Termumformungen ohne Variablen

Termumformungen ohne Variablen Übung

• Gib die Grundregeln beim Rechnen mit Termen wieder.

  Tipps

  Löse bei Termen mit mehreren Klammern immer zuerst die innere Klammer:

  • $100:(3\cdot(3+4))=100:(3\cdot7)$

  Multiplikationen führst du immer vor Additionen aus:

  $3+7\cdot2=3+14$

  Bei gleichwertigen Operationen beginnst du mit dem Rechnen wie beim Lesen auf der linken Seite.

  Lösung

  Beim Rechnen mit Termen musst du Folgendes beachten:

  Für alle Schritte gilt:

  • Punktrechnung vor Strichrechnung

  Zuerst führst du Multiplikationen ($\cdot$) und Divisionen ($:$) durch, dann Additionen ($+$) und Subtraktionen ($-$).

  • Von links nach rechts

  Bei gleichwertigen Operationen führst du sie in der Reihenfolge durch, wie du sie von links nach rechts liest.

  Bei komplizierteren Termen musst du außerdem auf Folgendes achten:

  1. Innere Klammer zuerst: $2\cdot(3\cdot9-(9:3+4))+8$
  2. Nächstäußere Klammer: $2\cdot(3\cdot9-7)+8$
  3. Term ohne Klammern: $2\cdot20+8$

• Beschreibe, wie du den folgenden Term vereinfachen kannst.

  Tipps

  Bedenke, dass immer Punkt- vor Strichrechnung gilt.

  Bei mehreren Klammern beginnst du immer bei der ganz inneren.

  Lösung

  Folgender Term ist gegeben:

  • $4\cdot (2-8:(4\cdot12-6\cdot7-4))+8$

  Zuerst betrachten wir die innere Klammer und berechnen dort die Multiplikationen ($4\cdot12=48$ und $6\cdot7=42$):

  • $4\cdot (2-8:(48-42-4))+8$

  Nun können wir die innere Klammer komplett von links nach rechts lösen ($48-42-4=2$):

  • $4\cdot (2-8:2)+8$

  Danach wird die äußere Klammer gelöst. Auch hier beachten wir Punkt- vor Strichrechnung:

  Zunächst die Division ($8:2=4$):

  • $4\cdot (2-4)+8$

  Und dann die Subtraktion ($2-4=-2$):

  • $4\cdot (-2)+8$

  Im letzten Schritt wird multipliziert ($4\cdot (-2)=-8$)

  • $-8+8$

  Nun addieren wir ($-8+8=0$), sodass wir $0$ erhalten. Also ist der ganze komplizierte Term eigentlich nichts weiter als Null.

• Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

  Tipps

  Schaue dir dieses Beispiel an:

  $3\cdot (4+5\cdot 2)$

  $=3\cdot (4+10)$

  $=3\cdot (14)$

  $=42$

  Löse erst alle Multiplikationen und Divisionen in einer Klammer, dann die Additionen und Subtraktionen.

  Lösung

  Beispiel 1: $~3\cdot (2+3\cdot(12:6-3\cdot7+20))-8$

  Zuerst betrachten wir die innere Klammer und multiplizieren dort:

  $=3\cdot (2+3\cdot(2-21+20))-8$

  Schließlich lösen wir die innere Klammer auf:

  $= 3\cdot (2+3\cdot 1)-8$

  Wir multiplizieren in der äußeren Klammer:

  $= 3\cdot (2+3)-8$

  Nun lösen wir die äußere Klammer auf:

  $=3\cdot 5-8$

  Nun im Term Punkt- vor Strichrechnung

  $=15-8$

  Zuletzt die Subtraktion:

  $=7$

  Beispiel 2: $~(16+2\cdot(4:2-1\cdot7-10)):6$

  Zuerst betrachten wir die innere Klammer und multiplizieren und dividieren dort:

  $=(12+2\cdot(2-7-10)):6$

  Schließlich lösen wir die innere Klammer auf:

  $= (12+2\cdot(-15)):6$

  Wir multiplizieren in der äußeren Klammer:

  $= (12-30):6$

  Nun lösen wir die äußere Klammer auf:

  $=(-18):6$

  Zuletzt eine Division:

  $=-3$

• Gib an, ob und wenn ja, welche Regel zur Termumformung hier verletzt wurde.

  Tipps

  Zuerst Divisionen, dann Subtraktionen:

  $4-2:2=4-1=3$

  aber $4-2:2\neq2:2=1$.

  Du liest von links nach rechts, genauso gehst du in der Mathematik vor.

  Lösung

  Beim Rechnen mit Termen musst du Folgendes beachten:

  Für alle Schritte gilt:

  • Punktrechnung vor Strichrechnung
  • Von links nach rechts

  Bei komplizierteren Termen musst du außerdem auf Folgendes achten:

  1. Innere Klammer zuerst!
  2. Nächstäußere Klammer!
  3. Term ohne Klammern!

  Somit gilt:

  • $3\cdot (4+5\cdot 2)\neq 3\cdot (9 \cdot 2)$

  Punkt- vor Strichrechnung! Hier hätte zuerst die Multiplikation in der Klammer und dann die Addition durchgeführt werden müssen. Das sähe dann so aus:

  $3\cdot (4+5\cdot 2)= 3\cdot (4+10)= 3\cdot 14= 42$

  • $3\cdot (5\cdot 2+4)\neq15\cdot (2+4)$

  Klammer zuerst! Hier muss zuerst die Klammer aufgelöst werden, bevor die Multiplikation mit $3$ erfolgt. Richtig wäre:

  $3\cdot (5\cdot 2+4)=3\cdot (10+4)=3\cdot 14=42$

  • $12:3\cdot 0\neq 12:0$

  Von links nach rechts! Durch diesen Rechenfehler produziert man hier sogar das Problem, dass die Aufgabe nicht mehr lösbar ist. Korrekt wäre es, zunächst die Division links auszuführen, dann die Multiplikation rechts:

  $12:3\cdot 0=4\cdot 0= 0$

  • $12\cdot5:(4+3)=12\cdot5:7$

  Dieser Term wurde korrekt vereinfacht, man kann ihn aber noch weiter vereinfachen:

  $12\cdot5:(4+2)=12\cdot5:6=60:6=10$

• Zeige auf, welche mathematischen Ausdrücke Terme sind.

  Tipps

  Zahlen und Variablen dürfen sogar alleine stehen und gelten als Term.

  Rechenzeichen müssen zwischen Variablen und/oder Zahlen stehen, alleine bilden sie keinen Term. Außerdem dürfen niemals zwei Rechenzeichen direkt hintereinanderstehen.

  Klammern dürfen in einem Term vorkommen, müssen aber immer ein Paar sein.

  Lösung

  Terme sind Rechenausdrücke, die Folgendes beinhalten dürfen:

  • Zahlen und Variablen, die sogar alleine stehen dürfen und als Term gelten.
  • Rechenzeichen wie $+$, $-$, $\cdot$ und $:$, die aber zwischen Variablen und/oder Zahlen stehen müssen, alleine bilden sie keinen Term. Außerdem dürfen niemals zwei Rechenzeichen direkt hintereinander stehen.
  • Klammern, die immer als Paar vorkommen müssen.

  Damit sind die folgenden Ausdrücke Terme:

  • $2x$
  • $x+1$
  • $390$
  • $2\cdot(a+b)$

  Damit sind die folgenden Ausdrücke keine Terme:

  • $x=2$ und $1<4$

  Terme dürfen keine Relationszeichen ($=$, $<$, $\leq$) oder Ähnliches enthalten.

  • $1~-:4$

  Es dürfen niemals zwei Rechenzeichen direkt hinter einander stehen.

  • $+$

  Es dürfen keine Rechenzeichen alleine stehen.

• Vereinfache die Terme vollständig.

  Tipps

  Hier siehst du eine korrekte Umformung:

  $((2\cdot1)+3)\cdot 4=(2+3)\cdot4=5\cdot4=20$

  Terme sind Rechenausdrücke, die Folgendes beinhalten dürfen:

  • Zahlen und Variablen, die sogar alleine stehen dürfen und als Term gelten.
  • Rechenzeichen wie $+$, $-$, $\cdot$ und $:$, die aber zwischen Variablen und/oder Zahlen stehen müssen, alleine bilden sie keinen Term. Außerdem dürfen niemals zwei Rechenzeichen direkt hintereinander stehen.
  • Klammern, die immer als Paar vorkommen müssen.

  Lösung

  Beim Rechnen mit Termen musst du Folgendes beachten:

  • Punktrechnung vor Strichrechnung
  • Von links nach rechts
  • Klammern zuerst
  • Klammern von innen nach außen lösen

  $0$:

  • $(5+3\cdot(8+9))\cdot0=(5+3\cdot17)\cdot0=(5+51)\cdot0=56\cdot0=0$
  • $17-4\cdot5+18:6=17-20+3=0$
  • $12:4\cdot (1-4+3)=12:4\cdot 0= 3\cdot 0=0$

  $3$:

  • $3$
  • $2\cdot(4+5):6+0=2\cdot9:6+0=18:6+0=3+0=3$

  $10$:

  • $((3\cdot5)-10)\cdot 4:2=(15-10)\cdot4:2=5\cdot4:2=20:2=10$
  • $(3\cdot5-10)\cdot 4:2=(15-10)\cdot4:2=5\cdot4:2=20:2=10$

  Kein Term:

  • $5+:3\cdot(8+9)$ Zwei Rechenzeichen dürfen nicht direkt hintereinander stehen.
  • $7+3\cdot 0>1$ Terme dürfen keine Relationszeichen enthalten.
  • $34\cdot (3+6\cdot(1+1)$ Klammern müssen immer als Paar vorkommen.