Umkehrfunktion von Potenzfunktionen

Umkehrfunktion von Potenzfunktionen Übung

• Beschreibe, wie du die Umkehrfunktion von $f(x)=x^3$ grafisch bestimmen kannst.

  Tipps

  Die allgemeine Form einer Potenzfunktion ist: $f(x)=ax^r+b$. Der Wert $r$ entscheidet darüber, ob die Potenzfunktion gerade oder ungerade ist. Ist $r$ gerade, so ist die Funktion eine Potenzfunktion mit geraden Exponenten.

  Die identische Funktion ordnet zu jedem $x$-Wert den gleichen $y$-Wert zu. Der Graph ist die Winkelhalbierende des ersten Quadranten.

  Bei der Umkehrfunktion vertauschen sich Definitions- und Wertebereich.

  Lösung

  Wir haben die Funktion $f(x)=x^3$ gegeben. Sie ist eine Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten, da $r=3$ aus der allgemeinen Potenzfunktion $f(x)=ax^r+b$ eine ungerade Zahl ist.

  Um die Umkehrfunktion grafisch zu bestimmen, zeichnen wir zunächst die identische Funktion in das Koordinatensystem ein. Die Funktionsgleichung der identischen Funktion lautet: $y=x$.

  Anschließend spiegeln wir den Graphen von $f$ an dem Graphen der identischen Funktion. Somit erhalten wir den Graphen der Umkehrfunktion von $f$. Wir bezeichnen die Umkehrfunktion mit $f^{-1}$.

  Abschließend schauen wir uns noch einmal den Definitions- und Wertebereich von Funktion und Umkehrfunktion an. Die Funktion $f(x)=x^3$ ist auf den reellen Zahlen definiert sein. Demzufolge ist ihr Wertebereich ebenfalls die Menge der reellen Zahlen. Bei der Umkehrfunktion vertauschen sich Definitions- und Wertebereich. Demnach sind Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion von $f(x)=x^3$ ebenfalls die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

  Bemerkung: Wir können die Umkehrfunktion angegeben. Sie lautet

  $f^{-1}(x)=\begin{cases} \sqrt[3]{x} & ,x\geq 0 \\ -\sqrt[3]{-x} & ,x\leq 0 \end{cases}$.

  Wir müssen diese Fallunterscheidung vornehmen, da man aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen darf.

• Berechne die Umkehrrelation zur angegebenen Potenzfunktion.

  Tipps

  Bei einer Funktion, die nicht eineindeutig ist, können wir algebraisch eine Umkehrrelation bestimmen.

  Forme die Gleichung zunächst nach $x$ auf.

  Um die Umkehrrelation zu erhalten, vertauscht man zum Schluss $x$ und $y$.

  Lösung

  Zum Bilden einer Umkehrfunktion muss die Ausgangsfunktion eineindeutig sein.

  Die Funktion $f(x)=x^{-2}+2$ ist keine eineindeutige Funktion, da jedem $y$-Wert größer als zwei mehr als ein $x$-Wert zugeordnet wird.

  Um trotzdem eine Umkehrfunktion zu bilden, müssen wir zunächst eine Fallunterscheidung machen.

  Diese Fallunterscheidung muss den Definitionsbereich so einschränken, damit unsere Funktion im jeweiligen beschränkten Bereich eineindeutig ist.

  Das erreichen wir, wenn unsere Funktion zweigeteilt ist. Wir definieren unsere Funktion einmal nur für die positiven reellen Zahlen. Und zweitens definieren wir unsere Funktion für die negativen reellen Zahlen.

  Wir bezeichnen die Einschränkung auf negative $x$-Stellen, also den Bereich links der y-Achse, mit $f_1$ und die Einschränkung auf positive $x$-Stellen mit $f_2$.

  Der Definitionsbereich von $f_1$ ist $\mathbb{R}^{-} \backslash \{ 0\}$ und der Definitionsbereich von $f_2$ ist $\mathbb{R}^{+} \backslash \{ 0\}$. Der Wertebereich ist für beide Funktion alle reellen Zahlen größer als $2$: $\{y \in \mathbb{R}~|~y>2\}$.

  Wir können jetzt algebraisch eine Umkehrrelation bestimmen:

  $\begin{array}{lllll} & y &=& \frac{1}{x^2}+2 & |-2 \\ \Leftrightarrow & y-2 &=& \frac{1}{x^2} & |\cdot x^2 \\ \Leftrightarrow & x^2(y-2)&=& 1 & |:(y-2) \\ \Leftrightarrow & x^2 &=& \frac{1}{(y-2)} & |\sqrt{~} \\ \Leftrightarrow & x_{1/2} &=& \pm \sqrt{\frac{1}{(y-2)}} & \\ \end{array}$

  Die Umkehrrelation bestimmen wir durch Vertauschen von $x$ und $y$:

  $y_{1/2}=\pm \sqrt{\frac{1}{(x-2)}}$.

  Der Wert unter der Wurzel darf in den reellen Zahlen niemals kleiner als „0“ sein. Deswegen muss $x$ immer größer als zwei sein.

  Die Umkehrfunktion von $f_1$ ist der negative Anteil der Umkehrrelation. Demnach ist $f^{-1}_1(x)=-\sqrt{\frac{1}{(x-2)}}$.

  Die Umkehrfunktion von $f_2$ ist der positive Anteil der Umkehrrelation. Also $f^{-1}_2(x)=\sqrt{\frac{1}{(x-2)}}$.

  Schauen wir uns noch einmal die Definition- und Wertebereiche unserer Umkehrfunktionen an:

  • Die Definitionsbereiche von $f^{-1}_1$ und $f^{-1}_2$ sind bei beiden Funktionen alle reellen Zahlen größer als zwei: $\{x \in \mathbb{R}~|~x>2\}$.
  • Der Wertebereich von $f^{-1}_1(x)$ sind die negativen reellen Zahlen ohne die Null: $\mathbb{R}^{-} \backslash \{ 0\}$.
  • Der Wertebereich von $f^{-1}_2(x)$ sind die positiven reellen Zahlen ohne die Null: $\mathbb{R}^{+} \backslash \{ 0\}$.

• Entscheide, welche der Funktionen eineindeutig ist.

  Tipps

  Eineindeutigkeit heißt, dass jedem y maximal ein x zugeordnet wird.

  Anschaulich bedeutet dies, dass eine Parallele zur x-Achse den Graphen einer eineindeutigen Funktion bloß einmal schneiden darf.

  Lösung

  In dieser Aufgaben sollen wir entscheiden, ob eine Funktion eineindeutig ist oder nicht. Wir haben jeweils den Graphen einer Funktion gegeben.

  Eineindeutigkeit heißt, dass jedem y maximal ein x zugeordnet wird. Anschaulich bedeutet dies, dass eine Parallele zur x-Achse den Graphen einer eineindeutigen Funktion bloß einmal schneiden darf.

  Ein Gegenbeispiel ist die Funktion $f(x)=x^2+1$.

  Alle positiven y-Werte größer 1 haben zwei zugehörige x-Stellen.

• Gib den Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktionen an.

  Tipps

  Überlege dir zu erst, wie Definitions- und Wertebereich von $f_1$ und $f_2$ lauten.

  Definitions- und Wertebereich kehren sich bei Umkehrfunktionen um.

  Der Definitionsbereich von $f_1$ ist $\mathbb{R}^{-} \backslash \{ 0\}$ und der Definitionsbereich von $f_2$ ist $\mathbb{R}^{+} \backslash \{ 0\}$.

  Der Wertebereich beider Potenzfunktion sind alle reelle Zahlen größer eins: $\{ y \in \mathbb{R}~|~y>1\}$.

  Lösung

  Potenzfunktion

  Der Definitionsbereich von $f_1$ ist $\mathbb{R}^{-} \backslash \{ 0\}$ und der Definitionsbereich von $f_2$ ist $\mathbb{R}^{+} \backslash \{ 0\}$.

  Der Wertebereich beider Potenzfunktion sind alle reelle Zahlen größer eins: $\{ y \in \mathbb{R}~|~y>1\}$.

  Umkehrfunktionen

  Definitions- und Wertebereich kehren sich bei Umkehrfunktionen um. Wir müssen ebenfalls die Variablen $x$ und $y$ vertauschen.

  Alternativ können wir die Umkehrrelation der Potenzfunktion algebraisch bestimmen und daraus die Definitions- und Wertebereiche der Umkehrfunktionen ablesen.

  Die Definitionsbereiche von $f^{-1}_1$ und $f^{-1}_2$ sind bei beiden Umkehrfunktionen alle reellen Zahlen größer als eins: $\{ x \in \mathbb{R}~|~x>1\}$. Damit gilt für die Wertebereiche:

  • Der Wertebereich von $f^{-1}_1$ sind die negativen reellen Zahlen ohne die Null: $\mathbb{R}^{-} \backslash \{ 0\}$.
  • Der Wertebereich von $f^{-1}_2$ sind die positiven reellen Zahlen ohne die Null: $\mathbb{R}^{+} \backslash \{ 0\}$.

• Gib die Eigenschaften eineindeutiger Funktionen an.

  Tipps

  Anschaulich darf eine Parallele zur x-Achse den Graphen einer eineindeutigen Funktion nur maximal einmal schneiden.

  Ein Gegenbeispiel für eine eineindeutige Funktion wäre die Funktion: $f(x)=x^2$.

  Diese Funktion ist keine eineindeutige Funktion.

  Lösung

  Zu jeder Ausgangsfunktion besteht dann eine Umkehrfunktion, wenn die Ausgangsfunktion eineindeutig ist. Somit ist die Eineindeutigkeit einer Funktion Voraussetzung für eine Umkehrfunktion.

  Eineindeutigkeit heißt, dass jedem y maximal ein x zugeordnet wird. Anschaulich bedeutet dies, dass eine Parallele zur x-Achse den Graphen einer eineindeutigen Funktion nur maximal einmal schneiden darf.

  Ein Gegenbeispiel wäre die Funktion $f(x)=x^2$. Dieser Funktion werden für $y>0$ immer zwei $x$-Stellen zugeordnet. Dies entspricht nicht den Kriterien einer eineindeutigen Funktion. Für Potenzfunktionen gilt nun allgemein:

  • Alle Potenzfunktionen mit geradem Exponenten besitzen keine Umkehrfunktionen, da sie keine eineindeutigen Funktionen sind. Will man dennoch eine Umkehrfunktion angeben, muss man zunächst den Definitionsbereich einschränken.
  • Alle Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten besitzen eine Umkehrfunktion, da sie eineindeutige Funktionen sind.

• Gib die Umkehrfunktion und ihren Definitionsbereich an.

  Tipps

  Bestimme zunächst die Umkehrrelation. Welche Werte kann die Umkehrfunktion nur annehmen?

  Überlege dir den Wertebereich der Ausgangsfunktion. Der Wertebereich der Ausgangsfunktion ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion.

  Lösung

  Die quadratische Funktion $f(x)=x^2-1$ ist keine eineindeutige Funktion.

  Aber da sie nur für die positiven reellen Zahlen einschließlich der Null definiert ist, weist sie in diesem Definitionsbereich eine Eineindeutigkeit vor. Wir können ihre Umkehrfunktion für den eingeschränkten Bereich bestimmen.

  Wir müssen in diesem Fall keine Fallunterscheidung machen, da die Funktion nur für die positiven reellen Zahlen und die Null definiert ist.

  Wir bestimmen also die Umkehrfunktion algebraisch:

  $\begin{align} && y&=x^2-1 &|& +1\\ &\Leftrightarrow& y+1&=x^2 &|& \sqrt{~} \\ &\Leftrightarrow& x&=\pm \sqrt{y+1} \\ &\Rightarrow& y&=\pm \sqrt{x+1} \end{align}$

  Da die Potenzfunktion nur für positive reelle Zahlen und die Null definiert ist, fällt die negative Umkehrrelation weg.

  Als Umkehrfunktion erhalten wir demnach:

  $f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}$.

  Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion sind die reellen Zahlen mit $x$ größer oder gleich $-1$.

  Der Wertebereich der Umkehrfunktion sind alle positiven reellen Zahlen einschließlich der Null.