinlichkeiten vorgegeben:

  • $H_0:p=p_0$

  • $H_1:p\ne p_0$

  Auch das Signifikanzniveau $\alpha$ ist oft vorgegeben.

  Jetzt geht es darum, Annahme- sowie Ablehnungsbereich von $H_0$ zu finden, dazu gibt es eine untere und eine obere Grenze des Annahmebereiches.

  Diese Grenzen sind $k_1$ und $k_2$. Wenn das Ergebnis also im Ablehnungsbereich von $H_0$ liegt, gilt für die Prüfgröße:

  $X\le k_1$ bzw. $X\ge k_2$

• Bestimme den Annahmebereich von $H_0$.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeiten beider Grenzen dürfen $5~\%$ nicht überschreiten, daher wählt man für jede Grenze bei der Berechnung $\frac{\alpha}{2}$.

  $P(X\le k_1) \le 2,5~\%$

  $P(X\le k_2)\ge 97,5~\%$

  Wenn $X$ binomialverteilt ist mit $n=60$ und $p=\frac16$, dann gelten die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

  • $P(X \le 4) \approx 0,0202$
  • $P(X \le 5) \approx 0,0512$
  • $P(X \le 15) \approx 0,9658$
  • $P(X \le 16) \approx 0,9836$

  Lösung

  Beginnen wir mit dieser Rechnung, indem wir $\alpha$ halbieren, da die Einzelwahrscheinlichkeiten der Grenzen in Summe das Signifikanzniveau nicht überschreiten dürfen.

  $\frac{\alpha}{2}=\frac{5~\%}{2}=2,5~\%=0,025$

  Nun suchen wir zuerst $k_1$. Da sich Signifikanzniveau und die $k$ nach dem Fehler erster Art richten, also der Wahrscheinlichkeit dafür, fälschlicherweise ein Ergebnis aus dem Verwerfungsbereich von $H_0$ zu erhalten, muss $k_1$ so aussehen:

  $P(X \le k_1) \le 0,025$

  Gesucht ist also die Untergrenze, für die die Summe der unteren Teile der möglichen Prüfgrößen $X$ die $2,5~\%$ nicht überschreitet.

  In einer kumulierten Wahrscheinlichkeitstabelle kannst du nachsehen, dass dies für $k_1=4$ der Fall ist, denn $P(X \le 4)=0,0202$, also gerade noch unter dem maximal erlaubten Wert.

  Nun bestimmen wir $k_2$, hierfür gilt

  $P(X\ge k_2)\le 0,025$

  Das können wir folgendermaßen umformen:

  $\begin{align} 1-P(X\le k_2-1) &\le 0,025 \\ P(X\le k_2-1) &\ge 0,975 \\ P(X \le 16) &=0,9836 \end{align}$

  Für $k=16$ ist diese Ungleichung also erfüllt. Also muss $k_2-1=16$ sein. Damit erhalten wir $k_2=17$.

  Nun können wir den Annahmebereich bestimmen. Er muss größer als $k_1$ und kleiner als $k_2$ sein.

  Damit gilt:

  $k_1 < X < k_2$ also $4 < X < 17$ also $5 \le X \le 16$

• Stelle die Hypothesen auf und benenne die Größen des Tests.

  Tipps

  Die Nullhypothese ist eine feste, die Alternativhypothese eine davon abweichende Wahrscheinlichkeit.

  Das Signifikanzniveau $\alpha$ ist die gesamte Irrtumswahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art.

  Der Umfang eines Versuchs $n$ ist die Anzahl der Durchläufe im Test.

  Lösung

  Für das Beispiel mit dem Jäger ist als Nullhypothese die zu überprüfende Trefferquote zu wählen. Sie ist eine feste Größe, die es zu beweisen oder verwerfen gilt.

  Die Alternativhypothese ist eine davon abweichende Wahrscheinlichkeit, sie kann größer oder kleiner als die der Nullhypothese sein.

  Es gilt:

  • $H_0:p_0=0,8$

  • $H_1:p_1\ne 0,8$

  Der Umfang ist die Anzahl der abgefeuerten Testschüsse $n=50$.

  Das Signifikanzniveau, das nicht überschritten werden darf, liegt bei $\alpha=10~\%$ und ist die Gesamtheit der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art.

• Ermittle den Annahme- und Verwerfungsbereich von $H_0$.

  Tipps

  Du musst mit einer kumulierten Wahrscheinlichkeitstabelle mit den Parametern $n=50$ und $p=0,8$ arbeiten.

  Der Annahmebereich setzt sich zusammen aus:

  $P(X\le k_1) \le 0,05$ und

  $P(X\ge k_2-1) \ge 0,95$

  Hier siehst du einen Auszug aus einer kumulierten Binomialverteilung für $n=50$ und $p=0,8$.

  Hier siehst du einen Auszug aus einer kumulierten Binomialverteilung für $n=50$ und $p=0,8$.

  Lösung

  Wenn das Signifikanzniveau bei $10~\%$ liegt, darf die Wahrscheinlichkeit für jeweils einen der zwei Verwerfungsbereiche nicht größer sein, als die Hälfte:

  $\frac{\alpha}{2}=0,05$

  Nun benötigen wir eine Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeit mit den Parametern $n=50$ und $p=0,8$, um die Grenzen $k_1$ und $k_2$ zu ermitteln (s. Bild).

  Fangen wir mit dem ersten $k_1$ an.

  $P(X\le k_1) \le 0,05$

  In der Tabelle sehen wir, dass für $k=34$ die Wahrscheinlichkeit $3,8~\%$ beträgt, also gerade so unter den $5~\%$ liegt. Damit ist unser $k_1=34$

  Bei $k_2$ ist das etwas schwieriger. Denn wir suchen:

  $P(X\ge k_2)$

  Das berechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Dazu ziehen wir von $k_2$ noch eins ab, da ja alles unter diesem Wert herausgerechnet werden soll.

  $\begin{align} 1-P(X\le k_2-1) &\le 0,05 \\ P(X \le k_2 - 1) &\ge 0,95 \\ P(X \le 44) &=0,952 \end{align}$

  Also wenn $k_2-1=44$ ist, dann ist $k_2=45$.

  Unser Annahmebereich von $H_0$ liegt innerhalb dieser Grenzen. Mit $k_1 < X < k_2$ erhalten wir also den Annahmebereich

  $34 < X < 45$ bzw. $35 \le X \le 44$.

  Der Verwerfungsbereich liegt nun jeweils darunter bzw. darüber.

  $0 \le X \le 34$ und $45\le X \le 50$

• Bestimme die Größen des zweiseitigen Signifikanztests.

  Tipps

  Beim zweiseitigen Signifikanztest kann die Wahrscheinlichkeit der Alternativhypothese größer oder kleiner als die der Nullhypothese sein.

  Somit gibt es nicht eine feste kritische Zahl wie beim einseitigen Test, sondern zwei Grenzen innerhalb derer der Annahmebereich von $H_0$ liegt.

  Lösung

  In diesem Beispiel mit dem Würfel sind die wichtigen Größen bereits vorgegeben. Da man den Würfel zum Test $60$-mal werfen möchte, ist der Umfang $n=60$.

  Die Nullhypothese ist hier die gängige Wahrscheinlichkeit eine sechs zu Würfeln. Diese liegt bei einem nicht gezinkten Würfel, wie für alle anderen Zahlen, bei $p=\frac{1}{6}$.

  Damit ist die Wahrscheinlichkeit der Alternativhypothese größer oder kleiner, also gilt $H_1:p\ne \frac{1}{6}$.

  Das Signifikanzniveau soll die genannten $5~\%$ nicht überschreiten, man kürzt es mit einem $\alpha$ ab, da es die maximale Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art beschreibt.

  Nun werden mit Hilfe dieser Größen der Annahme- und Ablehnungsbereich von $H_0$ gesucht. Kann man $H_0$ bestätigen, ist es ein fairer Würfel. Wird $H_0$ verworfen, ist er gezinkt.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis aus dem Annahmebereich von $H_0$ zu erhalten.

  Tipps

  Es gilt $P(a \le X \le b)=P(X \le b)-P(X \le a-1)$.

  Arbeite mit dieser kumulierten Tabelle für $n=50$ und $p=0,8$.

  Arbeite mit einer kumulierten Tabelle für $n=100$ und $p=0,8$ und lies hier die Werte ab.

  Lösung

  Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, eine Prüfgröße $X$ innerhalb des Annahmebereichs von $H_0$ zu erhalten, brauchen wir alle möglichen Ergebnisse innerhalb des Annahmebereichs.

  Der Annahmebereich ist $35 \le X \le 44$

  Mit Hilfe einer kumulierten Wahrscheinlichkeitstabelle (Bild) erhalten wir die Gesamtwahrscheinlichkeit bei fünfzig Schüssen so:

  $\begin{align} P(35 \le X \le 44) &=P(X\le 44) - P(X\le 34) \\ &\approx 0,9520 - 0,0310 \\ &=0,9210 \\ &=92,10~\% \end{align}$

  Man erhält beim ursprünglichen Test also zu $92,10~\%$ ein Ergebnis, das im Annahmebereich von $H_0$ liegt. Doch wie ist es, wenn wir die Schusszahl verdoppeln?

  Dazu brauchen wir jetzt eine Tabelle mit $n=100$.

  $\begin{align} P(35 \le X \le 44) &=P(X\le 44) - P(X\le 34) \\ &\approx0,0000 - 0,0000 \\ &=x 0~\% \end{align}$

  Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im Annahmebereich ist rapide gesunken (fast gegen Null, nie genau Null), die für ein Ergebnis im Verwerfungsbereich hingegen stark angestiegen. Das liegt daran, dass die Bereiche nicht an den größeren Umfang des Versuches angepasst wurden.

  Verändert man also die Grenzen $k_1$ und $k_2$ bei einem anderen Versuchsumfang nicht, steigt die Gefahr eines Fehlers erster Art sehr stark an. Er kann bei größeren Veränderungen der Stichprobe fast unvermeidbar werden, wenn man die Bereiche nicht anpasst.