Erster Strahlensatz – Einführung

Erster Strahlensatz – Einführung Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum ersten Strahlensatz.

  Tipps

  So kann eine Strahlensatzfigur aussehen.

  Eine Summe ist das Ergebnis einer Addition.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Kennst du zwei Längen der Strahlensatzfigur, kannst du die letzte Strecke ausrechnen.“

  • Um eine fehlende Länge der Strahlensatzfigur auszurechnen, müssen drei Längen gegeben sein.

  „In einer Strahlensatzfigur müssen die Summen einander zugehöriger Strecken gleich groß sein.“

  • Mit einer Strahlensatzfigur kannst du eine Verhältnisgleichung zugehöriger Strecken aufstellen. Das ist eine Gleichung, die aus zwei Quotienten (das Ergebnis einer Division) besteht. Eine Summe ist das Ergebnis einer Addition.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Schneiden zwei Parallelen zwei Strahlen, die denselben Anfangspunkt besitzen, kannst du die Strahlensätze anwenden.“

  • So kann eine Strahlensatzfigur aussehen.

  „Der erste Strahlensatz ist auch anwendbar, wenn sich zwei Geraden schneiden und die Parallelen auf unterschiedlichen Seiten des Schnittpunkts liegen.“

  • Dies ist eine weitere Möglichkeit für eine Strahlensatzfigur.

  „Um eine Verhältnisgleichung aufzustellen, kannst du jeweils zwei Längen, die auf der gleichen Geraden liegen, durch einander teilen und miteinander gleichsetzen.

  Du musst jedoch immer die zwei größeren durch die beiden kleineren Längen oder die zwei kleineren durch die beiden größeren Längen teilen.“

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  • Die folgende Kombination ist nicht möglich: $\dfrac{\text{Lang}}{\text{Kurz}}=\dfrac{\text{Kurz}}{\text{Lang}}$

• Bestimme die Länge mithilfe des ersten Strahlensatzes.

  Tipps

  Eine Verhältnisgleichung besteht aus zwei Quotienten, die gleichgesetzt werden.

  Hast du die Verhältnisgleichung aufgestellt, musst du die gegebenen Längen einsetzen und nach der gesuchten Länge auflösen.

  Lösung

  Du kannst die Rechnung so vervollständigen:

  Zuerst stellt Ray eine Verhältnisgleichung auf. Er weiß, dass er dafür jeweils zwei Längen auf demselben Strahl durch einander teilen und anschließend die beiden Verhältnisse gleichsetzen muss.

  • In der Mathematik ist ein Verhältnis der Quotient zweier Zahlen. Eine Verhältnisgleichung besteht aus zwei Quotienten, die gleichgesetzt werden.

  Er beginnt mit dem Verhältnis auf dem linken Strahl:

  $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}$

  Das entsprechende Verhältnis auf dem rechten Strahl lautet:

  $\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$

  Die Verhältnisgleichung lautet also:

  $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$

  • Hier musst du darauf achten, dass du die Verhältnisse richtig aufstellst. Du musst entweder zweimal die längere Strecke durch die kürzere Strecke teilen und gleichsetzen oder zweimal die kürzere Strecke durch die längere Strecke. Du darfst sie allerdings nie vermischen. Es gilt also:

  $\qquad \dfrac{\overline{ZB_1}}{\overline{ZB_2}}=\dfrac{\overline{ZA_1}}{\overline{ZA_2}}$

  $\qquad \dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$

  $\qquad \dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}} \neq \dfrac{\overline{ZA_1}}{\overline{ZA_2}}$

  Hier kann er die gegebenen Längen einsetzen:

  $\dfrac{\overline{ZB_2}}{5~\text{m}}=\dfrac{16~\text{m}}{10~\text{m}}$ (...)

  $\Leftrightarrow ~\overline{ZB_2}=8~\text{m}$

  • Hast du die Verhältnisgleichung aufgestellt, musst du die gegebenen Längen einsetzen und nach der gesuchten Länge auflösen.

• Ermittle die korrekten Aussagen zu dieser Strahlensatzfigur.

  Tipps

  Eine mögliche Verhältnsigleichung lautet:

  $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$.

  Diese Gleichung kannst du durch Äquivalenzumformungen umformen.

  Die Längen der Verhältnisgleichung kannst du berechnen, indem du sie in obige Gleichung einsetzt und nach der gesuchten Länge umformst.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Eine Verhältnisgleichung könnte so aussehen:

  $\dfrac{\overline{ZB_1}}{\overline{ZB_2}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$“

  „Um die Verhältnisgleichung aufzustellen, musst du Längen auf unterschiedlichen Geraden durch einander teilen und gleichsetzen. Damit ergibt sich beispielsweise:

  $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZA_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZB_1}}$“

  • Um eine Verhältnisgleichung aufzustellen, kannst du jeweils die längere durch die kürzere Strecke auf derselben Geraden teilen und die beiden Quotienten gleichsetzen. Die aufgestellte Gleichung kannst du durch Äquivalenzumformungen umformen. Dadurch erhältst du aber keine der oben angegebenen Verhältnisgleichungen. Eine mögliche Gleichung lautet nämlich wie folgt:

  $\qquad\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$

  „Sind die Längen $\overline{ZB_2}=4$, $\overline{ZA_1}=3$ und $\overline{ZB_1}=8$ gegeben, ergibt sich: $\overline{ZA_2}=6$“

  • Setzt du diese Längen in die obige Verhältnisgleichung ein und stellst um, dann erhältst du: $\overline{ZA_2}=\frac{4}{8} \cdot 3= \frac{3}{2}$

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Sind die Längen $\overline{ZB_2}=4$, $\overline{ZA_2}=3$ und $\overline{ZB_1}=8$ gegeben, ergibt sich: $\overline{ZA_1}=6$“

  • Durch das Anwenden obiger Verhältnisgleichung erhältst du: $\overline{ZA_1}=\frac{8}{4} \cdot 3 =6$

  „Die Strahlensätze kannst du auch anwenden, wenn die Parallelen sich auf unterschiedlichen Seiten des Schnittpunkts $Z$ befinden.“

  • Dieser Fall tritt in unserem Beispiel auf. Auch hier kannst du die Strahlensätze anwenden.

• Ermittle die Längen mithilfe des ersten Strahlensatzes.

  Tipps

  So kann eine Strahlensatzfigur aussehen.

  Mit dem ersten Strahlensatz kannst du folgende Verhältnisgleichung bestimmen und passend umformen:

  $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$

  Lösung

  Mit dem ersten Strahlensatz kannst du folgende Verhältnisgleichung bestimmen und passend umformen:

  $\dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}}=\dfrac{\overline{ZA_2}}{\overline{ZA_1}}$

  Damit erhältst du folgende Längen:

  • $\overline{ZA_2}= \dfrac{\overline{ZB_2}}{\overline{ZB_1}} \cdot \overline{ZA_1} = \frac{8}{4} \cdot 5=10$

  • $\overline{ZB_2}=\frac{1}{2}$

  • $\overline{ZA_1}= \dfrac{\overline{ZB_1}}{\overline{ZB_2}} \cdot \overline{ZA_2}= \dfrac{1}{\frac{1}{3}} \cdot 6= 3 \cdot 6=18$

  • $\overline{ZB_1}=6$

• Beschrifte die Strahlensatzfigur.

  Tipps

  Eine Streckenbezeichnung besteht immer aus dem Anfangs- und Endpunkt. Darüber zeichnest du einen Strich. Zum Beispiel verläuft die Strecke $\overline{A_2 B_2}$ zwischen den Punkten $A_2$ und $B_2$.

  Parallelen haben überall den gleichen Abstand zueinander.

  Lösung

  So kannst du die Strahlensatzfigur vervollständigen:

  • Eine Streckenbezeichnung besteht immer aus dem Anfangs- und Endpunkt. Darüber zeichnest du einen Strich. Zum Beispiel: $\overline{ZA_2}$

  • Die Bezeichnung der Punkte kannst du genauso aus den Streckenbezeichnungen erkennen. $\overline{ZA_2}$ verläuft zwischen den Punkten $Z$ und $A_2$

  • Strahlen sind Linien mit einem Anfangs- und keinem Endpunkt. Hier abgebildet sind zwei Strahlen, die aus dem gemeinsamen Punkt $Z$ entspringen. Parallelen haben überall den gleichen Abstand zueinander.

• Leite ab, warum du den ersten Strahlensatz auf verschiedene Strahlensatzfiguren anwenden kannst.

  Tipps

  In einer Punktspiegelung bleiben die Längen zwischen den Ursprungspunkten und dem Spiegelzentrum erhalten. Der gespiegelte Punkt hat also den gleichen Abstand zum Spiegelzentrum wie der ursprüngliche Punkt.

  Die klassische Strahlensatzfigur besteht aus zwei Strahlen, die dem gleichen Punkt $Z$ entspringen, welche von zwei parallelen Geraden geschnitten werden.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Spiegelst du die Punkte $A_2$ und $B_2$ an einer Achse, die parallel zu den beiden Parallelen liegt, dann erhältst du die Punkte $A_2'$ und $B_2'$.“

  • Die Punkte $A_2'$ und $B_2'$ erhältst du durch eine Punktspiegelung der Punkte $A_2$ und $B_2$ an $Z$.

  „Die Strahlensätze könntest du auch anwenden, wenn sich die drei Geraden durch $A_2'$ und $B_2'$, durch $A_1$ und $B_1$ sowie durch $A_2$ und $B_2$ schneiden würden.“

  • Das würde nicht funktionieren, da diese Geraden in der Strahlensatzfigur parallel sein müssen. Das ist nicht gegeben, wenn sie sich schneiden.

  Diese Aussagen sind korrekt:

  „Sind jeweils die Strecken $\overline{ZA_2}$ und $\overline{ZA_2'}$ sowie $\overline{ZB_2}$ und $\overline{ZB_2'}$ gleich lang, ist die Gerade durch $A_2$ und $B_2$ parallel zu der Geraden durch $A_2'$ und $B_2'$.“

  • Sind diese Längen gleich lang, erfüllen sie den ersten Strahlensatz. Deshalb muss auch die Gerade durch $A_2$ und $B_2$ parallel zur Geraden durch $A_2'$ und $B_2'$ sein.

  „Die Punkte $A_2'$ und $B_2'$ erhältst du durch eine Punktspiegelung der Punkte $A_2$ und $B_2$ am Schnittpunkt $Z$ der Geraden.“

  „Führst du eine Punktspiegelung der Punkte $A_1$ und $B_1$ an $Z$ durch, kannst du den ersten Strahlensatz auch auf die Figur bestehend aus den neu entstandenen Punkten $A_1'$ und $B_1'$ und den Punkten $A_2$ und $B_2$ anwenden.“

  • Durch diese Punktspiegelung erhältst du auf der linken Seite von $Z$ eine Strahlensatzfigur, die punktsymmetrisch zu der auf der rechten Seite ist. Auf beiden Seiten kannst du die Strahlensätze anwenden.