Umkehrfunktion von linearen Funktionen

Umkehrfunktion von linearen Funktionen Übung

• Beschreibe die graphische Bestimmung der Umkehrfunktion einer linearen Funktion.

  Tipps

  Schau dir das Bild oben einmal an. Hier sind alle gemeinsamen Schritte schon eingezeichnet. Womit beginnst du?

  Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert. Es genügt also, wenn du zwei Punkte der Funktion spiegelst und die Bildpunkte dann miteinander verbindest. So erhältst du die Umkehrfunktion.

  Lösung

  Bei der graphischen Bestimmung der Umkehrfunktion einer linearen Funktion hilft uns die Identitätsfunktion.

  Sie lautet $y=x$. $x$- und $y$-Wert sind stets identisch.

  1. Wir zeichnen zuerst ein geeignetes Koordinatensystem und zeichnen die Ursprungsfunktion ein.
  2. Dann zeichnen wir den Funktionsgraphen der Identitätsfunktion, um
  3. anschließend die Ursprungsfunktion, deren Umkehrfunktion wir bestimmen möchten, an ihr zu spiegeln.
  4. Wenn wir die Funktion an der identischen Funktion spiegeln wollen, genügen uns zwei Punkte mit ihren jeweiligen gesiegelten Bildpunkten, denn die Funktion ist eine Gerade und eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert. Um die Funktion zu spiegeln, müssen wir eine senkrechte Linie zur Identitätsfunktion ziehen, um dadurch die Punkte zu spiegeln.
  5. Dann müssen wir die Bildpunkte miteinander verbinden und wir erhalten die Umkehrfunktion.
  6. Schließlich können wir die Funktionsgleichung aus dem Koordinatensystem und dem Graphen ablesen.

• Gib die algebraische Bestimmung der Umkehrfunktion einer linearen Funktion an.

  Tipps

  Eine lineare Funktion ist durch eine Steigung ($m$) und dem Schnittpunkt mit der $y$-Achse ($c$) angegeben.

  Um die Umkehrfunktion der linearen Funktion zu bilden, müssen wir zunächst die Funktionsgleichung nach $x$ auflösen und anschließend die Variablen $x$ und $y$ vertauschen.

  Lösung

  Allgemein lautet die Funktionsgleichung einer linearen Funktion:

  $f(x):y=mx+c$ mit $m,c \in \mathbb{R}$

  Um die Umkehrfunktion der linearen Funktion zu bilden, müssen wir zunächst die Funktionsgleichung nach $x$ auflösen und anschließend die Variablen $x$ und $y$ tauschen:

  $\begin{array}{llll} y &=& m\cdot x+c & |-c \\ y-c &=& m\cdot x &|:x \\ x &=& \frac{y-c}{m} & \\ \\ y &=& \frac{x-c}{m} & \\ \end{array}$

  Wir erhalten als Umkehrfunktion:

  $f^{-1}(x)=y=\frac{x}{m}-\frac{c}{m}$

• Bestimme algebraisch die Umkehrfunktion von $f(x)=-\frac{1}{3}x+4$.

  Tipps

  Wir können die Umkehrfunktion einer Funktion entweder graphisch oder algebraisch bestimmen.

  Algebraisch können wir die Umkehrfunktion einer Funktion bestimmen, indem wir die Funktionsgleichung der Funktion nach $x$ umstellen und dann die beiden Variablen $x$ und $y$ vertauschen.

  Lösung

  Wir können die Umkehrfunktion einer Funktion entweder graphisch oder algebraisch bestimmen.

  Wenn wir die Umkehrfunktion graphisch bestimmen wollen, müssen wir die Funktion an der identischen Funktion $y=x$ spiegeln.

  Algebraisch können wir die Umkehrfunktion einer Funktion bestimmen, indem wir die Funktionsgleichung der Funktion nach $x$ umstellen und dann die beiden Variablen $x$ und $y$ vertauschen:

  $\begin{array}{llll} y &=& -\frac{1}{3}x+4 & \\ y &=& -\frac{1}{3}x+4 & |-4 \\ y-4 &=& -\frac{1}{3}x & |\cdot (-3) \\ -3 \cdot (y-4) &=& x & \\ -3y+12 &=& x & \\ \end{array}$

  Nun ist die Gleichung nach $x$ umgeformt. Als nächstes vertauschen wir die Variablen $x$ und $y$:

  $y=-3x+12$

  Unsere Umkehrfunktion lautet:

  $f^{-1}(x)=-3x+12$

• Bestimme die Umkehrfunktionen der linearen Funktionen mithilfe der allgemeinen Formel.

  Tipps

  Eine lineare Funktion ist immer durch $y=mx+c$ gegeben.

  Hier ein Beispiel. Die Umkehrfunktion von $f(x)=5x+2$ lautet $f^{-1}(x)=\frac{x}{5}-\frac{2}{5}$.

  Lösung

  Eine lineare Funktion ist immer durch $y=mx+c$ gegeben.

  Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, können wir die Werte einfach in die allgemeine Form der Umkehrfunktion bei linearen Funktionen einsetzen.

  $f^{-1}(x)=\frac{x}{m}-\frac{c}{m}$

  Wichtig hierbei ist, dass wir auf die Vorzeichen und das richtige Rechnen mit Brüchen achten.

  Wenn wir durch einen Bruch teilen, so können wir auch mit dem Kehrwert multiplizieren.

  Hierzu ein Beispiel:

  $\begin{array}{lll} f(x) &=& -\frac{3}{4}x+\frac{1}{2} \\ f^{-1}(x) &=& \frac{x}{(-\frac{3}{4})}-\frac{\frac{1}{2}}{(-\frac{3}{4})} \\ f^{-1}(x) &=& -\frac{4}{3}x+\frac{2}{3} \\ \end{array}$

• Gib die Funktionsgleichung der Funktion sowie deren Umkehrfunktion an.

  Tipps

  Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus ihrem Graphen abzulesen, müssen wir den Schnittpunkt mit der $y$-Achse ($c$ oder $b$ oder $n$) und die Steigung ($m$) bestimmen.

  Es gibt zwei Möglichkeiten, die Umkehrfunktion der Funktion anzugeben. Entweder liest du die Funktionsgleichung aus dem Graphen ab oder du bestimmst sie algebraisch.

  Lösung

  Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus ihrem Graphen abzulesen, müssen wir den Schnittpunkt mit der $y$-Achse ($c$) und die Steigung ($m$) bestimmen.

  Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse von $f$ ist $c=2$. Wir können vom Schnittpunkt mit der $y$-Achse vier Schritte nach rechts und einen Schritt nach unten gehen, um wieder auf den Graphen der Funktion zu gelangen. Die Steigung ist also $m=-\frac{1}{4}$.

  Folglich lautet die Funktionsgleichung $f(x)=-\frac{1}{4}x+2$.

  Die Umkehrfunktion wurde durch die Spiegelung des Funktionsgraphen an der Identitätsfunktion $y=x$ graphisch bestimmt.

  Nun gibt es zwei Möglichkeiten die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion anzugeben. Entweder liest du die Funktionsgleichung genau so wie bei der Funktion aus dem Graphen ab, oder du bestimmst die algebraisch.

  Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet: $f^{-1}(x)=-4x+8$

• Gib die Funktionsgleichungen von Funktion und Umkehrfunktion an.

  Tipps

  Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus ihrem Graphen abzulesen, müssen wir den Schnittpunkt mit der $y$-Achse ($c$ oder $b$ oder $n$) und die Steigung ($m$ oder $a$) bestimmen.

  Erinnere dich an das Steigungsdreieck. Suche dir zwei Punkte auf dem Funktionsgraphen. Zähle die Kästchen von Punkt zu Punkt. Wenn du erst rechts und dann hoch gehst, ist die Steigung positiv. Wenn du erst rechts und dann nach unten gehst, ist die Steigung negativ.

  Lösung

  Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus ihrem Graphen abzulesen, müssen wir den Schnittpunkt mit der $y$-Achse ($c$) und die Steigung ($m$) bestimmen. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $f(x)=m\cdot x + c$ mit $m,~c~ \in \mathbb{R}$.

  Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse von $f$ ist $c=1$.

  Wir können vom Schnittpunkt mit der $y$-Achse zwei Schritte nach rechts und drei Schritte nach oben gehen, um wieder auf dem Graphen der Funktion zu landen. Die Steigung ist also $m=\frac{3}{2}$.

  Demnach lautet die Funktion $f(x)=\frac{3}{2}x+1$.

  Die Umkehrfunktion wurde durch die Spiegelung der Funktion an der Identitätsfunktion $y=x$ graphisch bestimmt.

  Nun gibt es zwei Möglichkeiten die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion anzugeben. Entweder liest du die Funktionsgleichung genau so wie bei der Funktion aus dem Graphen ab, oder du bestimmst die algebraisch.

  Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion lautet:

  $f^{-1}(x)=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$