Strahlensätze – Entfernungen im Gelände

Strahlensätze – Entfernungen im Gelände Übung

• Beschreibe, wie der Daumensprung durchgeführt wird.

  Tipps

  Nehme deinen Daumen zu Hilfe und gehe die einzelnen Schritte durch.

  Fällt dir dabei auf, dass dein Daumen gesprungen ist, wenn du das Ziel mit dem anderen Auge anpeilst?

  Lösung

  Der Daumensprung ist ein probates Mittel, um Strecken und Abstände abzuschätzen. Er ist dabei aber nur ein Bestandteil und du verwendest ihn stets in Verbindung mit dem 1. Strahlensatz. Hier wollen wir zunächst aber nur untersuchen, wie sich dieser Daumensprung durchführen lässt.

  Zunächst gilt es, deinen Arm auszustrecken, eine Faust zu bilden und den Daumen aufzustellen. Diese Position muss jetzt für die nächsten Schritte gehalten werden, damit nicht schon durch Verwackeln des Armes Ungenauigkeiten entstehen. Nun schließt du ein Auge, zum Beispiel das rechte, und peilst mit dem geöffneten Auge dein Ziel an, sodass sich dein Daumen in einer Flucht mit dem angepeilten Gegenstand befindet. Nun wiederholst du diesen Vorgang, indem du mit dem anderen Auge dein Ziel anpeilst.

  Wie du beim Ausprobieren vielleicht merkst, kommt es darauf an, welche Seite des entfernten Ziels du anpeilst. Mit ein bisschen Übung hast du aber sicherlich schnell den Dreh raus.

  In jedem Fall fällt dir auf, dass dein Daumen gesprungen ist, nachdem du das Ziel mit dem anderen Auge angepeilt hast. Den Daumensprung schätzt du jetzt hinsichtlich des Ziels ab.

• Ergänze den Weg zur Berechnung, wie weit Johnny vom Haus entfernt steht.

  Tipps

  Überlege dir, welche Strecken zu den großen Strecken und welche zu den kleinen gezählt werden.

  Wie kannst du die Gleichung nach der gesuchten Entfernung $y$ umstellen?

  Lösung

  Johnny möchte wissen, wie viele Meter er vom Haus entfernt steht. Er weiß, dass man mit dem Strahlensatz bestimmte Strecken zueinander in Beziehung setzen kann.

  Bei unserer Aufgabe sind uns seine Armlänge sowie der Abstand seiner Augen bekannt. Mittels der Daumensprungmethode wird die Sprungweite $x$ des Daumens mit ungefähr $5~m$ abgeschätzt.

  Nun stellt sich die Frage, wie man diese Strecken- und Abstandsangaben sinnvoll in Beziehung setzen kann, um am Ende die Entfernung y zu berechnen.

  Da hilft uns der Strahlensatz weiter, den wir hier etwas vereinfacht benutzen können. Er lautet $\frac{\text{große Strecke}}{\text{kleine Strecke}} = \frac{\text{große Strecke}}{\text{kleine Strecke}}$.

  Wichtig ist hierbei, dass wir von Anfang an wissen, was wir eigentlich berechnen wollen. Dann können wir die richtige Rechnung aufstellen, nämlich:

  $\frac{\text{Armlänge}}{\text{Augenabstand}} = \frac{\text{Entfernung y}}{\text{Sprungweite x}}$

  Setzen wir nun unsere Informationen in die Gleichung ein, ergibt sich $\frac{\text{50 cm}}{\text{6 cm}} = \frac{\text{y}}{\text{5 m}}$. Wir multiplizieren mit $5~m$, um nach $y$ aufzulösen und erhalten letztlich $y \approx 41,67~m$.

  Da wir die Entfernung jedoch nur ungefähr abschätzen können, ist eine so präzise Angabe wie $41,67~m$ nicht unbedingt sinnvoll. Wir können einfach sagen, Johnnys Haus ist etwa $40$ Meter von ihm entfernt.

• Bestimme die Strecke, in der Jimmy von den Bäumen entfernt steht.

  Tipps

  Halte dich an den Grundsatz $\frac{\text{große Strecke}}{\text{kleine Strecke}}$ = $\frac{\text{große Strecke}}{\text{kleine Strecke}}$.

  Löse am Ende nach der gesuchten Strecke auf.

  Lösung

  Der Daumensprung ist manchmal eine nicht sehr genaue Methode zum Abschätzen von Strecken.

  Diesmal kann Johnnys Bruder Jimmy allerdings das ideale Ergebnis des Daumensprungs mit dem 1. Strahlensatz berechnen, weil er weiß, in welcher Entfernung die beiden Bäume zueinander stehen. Diese Entfernung beträgt 12 Meter. Die gesuchte Strecke zwischen ihm und den Bäumen benennt er mit y.

  Setzt er nun seine Informationen in die Gleichung ein, ergibt sich $\frac{\text{49 cm}}{\text{7 cm}}$ = $\frac{\text{y}}{\text{12 m}}$. Jetzt muss Jimmy nur noch nach y auflösen, indem er mit 12 m multipliziert.

  Der Abstand zwischen ihm und den beiden Bäumen beträgt also y = 7 $\cdot$ 12 = 84 Meter.

• Ermittle, wie weit du von Alia entfernt stehst.

  Tipps

  Verwende den 1. Strahlensatz, um die Lösung zu berechnen.

  Löse nach der gesuchten Variablen auf.

  Lösung

  Das ist ein klassischer Falls, in dem du den 1. Strahlensatz verwenden kannst. Bedingung dafür ist allerdings, dass es zwei parallele Geraden gibt, die wie hier den Standort von Jule und Ahmed sowie von Hans und Alia verbinden.

  Die Formel für die Berechnung lautet auch hier $\frac{\text{große Strecke}}{\text{kleine Strecke}}$ = $\frac{\text{große Strecke}}{\text{kleine Strecke}}$. Wir können die Entfernungen auch hier zueinander in Beziehung setzen, wobei der Name jeweils angibt, wie weit sie von dir entfernt stehen:

  $\frac{\text{Jule}}{\text{Hans}}$ = $\frac{\text{Ahmed}}{\text{Alia}}$

  Nun ist der größte Schritt getan. Wir müssen jetzt nur noch die jeweiligen Entfernungen in die Gleichung einsetzen. Dann können wir $\frac{60\text{m}}{45\text{m}}$ = $\frac{80\text{m}}{\text{Alia}}$ nach der Entfernung von Alia auflösen.

  Alia steht 80 $\cdot \frac{45}{60}$ = 60 Meter von dir entfernt.

• Benenne die richtigen Aussagen zum Daumensprung sowie zum 1. Strahlensatz.

  Tipps

  Wie verhält sich deine Armlänge zum Abstand deiner Augen?

  Gibt es Fehlerquellen beim Verwenden des Daumensprungs?

  Lösung

  Der Daumensprung ist eine Methode, um den Abstand eines in der Ferne liegenden Ziels einzuschätzen. Besitzt du keine modernen Hilfsgeräte, ist er allemal eine gute Alternative. Allerdings solltest du dir vor Augen führen, dass besonders große Entfernungen für Fehlerquellen sorgen, da bereits geringe Fehleinschätzungen andere Ergebnisse zur Folge haben.

  Hatten wir für die Berechnung der Entfernung zum Haus bisher die Gleichung $\frac{50~cm}{6~cm}$ = $\frac{y}{5~m}$ aufgestellt und mit y $\approx$ 41,67 m gelöst, so ergibt sich ein ganz anderes Ergebnis, wenn wir die Sprungweite auf 7 Meter statt 5 Meter schätzen. $\frac{50~cm}{6~cm}$ = $\frac{y}{7~m}$ ergibt dann y $\approx$ 58,33 m. Das ergibt eine Differenz der Ergebnisse von fast 17 Metern. Es lassen sich mit dem Daumensprung also keine genauen Messungen durchführen, lediglich geschickte Abschätzungen sind möglich.

  Als Faust- oder Daumenregel kannst du dir merken, dass die Armlänge ungefähr das Zehnfache des Augenabstands beträgt. Das spielt eine Rolle, wenn der Daumensprung in Zusammenhang mit dem 1. Strahlensatz verwendet wird.

  Da der 1. Strahlensatz $\frac{\text{große Strecke}}{\text{kleine Strecke}}$ = $\frac{\text{große Strecke}}{\text{kleine Strecke}}$ lautet, kannst du bei Verwendung des Daumensprungs die linke Seite der Gleichung durch 10 ersetzen, da ja $\frac{\text{Armlänge}}{\text{Augenabstand}} \approx$ 10.

• Bestimme, in welcher Distanz x der Ball von Marie entfernt liegt.

  Tipps

  Berücksichtige, dass du den 1. Strahlensatz kurz als $\frac{\text{große Strecke}}{\text{kleine Strecke}}$ = $\frac{\text{große Strecke}}{\text{kleine Strecke}}$ formulieren kannst.

  Die Entfernung von Ball zu Mauer ist um 2 Meter kürzer als die Entfernung, in der Marie vom Ball steht.

  Löse die Brüche auf, indem du mit den Nennern multiplizierst.

  Lösung

  Auch diese Aufgabe beinhaltet eine Variante des $1.$ Strahlensatzes. Wie du siehst, ist er vielfältig anwendbar.

  Hier stehen die beiden Parallelen des Dreiecks in einem Verhältnis, so wie auch die Entfernung Maries zum Ball und die Teilstrecke zwischen Ball und Mauer in Verhältnis stehen.

  In einer mathematischen Gleichung verpackt, könnte das so aussehen:

  $\frac{\text{Augenhöhe Marie}}{\text{Höhe der Mauer}}$ = $\frac{\text{x}}{\text{Entfernung Ball zu Mauer}}$

  Auf der linken Seite steht $\frac{\text{1,60 m}}{\text{1,20 m}}$ = $\frac{\text{4}}{\text{3}}$.

  Die rechte Seite ist etwas schwieriger, da wir beide Angaben nicht haben. Allerdings wissen wir, dass Marie $2$ Meter von der Mauer entfernt steht. Das hilft uns weiter, wie wir gleich sehen werden. Dann können wir die rechte Seite nämlich durch $\frac{\text{x}}{\text{x - 2}}$ beschreiben.

  Nun müssen wir nur noch ein bisschen rechnen:

  $\frac{\text{4}}{\text{3}}$ = $\frac{\text{x}}{\text{x - 2}}$

  Dazu multiplizieren wir mit $x - 2$ und erhalten $\frac{4}{3}\cdot x - \frac{8}{3} = x$ bzw. $\frac{1}{3}\cdot x = \frac{8}{3}$ und somit $x = 8$.

  Die Entfernung zwischen Marie und Mauer beträgt $8$ Meter.