Terme durch Rechenbäume beschreiben

Einführung: Zahlenterme und Rechenbäume

Um verschachtelte Terme möglichst schnell zu lösen, gibt es verschiedene Methoden. Eine Methode ist, Terme durch Rechenbäume zu beschreiben. In diesem Video findest du eine Erklärung zum Rechenbaum in Mathe.

Was ist ein Rechenbaum?

Schauen wir uns das Beschreiben von Termen durch Rechenbäume an einem Beispiel an. Der folgende Term ist sehr verschachtelt.

$((14 + 2) : 8 + 3 \cdot (2 + 4)) : 4$

Beim Lösen solcher Terme gibt es eine klare Reihenfolge. Die Regeln zum Lösen verschachtelter Terme lauten:

1. Klammern werden immer von innen nach außen aufgelöst.
2. Punktrechnung (mal und geteilt) geht vor Strichrechnung (plus und minus).

Aber was ist nun ein Rechenbaum und wie hilft uns dieser beim Lösen eines solchen Terms?

• Ein Term kann in einem Rechenbaum so dargestellt werden, dass direkt ablesbar ist, welche Rechnung wann durchgeführt werden muss.

Wie erstelle ich einen Rechenbaum zu einem Term?

Zunächst benötigen wir für jede Zahl des Terms ein eigenes Kästchen. Diese schreiben wir unter den Term. Die Kästchen werden so angeordnet, wie sie von links nach rechts im Term auftreten.

Nun gehen wir der Reihenfolge nach vor. Zuerst müssen Klammern aufgelöst werden. Dies passiert von innen nach außen. Welche Klammerpaare befinden sich ganz innen? Das sind die Klammern um die Summe $14 + 2$ und um die Summe $2 + 4$. Das dritte Klammernpaar liegt weiter außen.

Um die beiden inneren Klammern aufzulösen, müssen wir jeweils addieren. In der ersten Klammer stehen nur zwei Zahlen. Also verbinden wir im Rechenbaum die beiden Kästchen der Zahlen $14$ und $2$ mit einer Linie und einem Kreis, in den wir das Operationszeichen zeichnen. In diesem Fall brauchen wir das Zeichen für die Plusrechnung. Darunter zeichnen wir ein weiteres Kästchen. In dieses kommt später die Summe dieser Rechnung.

Auch in der anderen inneren Klammer befindet sich eine Addition von zwei Zahlen. Also wiederholen wir das Gleiche mit den Zahlen $2$ und $4$. Auch diese Kästchen verbinden wir mit einer Linie und dem Kreis mit dem Plus. Wir zeichnen ein weiteres Kästchen für die Summe dieser Rechnung darunter. Die beiden neuen Kästchen sind auf der gleichen Ebene im Rechenbaum. Das bedeutet, es ist egal, in welcher Reihenfolge du diese beiden Kästchen ausrechnest.

Die beiden inneren Klammern sind nun verarbeitet. Nun können wir uns der äußeren Klammer zuwenden. In dieser befinden sich noch drei weitere Rechenzeichen. Ein Geteiltzeichen vor der $8$, ein Plus zwischen der $3$ und der $8$ und das Mal hinter der $3$. In welcher Reihenfolge müssen wir diese betrachten? Es gilt Punktrechnung vor Strichrechnung. Also zuerst das Malzeichen und das Geteiltzeichen. Mit welcher Rechnung wir beginnen, ist in diesem Fall wieder egal.

Beginnen wir mit der Multiplikation. Die Klammer haben wir bereits im Rechenbaum untergebracht. Die Summe, die bereits ein eigenes Kästchen besitzt, soll also mit $3$ multipliziert werden. Wir verbinden also das Kästchen für das Zwischenergebnis der inneren Klammer und das Kästchen der $3$ mit einem Malzeichen. Zudem kommt darunter ein neues Kästchen für dieses Zwischenergebnis.

Die Rechnung mit dem Geteiltzeichen findet auf der gleichen Ebene statt. Wir verbinden das Zwischenergebnis aus der inneren Klammer mit der $8$. An diese Verbindung schreiben wir ein Geteiltzeichen. Auch hier zeichnen wir wieder ein Kästchen für dieses Zwischenergebnis. Dieses kommt auf eine Ebene mit dem Kästchen der Multiplikation.

Nun können wir das Pluszeichen, also die Strichrechnung, in der äußeren Klammer betrachten. Wir betrachten nun alles, was innerhalb der äußeren Klammer steht. Wir haben bereits alles links des Pluszeichens in den Rechenbaum eingetragen. Auch alles rechts des Pluszeichens ist bereits eingetragen. Nun müssen wir also nur noch diese beiden Zwischenergebnisse mit einem Pluszeichen verbinden. Ein neues Kästchen muss nun in die nächste Ebene gezeichnet werden. Dieses Kästchen entspricht jetzt der gesamten äußeren Klammer.

Das Ergebnis in der Klammer muss nun noch durch $4$ geteilt werden. Die $4$ von ganz oben muss nun also über ein Geteiltzeichen mit dem Kästchen für das Ergebnis der äußeren Klammer verbunden werden. Das letzte Kästchen in der nächsten Ebene steht nun für das Ergebnis des gesamten Terms.

Terme mithilfe eines Rechenbaums lösen

Und was bringt das Ganze nun? Jedes Kästchen steht für eine kleine Rechenaufgabe. Die komplizierte Form des Terms haben wir nun viel einfacher aufgeschrieben. Es müssen nun nur die einzelnen Kästchen ausgerechnet werden, um auf das Ergebnis des Terms zu kommen. Um dieses Ergebnis zu erhalten, also den Rechenbaum zu lösen, gehen wir von oben nach unten vor.
Fangen wir mit dem linken Kästchen in der ersten Ebene an. Dafür müssen wir Folgendes rechnen:

$14 + 2 = 16$

Wir tragen also in dieses erste Kästchen eine $16$ ein. Als Nächstes wird das rechte Kästchen in der gleichen Ebene gelöst. Dafür rechnen wir:

$2 + 4 = 6$

Also tragen wir eine $6$ in dieses Kästchen ein.

Weiter geht es mit der nächsten Ebene. Im linken Kästchen müssen wir die $16$ aus der Ebene darüber durch $8$ teilen.

$16 : 8 = 2$

Wir tragen die $2$ in dieses Kästchen. Ebenfalls in dieser Ebene müssen wir die $6$ aus der Ebene darüber mit $3$ multiplizieren.

$3 \cdot 6 = 18$

Die $18$ wird in das Kästchen eingetragen. Für die nächste Ebene müssen wir beide Kästchen aus der vorherigen Ebene addieren. Also:

$2 + 18 = 20$

Die $20$ kommt in das Kästchen aus der vorletzten Ebene. Nun bleibt nur noch eine Rechnung. Die $20$ müssen wir noch durch die $4$ von ganz oben teilen.

$20 : 4 = 5$

Und damit lautet das Ergebnis für den Wert des Terms $5$.

Zusammenfassung: Terme durch Rechenbäume beschreiben

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum Thema Terme durch Rechenbäume lösen zusammen.

• Um einen Term, also einen Rechenausdruck, zu lösen, muss immer die richtige Reihenfolge der Rechenoperationen berücksichtigt werden.
• Zuerst werden Klammern von innen nach außen berechnet.
• Dabei muss immer Punktrechnung vor Strichrechnung beachtet werden.
• Sind alle Klammern ausgerechnet, gilt für den resultierenden Term ebenfalls Punktrechnung vor Strichrechnung.
• Bei der Erstellung eines Rechenbaums muss diese Reihenfolge beachtet werden.
• Dazu schreiben wir zunächst alle Zahlen in einzelne Kästchen.
• Dann werden die Kästchen von oben nach unten mit den passenden Rechenzeichen verbunden.
• Dabei muss immer beachtet werden: erst Klammern von innen nach außen, dann Punktrechnung und dann Strichrechnung.
• Am Ende können die einzelnen Zwischenergebnisse berechnet werden. Wir erhalten die Lösung des Rechenbaums und damit die Lösung des Terms.

Weitere Übungen und Aufgaben zum Thema Terme durch Rechenbäume beschreiben findest du hier bei sofatutor.