Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen Übung

• Gib wieder, wie man eine Umkehrfunktion aus einer gegebenen Funktion bestimmt.

  Tipps

  Um eine Umkehrfunktion berechnen zu können, müssen wir zuerst sicher sein, dass unsere Zuordnung auch überhaupt eine Funktion ist. Dazu gehen wir senkrecht von links nach rechts den Graphen entlang und überprüfen, ob jedem $ x$-Wert genau ein $ y$-Wert zugeordnet ist. Bspw. ist eine Zuordnung keine Funktion, wenn ein $ x$-Wert existiert, der zwei $ y$-Werte besitzt. Auf dem Bild siehst du so einen Graphen dargestellt.

  Wenn wir wissen, dass die Zuordnung eine Funktion ist, dann können wir diese auch mit $f(x)$ benennen.

  Lösung

  Um die Umkehrfunktion einer Zuordnung herauszufinden, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:

  • Zuerst überprüfen wir, ob die gegebene Zuordnung

  $ y=3 \cdot x-6 $

  eine Funktion ist, indem wir den Senkrechten-Test am zugehörigen Graphen durchführen.

  • Wenn der Graph eine Funktion darstellt, ersetzen wir in unserer Funktion $f(x)=3 \cdot x-6 $ nun $f(x)$ durch $y$ und erhalten wieder $ y=3 \cdot x-6 $ .

  • Wir tauschen nun in unserer Funktionsgleichung jedes $x$ durch ein $ y $ und jedes $ y $ durch ein $ x $ aus und erhalten $ x=3 \cdot y-6 $.

  • Nun stellen wir die Funktionsgleichung nach $y$ um, indem wir zunächst auf beiden Seiten $6$ addieren und anschließend durch $3$ dividieren. Wir erhalten $y=\frac{1}{3} \cdot x+2 $.

  • Wir erhalten unsere Umkehrfunktion, indem wir $y$ durch $f^{-1}(x)$ austauschen:

  $ f^{-1}(x)=\frac{1}{3} \cdot x+2 $.

  Hinweis: Der Graph der Umkehrfunktion ist eine Spiegelung an der Geraden $ y = x $ der Ausgangsfunktion. Eine Besonderheit an einer Umkehrfunktion ist, dass, wenn wir die $ y$-Werte in die Umkehrfunktion einsetzen, die $ x$-Werte erhalten.

• Benenne die richtigen Aussagen über die Ermittlung einer Umkehrfunktion.

  Tipps

  Der Senkrechten-Test prüft „von links nach rechts“, ob jeder $ x$-Wert höchstens einen $y$-Wert besitzt. Falls ja, stellt die Zuordnung eine Funktion dar. Der Waagerechten-Test prüft hingegen von oben nach unten, also andersherum, ob jeder $y$-Wert höchstens einen $x$-Wert besitzt. Falls ja, besitzt die Funktion eine Umkehrfunktion.

  Bei Punkten werden einfach die $x$- und $y$-Koordinaten vertauscht.

  Lösung

  Durch den Senkrechten-Test wird überprüft, ob die Zuordnung auch eine Funktion darstellt. Hierbei ist darauf zu achten, dass es zu jedem $x$-Wert genau einen $y$-Wert gibt.

  Der Waagerechten-Test überprüft auf die gleiche Art und Weise, nur von „oben nach unten“, ob die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt.

  Die Spiegelung einer Funktion $f(x)$ an der Gerade $ y=x $ ist der Graph der zugehörigen Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$.

  Um die Umkehrung eines Punktes zu erhalten, wird die $x-$ und $y$-Koordinate einfach vertauscht.

  Diese Aufgaben sind richtig:

  • Der Senkrechten-Test prüft, ob eine Zuordnung überhaupt eine Funktion ist.
  • Die Spiegelung einer Funktion an der Gerade $ y=x $ ist der Graph der Umkehrfunktion.
  • Die Umkehrung des Punktes $P(5|3)$ ist $P(3|5)$, da bei Punkten einfach die $x$- und $y$-Koordinaten vertauscht werden.

  Diese Aufgaben sind falsch:

  • Der Senkrechten-Test prüft, ob eine Umkehrfunktion einer Funktion vorhanden ist.

  Begründung: Der Senkrechten-Test überprüft, ob die Zuordnung überhaupt eine Funktion ist. Der Waagerechten-Test überprüft, ob eine Funktion eine Umkehrfunktion hat.

  • Der Punkt $P(5|3)$ hat keine Umkehrung.

  Begründung: Jeder Punkt hat eine Umkehrung, indem einfach die $x$- und $y$-Koordinaten vertauscht werden.

• Ordne den Graphen die richtige Zuordnung zu.

  Tipps

  Um zu überprüfen, ob es sich überhaupt um eine Funktion handelt, führe den Senkrechten-Test durch, indem du von links nach rechts überprüfst, ob es zu jedem $x$-Wert auch nur einen $y$-Wert gibt.

  Um zu überprüfen, ob die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt, führe den Waagerechten-Test durch, indem du von oben nach unten überprüfst, ob es zu jedem $y$-Wert auch nur einen $x$-Wert gibt.

  Lösung

  • Keine Funktion: Hierbei wird der Senkrechten-Test durchgeführt. Wir gehen den Graphen von links nach rechts entlang. Hat ein $x$-Wert mehr als einen $y$-Wert, so ist der Graph keine Funktion.

  Der Kreis „besteht“ den Senkrechten-Test nicht, da fast alle $x$-Werte zwei $y$-Werte besitzen.

  • Funktion ohne Umkehrfunktion: Hierbei wird der Waagerechten-Test angewendet. Wir gehen nun den Graphen von oben nach unten und überprüfen, ob es zu jedem $y$-Wert mehr als einen $x$-Wert gibt. Ist dies der Fall, so handelt es sich um eine Funktion ohne Umkehrfunktion.

  Der Halbkreis stellt hier eine Funktion dar, die nur für $x$-Werte zwischen $-2$ und $1$ definiert ist. Hier wird kein $y$-Wert zweimal getroffen. Jedoch gibt es für fast jeden $y$-Wert zwei $x$-Werte, weshalb diese Funktion keine Umkehrfunktion besitzt. Der Halbkreis besitzt die Funktionsgleichung $f(x)=\sqrt{1,5^2 - (x+0,5)^2}$.

  • Funktion mit Umkehrfunktion: Wenn es für jeden $x$-Wert nur einen $y$-Wert gibt und dies auch andersherum, so handelt es sich um eine Funktion mit Umkehrfunktion. Das wird jeweils mit dem Senkrechten- und Waagerechten-Test durchgeführt.

  Die Gerade sowie der gegebene Graph einer kubischen Funktion (die Funktionsgleichung enthält ein $x^3$) „bestehen“ den Senkrechten-Test sowie den Waagerechten-Test.

• Ermittle die Umkehrfunktionen zu den gegebenen Funktionen.

  Tipps

  Ersetze $f(x)$ durch $y$ und vertausche alle $x$ durch ein $y$ und andersherum.

  Nun lösen wir die Gleichung nach $y$ auf und kennzeichnen die Umkehrfunktion mit $ f^{-1}(x) $.

  Lösung

  Folgender Lösungsweg sollte jeweils angewendet werden:

  • Wir ersetzen als Erstes $f(x)$ durch $y$.

  • Im nächsten Schritt vertauschen wir alle $x$ durch ein $y$ und andersherum.

  • Nun lösen wir die Gleichung nach $y$ auf, indem wir Äquivalenzumformungen anwenden.

  • Zum Schluss kennzeichnen wir die Umkehrfunktion noch mit $ f^{-1}(x)$.

  Exemplarisch an folgender Funktion:

  $\begin{array}{rcl} f(x)&=&2 \cdot x-4 & |& f(x) ~\text{wird durch}~ y~ \text{ersetzt} \\ y &=&2 \cdot x-4 &|& \text{Tauschen von}~ x ~\text{und}~ y\\ x &=& 2 \cdot y-4 &|& +4 \\ x+4 &=& 2 \cdot y &|& :2 \\ \frac{1}{2} \cdot x + 2 &=& y &|& \text{Kennzeichnen mit}~ f^{-1}(x)\\ f^{-1}(x) &=& \frac{1}{2} \cdot x+2 &~& \\ \end{array}$

  Folgende Zuordnungen sind korrekt:

  • $ f(x)=2 \cdot x-4 $ mit der Umkehrfunktion $ f^{-1}(x)=\frac{1}{2} \cdot x+2 $.
  • $ f(x)=3 \cdot x+4 $ mit der Umkehrfunktion $ f^{-1}(x) =\frac{1}{3} \cdot x- \frac{4}{3} $
  • $ f(x)=x-6 $ mit der Umkehrfunktion $ f^{-1}(x)=x+6 $.
  • $ f(x)=x+4 $ mit der Umkehrfunktion $ f^{-1}(x)=x-4 $.

• Gib die Anweisungen in der richtigen Reihenfolge wieder.

  Tipps

  Der Senkrechten-Test überprüft, ob eine Zuordnung eine Funktion ist.

  Mit den Äquivalenzumformungen lösen wir die Gleichung nach $y$ auf.

  Umkehrfunktionen werden immer mit $f^{-1}(x)$ gekennzeichnet.

  Lösung

  Die Sätze kannst du wie folgt vervollständigen:

  „Wir wissen, dass $ f(x)=x+5 $ eine Funktion ist. Dies haben wir durch den Senkrechten-Test herausgefunden. Die zugehörige Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ finden wir wie folgt heraus: Wir schreiben wieder $ y=x+5 $ und vertauschen alle $x$ durch ein $y$ und andersherum und erhalten $ x=y+5 $. Die Gleichung lösen wir durch Äquivalenzumformungen nach $y$ auf, indem wir auf beiden Seiten $5$ subtrahieren. Nun erhalten wir $ y=x-5 $. Zum Schluss kennzeichnen wir die Umkehrfunktion noch mit $f^{-1}(x)$. Unsere Umkehrfunktion lautet also $f^{-1}(x)=x-5$. Bei jedem einzelnen Wertepaar unserer ursprünglichen Funktion $f(x)$ sind nun die $x$- und $y$-Komponenten vertauscht.“

  • Das Besondere an dieser Umkehrfunktion ist nun, dass jeder $x$-Wert in einer Wertetabelle der $y$-Wert der Umkehrfunktion ist. Genauso ist jeder $y$-Wert in einer Wertetabelle der $x$-Wert in der Umkehrfunktion. Der Graph der Umkehrfunktion ist eine Spiegelung an der Geraden $y=x$.

• Ordne den Funktionsgraphen die richtige Umkehrfunktion zu.

  Tipps

  Als Spiegelachse kannst du die Diagonale des Koordinatensystems $ y=x $ benutzen.

  Lösung

  • Zeichne die Diagonale des Koordinatensystems $y = x$.
  • Nun spiegele die Punkte deines Graphen an dieser Diagonalen.
  • Du erhältst den Graphen der Umkehrfunktion.

  Folgende Zuordnungen gehören zusammen:

  • $f(x)=2 \cdot x+1$ mit der Umkehrfunktion $f^{-1}(x)=\frac{1}{2} \cdot x- \frac{1}{2}$
  • $ f(x)=x+2$ mit der Umkehrfunktion $f^{-1}(x)=x-2$
  • $f(x)=2 \cdot x -1$ mit der Umkehrfunktion $ f^{-1}(x)=0,5 \cdot x+0,5$
  • $f(x)=x-0,5$ mit der Umkehrfunktion $ f^{-1}(x)=x+0,5$