Sinussatz – Erklärung und Herleitung

Sinussatz – Definition

Der Sinussatz ist eine Formel, welche zur Berechnung von Seitenlängen und Winkeln in Dreiecken verwendet werden kann.

In der folgenden Abbildung siehst du ein allgemeines Dreieck mit Beschriftungen der Seiten und Winkel. Anhand eines solchen Dreiecks wollen wir nun den konkreten Nutzen von Sinussatz und Cosinussatz erörtern.

Sinussatz – Formel

Der Sinussatz lautet in seiner allgemeinen Form folgendermaßen:

Der Sinussatz kann auch mit den jeweiligen Kehrwerten formuliert werden:

$\large{\dfrac{\sin(\alpha)}a=\dfrac{\sin(\beta)}b=\dfrac{\sin(\gamma)}c}$

Das bedeutet: Wenn du in einem allgemeinen Dreieck von je zwei Winkeln und den entsprechend gegenüberliegenden Seiten drei Größen kennst, kannst du die fehlende vierte Größe berechnen.

Sinussatz – Beispiel

Als Beispiel kannst du den Kongruenzsatz „WSW“ betrachten. Dieser besagt, dass zwei Dreiecke kongruent (deckungsgleich) sind, wenn sie in der Länge einer Seite sowie den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen. Nehmen wir an, folgende Größen sind gegeben:

• die Winkel $\alpha=40^\circ$ und $\beta=60^\circ$
• die Seite $c=6$

Hier können wir nun die fehlenden Seitenlängen berechnen. Um allerdings den Sinussatz anwenden zu können, musst du zunächst den dritten Winkel $\gamma$ berechnen. Hierfür verwendest du den Winkelsummensatz für Dreiecke, nach dem die Summe der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks stetsd $180^\circ$ beträgt. Somit ist $40^\circ+60^\circ+\gamma=180^\circ$. Nun kannst du $100^\circ$ subtrahieren und erhältst $\gamma=80^\circ$.

Es gilt also mit den nun bekannten Größen:

$\large{\dfrac{a}{\sin(40^\circ)}=\dfrac{6}{\sin(80^\circ)}}$

Du siehst, es ist in dieser Gleichung nur eine Größe unbekannt, nämlich $a$. Multiplikation mit $\sin(40^\circ)$ führt zu

$a=\dfrac6{\sin(80^\circ)}\cdot \sin(40^\circ)\approx 3{,}9$

Ebenso kannst du die Länge der Seite $b$ berechnen, wenn du statt $\alpha$ den Winkel $\beta=60^\circ$ einsetzt:

$b=\dfrac6{\sin(80^\circ)}\cdot \sin(60^\circ)\approx 5{,}3$

Beachte, dass wir hier die Längeneinheiten der Seitenlängen (in der Regel $\text{cm}$) weggelassen haben, um leichter rechnen zu können.

Cosinussatz – Definition

Neben dem Sinussatz gibt es auch noch den Cosinussatz:

Du kannst dir den Cosinussatz wie folgt merken:

• Auf der linken Seite steht jeweils das Quadrat einer Seite.
• Auf der rechten Seite kommt der Cosinus des Winkels vor, der dieser Seite gegenüberliegt.
• Auf der rechten Seite werden die beiden übrigen Seiten quadriert und die Quadrate addiert. Kommt dir das bekannt vor?
• Von dieser Summe wird das doppelte Produkt der beiden Seiten und dem Cosinus des gegenüber liegenden Winkels abgezogen.

Wenn Seiten quadriert und addiert werden, erinnert dich das sicher an den Satz des Pythagoras. Dieser ist ein besonderer Fall des Cosinussatzes.

Sei zum Beispiel $\gamma=90^\circ$, dann ist $\cos(\gamma)=\cos(90^\circ)=0$. Damit gilt mit der unteren der drei blau markierten Gleichungen:

$c^2=a^2+b^2$

Dies ist gerade der Satz des Pythagoras mit $\gamma=90^\circ$ und der Hypotenuse $c$.

Cosinussatz – Formel

Bei allgemeinen, nicht-rechtwinkligen Dreiecken gelten jedoch die drei allgemeinen Formulierungen des Cosinussatzes:

Ein Anwendungsbeispiel für den Cosinussatz wollen wir im Folgenden einmal durchrechnen.

Cosinussatz – Beispiel

Unter Anwendung des Cosinussatzes kannst du zum Beispiel bei dem Kongruenzsatz „SWS“ die Länge der fehlenden Seite berechnen. Dieser Kongruenzsatz besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn sie in zwei Seitenlängen sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Nehmen wir an, folgende Größen sind gegeben:

• $a=5$ und $b=7$
• $\gamma=35^\circ$

Zunächst überlegst du dir, welche Größen bekannt sind und welche der drei möglichen Gleichungen du verwendest. In diesem Fall kannst du die dritte Formulierung des Cosinussatzes verwenden, da nach der Länge der Seite $c$ gefragt ist. In diese Gleichung setzt du die bekannten Größen ein:

$c^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cdot \cos(35^\circ)\approx 16{,}66$

Zuletzt ziehst du die Wurzel und erhältst $c\approx 4{,}1$.

Beachte, dass wir auch hier wieder der Einfachheit halber auf Längeneinheiten verzichtet haben.

Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz

Leuchtturmwärter Piet kümmert sich um drei Leuchttürme an den Orten Alter Anleger, Blaue Bucht und Cap Capri. Er befindet sich am Alten Anleger und bemerkt, dass gerade der Leuchtturm auf Cap Capri ausgefallen ist. Piet muss schnell handeln. Ausgerechnet jetzt zieht dichter Nebel auf. Wie soll er bei diesem Wetter zum Leuchtturm finden? Das geht ganz einfach, denn die drei Leuchttürme bilden ein Dreieck mit den Punkten $A$ (Alter Anleger), $B$ (Blaue Bucht) und $C$ (Cap Capri). Zum Glück kennt Piet die drei Entfernungen zwischen den Leuchttürmen auswendig. So kann er für die Kursberechnung durch den Nebel den Sinussatz und den Cosinussatz anwenden.

In der Abbildung siehst du, dass Piet die Seitenlängen bekannt sind. Es fehlen allerdings die Winkel. Wir beginnen also mit dem Cosinussatz, den diesen können wir nach jeweils einem gesuchtem Winkel auflösem.

Anwendung des Cosinussatzes

Der Cosinussatz hilft dir weiter, wenn entweder zwei Seiten und ein Winkel oder aber alle drei Seiten eines nicht-rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind und der Winkel fehlt.
In unserem Beispiel bilden die drei Leuchttürme auf der Karte ein Dreieck. Leuchtturmwärter Piet kennt die drei Entfernungen zwischen den Leuchttürmen auswendig, sodass er nur noch den Winkel berechnen muss, um sein Boot auf Kurs zu bringen.

Cosinussatz – Winkel berechnen

Zunächst klären wir, welcher der drei Formelsätze aus dem Cosinussatz im Beispiel genutzt werden kann:
Piets Standpunkt ist Alter Anleger, das ist jetzt Punkt $A$ im Dreieck. Piet muss zum defekten Leuchtturm auf Cap Capri fahren, das ist Punkt $C$. Blaue Bucht ist der Punkt B. Da Piet von $A$ nach $C$ fahren will, benötigt er den Kurswinkel $\alpha$ an Punkt $A$. Wir nehmen daher den Cosinussatz in der folgenden Form:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2\,bc\cdot \cos(\alpha)$

Wir stellen die Formel nach dem gesuchten Winkel $\alpha$ um:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2\,bc\cdot \cos(\alpha) \quad \big\vert~- b^{2}, - c^{2}$

$a^{2} - b^{2} - c^{2} = - 2\,bc\cdot \cos(\alpha) \quad \big\vert~:(- 2bc)$

$\dfrac{a^{2} - b^{2} - c^{2}}{- 2\,bc} = \cos(\alpha)$

Nun ist $\cos(\alpha)$ isoliert:

$ \cos(\alpha) = \dfrac{a^{2} - b^{2} - c^{2}}{- 2\,bc}$

Piet kennt die drei Entfernungen zwischen den Leuchttürmen auswendig:
Der Abstand zwischen Blaue Bucht und Cap Capri beträgt 5,18 Kilometer, also ist a = 5,18 km.
Der Abstand zwischen Cap Capri und Alter Anleger beträgt 9 Kilometer, also ist b = 9 km.
Der Abstand zwischen Alter Anleger und Blaue Bucht beträgt 6 Kilometer, also ist c = 6 km.

Wir setzen die Werte für $a$, $b$ und $c$ ein:

$\cos(\alpha) = \dfrac{5{,}18^{2} - 9^{2} - 6^{2}}{- 2\cdot9\cdot6}$

Wir isolieren den Winkel $\alpha$ mit $\cos^{-1}$, das ist der Arcuscosinus (man findet ihn auf dem Taschenrechner abgekürzt als arccos oder acos oder $\cos^{-1}$), also die Umkehrung des Cosinus, und lösen mit dem Taschenrechner:

$\alpha = \cos^{-1} \left( \dfrac{5{,}18^{2} - 9^{2} - 6^{2}}{- 2\cdot9\cdot6} \right)$

$\alpha \approx 33{,}4^{\circ}$

Piet kann sich jetzt mit dem richtigen Kurswinkel $\alpha \approx 33,4^{\circ}$ auf den Weg zu Cap Capri machen.

Cosinussatz umstellen

Auch der Cosinussatz lässt sich nach einzelnen Variablen umstellen. Im Gegensatz zum Sinussatz steht bei den drei Formulierungen des Cosinussatzes aber jeweils eine Variable bereits isoliert auf der linken Seite der Gleichung. Du musst nur noch die Wurzel ziehen, um das Quadrat aufzulösen und erhältst die Länge einer Seite.

Anwendung des Sinussatzes

Der Sinussatz kann ebenfalls die Ermittlung von geometrischen Beziehungen in nicht-rechtwinkligen Dreiecken vereinfachen.
Er hilft dir weiter, wenn mindestens zwei Seiten und ein Winkel oder eine Seite und zwei Winkel eines nicht-rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind.

In unserem Beispiel hat Piet ein weiteres Problem: Er benötigt jetzt eine Ersatzglühbirne vom Ersatzteillager auf Blaue Bucht, Punkt $B$. Jetzt muss er auch den Winkel an Punkt $B$, also $\beta$, berechnen, um sein Boot von dort auf Kurs Cap Capri (Punkt $C$) zu bringen.
Er könnte wieder den Cosinussatz nutzen, da er ja alle Entfernungen $a$, $b$ und $c$ kennt. Da er aber die Entfernungen und einen der Winkel kennt, nämlich $\alpha$, kann er jetzt auch den Sinussatz verwenden. Dazu ist etwas weniger Rechenarbeit nötig, wie wir gleich sehen werden.

Sinussatz – Winkel berechnen

Der Winkel $\alpha$ und alle Seiten sind bekannt. Nun stellen wir den Sinussatz nach dem Winkel $\beta$ um:

$\dfrac{\sin(\alpha)}{a} = \dfrac{\sin(\beta)}{b} \quad \Big\vert~\cdot b$

$\dfrac{\sin(\alpha) \cdot b}{a} = \sin(\beta)$

Jetzt können wir $b = 9$ und $a = 5{,}18$ sowie $\alpha = 33{,}4^{\circ}$ einsetzen:

$\dfrac{\sin(33{,}4) \cdot 9}{5{,}18} = \sin(\beta)$

Wir isolieren den Winkel $\beta$ mit $\sin^{-1}$, das ist der Arcussinus (man findet ihn auf dem Taschenrechner abgekürzt als arcsin oder asin oder $\sin^{-1}$), also die Umkehrung des Sinus, und lösen mit dem Taschenrechner:

$\beta = \sin^{-1} \left( \dfrac{\sin(33{,}4) \cdot 9}{5{,}18} \right)$

$\beta \approx 73^{\circ}$

Gut, damit kann Piet endlich ablegen. Aber siehe da, der Nebel hat sich schon wieder verzogen.

Sinussatz umstellen

Die Formel des Sinussatzes lässt sich so umstellen, dass du fehlende Werte ermitteln kannst. Oft ist dabei auch die Formulierung mit den Kehrwerten der jeweiligen Brüche hilfreich. Auch wenn die Formel je nach Umformung anders aussieht, beschreibt sie trotzdem noch die Winkel- und Seitenverhältnisse im allgemeinen Dreieck.

Auch die anderen Werte der Seitenlängen und Winkel lassen sich mit entsprechenden Umformungen ermitteln. Die passende Umformung wählst du am besten je nachdem, welche Werte angegeben bzw. bekannt sind.

Ausblick – das lernst du nach Sinussatz – Erklärung und Herleitung

Ergründe die Mathematik dahinter! Mit dem trigonometrischen Pythagoras erweiterst du dein Wissen über Sinus und Cosinus. Tauche tiefer in das Abenteuer Oberstufenmathematik ein und erweitere dein Verständnis für diese faszinierenden Themen.

Wenn du das Gelernte direkt anwenden möchtest, dann schau dir den Übungstext zum Sinussatz und Cosinussatz an!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Sinussatz und Cosinussatz