Wurzeln im Nenner eines Bruchs beseitigen

Wurzeln im Nenner eines Bruchs beseitigen Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Beseitigen von Wurzeln im Nenner eines Bruchs.

  Tipps

  Das ist eine Rechenregel für Wurzeln: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}= \sqrt{a \cdot b}$.

  Beim Erweitern eines Bruchs verändert der Bruch seinen Wert nicht.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Das Ergebnis einer Rechnung sollte keine Wurzel im Zähler enthalten.“

  • Im Zähler eines Bruchs stören Wurzeln nicht besonders. Wichtig ist, dass sie nicht im Nenner stehen.

  „Beim Erweitern eines Bruchs subtrahierst du von Nenner und Zähler jeweils die gleiche Zahl.“

  • Beim Erweitern eines Bruchs multiplizierst du Nenner und Zähler eines Bruchs mit der gleichen Zahl. Der Bruch verändert dabei seinen Wert nicht.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Multiplizierst du zwei Wurzeln, kannst du die Zahlen unter den Wurzeln multiplizieren und unter eine gemeinsame Wurzel schreiben.“

  • Das ist eine Rechenregel für Wurzeln: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}= \sqrt{a \cdot b}$.

  „Besteht der Nenner eines Bruchs aus einer Addition oder Subtraktion, welche eine Wurzel enthält, kannst du mit einem Term erweitern, der die Rechenoperation im Nenner umkehrt. Anschließend kannst du die dritte binomische Formel anwenden, um die Wurzel verschwinden zu lassen.“

  • Die dritte binomische Formel lautet: $(a-b) \cdot (a+b) = a^2-b^2$. Diese Formel kannst du beim Vereinfachen von Brüchen mit Wurzeln im Nenner verwenden. Beispiel:

  $~~~~~~\frac{3}{5-\sqrt{7}} \cdot \frac{5+\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}} = \frac{3(5 + \sqrt{7})}{(5-\sqrt{7}) \cdot (5+\sqrt{7})} = \frac{15+3\sqrt{7}}{5^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{15+3\sqrt{7}}{25 - 7} = \frac{15+3\sqrt{7}}{18}$.

  „Erweiterst du einen Bruch mit einer Wurzel im Nenner mit genau dieser Wurzel, erhältst du eine Wurzel im Zähler.“

  • Beim Erweitern multiplizierst du Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl. Ist dies eine Wurzel, erhältst du also eine Wurzel im Zähler: $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}} = \frac{a\cdot \sqrt{b}}{b}$.

• Gib den Bruch ohne Wurzel im Nenner an.

  Tipps

  Die dritte binomische Formel lautet: $(a-b) \cdot (a+b) = a^2-b^2$. Wenn du also zwei Terme mit umgekehrter Rechenoperation (die zweite Zahl wechselt das Vorzeichen) miteinander multiplizierst, kannst du auch die beiden Zahlen quadrieren. Dabei verschwindet die Wurzel im Nenner automatisch.

  Ist eine Zahl Teiler aller Terme im Nenner und Zähler, kannst du den Bruch kürzen.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Um die Wurzel aus dem Nenner verschwinden zu lassen, macht er sich die dritte binomische Formel zunutze. Er erweitert den Bruch mit einem Term, der die Rechenoperation im Nenner umkehrt. Hier erweitert er also mit: $5+\sqrt{7}$.

  Im Nenner kann er jetzt die dritte binomische Formel verwenden. Er erhält für den Nenner:

  $(5-\sqrt{7})(5+\sqrt{7}) = 5^2-(\sqrt{7})^2= 18$“.

  • Die dritte binomische Formel lautet: $(a-b) \cdot (a+b) = a^2-b^2$. Wenn du also zwei Terme mit umgekehrter Rechenoperation (die zweite Zahl wechselt das Vorzeichen) miteinander multiplizierst, kannst du auch die beiden Zahlen quadrieren. Dabei verschwindet die Wurzel im Nenner automatisch.

  „Diesen Bruch kann er mit $3$ kürzen. Dazu teilt er Nenner und Zähler durch diese Zahl.

  Im Zähler des Ergebnisses kann eine Wurzel stehen.“

  • $3$ ist Teiler aller Terme im Nenner und Zähler. Also kannst du hier durch $3$ kürzen. $\dfrac{3(5+\sqrt{7})}{18}=\dfrac{5+\sqrt{7}}{6}$

• Ermittle Ergebnisse der Brüche mit Wurzeln im Nenner.

  Tipps

  Du kannst die Lösungen bestimmen, indem du die Brüche geschickt erweiterst. Steht nur eine Wurzel im Nenner, erweiterst du mit dieser Wurzel.

  Wird zu der Wurzel im Nenner etwas addiert oder subtrahiert, kannst du die dritte binomische Formel verwenden, um die Wurzel im Nenner verschwinden zu lassen.

  Lösung

  Du kannst die Lösungen bestimmen, indem du die Brüche geschickt erweiterst. Steht nur eine Wurzel im Nenner, erweiterst du mit dieser Wurzel. Wird zu dieser Wurzel auch etwas addiert oder subtrahiert, kannst du die dritte binomische Formel verwenden. Damit erhältst du:

  • $\dfrac{3-\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{7}-7}{7} $

  • $\dfrac{4}{\sqrt{3}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} = \dfrac{4\sqrt{3}+8}{3-4} = \dfrac{4\sqrt{3}+8}{-1} = -4\sqrt{3}-8$

  • $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}-3}{3} $

  • $ \dfrac{2}{\sqrt{6}} \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} $

• Ermittle, wie du die Brüche ohne Wurzel im Nenner schreiben kannst.

  Tipps

  Du kannst die Lösungen bestimmen, indem du immer mit der Wurzel aus dem Nenner erweiterst.

  Lösung

  Du kannst die Lösungen bestimmen, indem du immer mit der Wurzel aus dem Nenner erweiterst:

  • $\dfrac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6} }{ \sqrt{3} }= \dfrac{2\cdot 3 + \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} }{3 }=2+ \dfrac{ \sqrt{18} }{3}$

  • $\dfrac{ \sqrt{27} }{ \sqrt{3} }=\dfrac{ \sqrt{81} }{ 3}=\dfrac{ 9}{ 3 }= 3$

  • $\dfrac{ \sqrt{3} + \sqrt{5} }{ \sqrt{5} }=1+ \dfrac{ \sqrt{3} }{\sqrt{5}}=1+ \dfrac{ \sqrt{15} }{5}$

  • $\dfrac{ \sqrt{48} }{ \sqrt{3} }=\dfrac{ \sqrt{144} }{ 3}=\dfrac{ 12}{ 3 }= 4$

• Bestimme, welche Rechenregel du anwenden kannst.

  Tipps

  Anhand der Zahlen im Nenner kannst du entscheiden, welche Rechenregel du verwenden musst, um den Bruch im Nenner verschwinden zu lassen. Steht nur eine Wurzel im Nenner, erweiterst du mit dieser Wurzel. Du brauchst also die Rechenregel:

  $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}$.

  Manchmal kannst du den Term auch vereinfachen, ohne eine der beiden Regeln anzuwenden.

  Lösung

  Anhand der Zahlen im Nenner kannst du entscheiden, welche Rechenregel du verwenden musst, um den Bruch im Nenner verschwinden zu lassen. Steht nur eine Wurzel im Nenner, erweiterst du mit dieser Wurzel. Du brauchst also die Rechenregel:

  $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}$.

  Wird zu dieser Wurzel auch etwas addiert oder subtrahiert, kannst du die dritte binomische Formel verwenden.

  $(a-b) \cdot (a+b)= a^2-b^2$

  Dann erhältst du:

  Zu $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}$ gehören diese Terme. Hier steht nur eine Wurzel im Nenner.

  • $\dfrac{3}{\sqrt{7}}$, $\dfrac{-2}{\sqrt{8}}$ und $\dfrac{7}{\sqrt{5}}$

  Zu $(a-b) \cdot (a+b)= a^2-b^2$ gehören folgende Terme. Hier wird nämlich zu der Wurzel im Nenner etwas addiert oder subtrahiert.

  • $\dfrac{3}{5-\sqrt{7}}$, $\dfrac{4}{2+\sqrt{3}}$ und $\dfrac{2}{5-\sqrt{6}}$

  Bei diesen Termen brauchst du keine der beiden Rechenregeln:

  • $\dfrac{\sqrt{7}}{-5}$ und $\dfrac{3}{\sqrt{9}}$.

  Beim ersten Term steht keine Wurzel im Nenner, während du beim zweiten die Wurzel ziehen kannst, ohne zuvor zu erweitern.

• Prüfe, welche Brüche korrekt erweitert wurden.

  Tipps

  Beim Rechnen mit Variablen kannst du genauso vorgehen wie bei Zahlen. Abhängig vom Nenner erweiterst du die Brüche so, dass die Wurzel verschwindet.

  Eine der Rechnungen kannst du so erweitern:

  $\dfrac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.

  Lösung

  Beim Rechnen mit Variablen kannst du genauso vorgehen wie bei Zahlen. Abhängig vom Nenner erweiterst du die Brüche. Dann erhältst du:

  Diese Brüche wurden nicht korrekt erweitert:

  „$\dfrac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \neq \dfrac{8a+ \sqrt{b}}{a-b}$“.

  • Hier erhältst du: $\dfrac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \dfrac{8a+ 8\sqrt{ab}}{a-b}$.

  „$\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}} \neq \sqrt{\dfrac{a}{b}}$“

  • Hier erhältst du: $\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}} \cdot \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}= \dfrac{b}{b} + \dfrac{\sqrt{ab}}{b}= 1+\sqrt{\dfrac{a}{b}}$.

  Diese Brüche wurden korrekt erweitert:

  „$\dfrac{3a}{4-\sqrt{b}} \cdot \dfrac{4+\sqrt{b}}{4+\sqrt{b}} =\dfrac{12a+3a \sqrt{b}}{16-b}$“

  „$\dfrac{3\sqrt{a}^3}{\sqrt{a}}=\dfrac{3a\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a}}= 3a$“