Wurzeln ziehen – Primfaktorzerlegung

Wurzeln ziehen – Primfaktorzerlegung Übung

• Beschreibe Schritt für Schritt das Wurzelziehen durch Primfaktorzerlegung.

  Tipps

  So sieht die Normalform einer Wurzel aus:

  $a=\sqrt[n]{c}$

  Dabei ist $n$ der Wurzelexponent, $c$ der Radikand und $a$ der Wurzelwert.

  Bei einer dritten Wurzel sucht man Dreiergruppen, um sie zu dritten Potenzen zusammenzufassen.

  Eine Quadratwurzel ist die zweite Wurzel einer Zahl. Und dies ist ein Quadrat: $3^2$.

  Primzahlen haben als Teiler nur sich selbst und die $1$. Das sind einige Beispiele für Primzahlen: $2$, $17$ und $5$.

  Lösung

  Die Normalform einer Wurzel lautet $a=\sqrt[n]{c}$. Dabei ist $n$ der Wurzelexponent, $c$ der Radikand und $a$ der Wurzelwert.
  Eine Quadratwurzel ist eine zweite Wurzel. Sie wird mit $\sqrt{~}$ oder $\sqrt[2]{~}$ ausgedrückt. Und ein Quadrat ist eine zweite Potenz, zum Beispiel $3^2$.
  Primzahlen bzw. Primfaktoren sind Zahlen, die als Teiler nur sich selbst und die $1$ haben.

  Schritt 1

  Um die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl zu ziehen, zerlegen wir den Radikanden so weit, bis er nur noch aus Primfaktoren besteht:

  $\sqrt{225}$
  $=\sqrt{9\cdot25}$
  $=\sqrt{3\cdot3\cdot5\cdot5}$

  Schritt 2

  Wegen der Quadratwurzel suchen wir Zweiergruppen von Primfaktoren und fassen diese zu Quadraten zusammen:

  $=\sqrt[2]{\underbrace{3\cdot3}\cdot\underbrace{5\cdot5}}$
  $=\sqrt[2]{3^{2}\cdot5^2}$

  Schritt 3

  Die Quadratwurzel und die Quadrate heben sich nun gegenseitig auf:

  $=3\cdot5$

  Hier lauert eine oft auftretende Fehlerquelle. Deshalb eine Warnung, unabhängig vom hier betrachteten Verfahren: Das Aufheben funktioniert nur, wenn unter der Wurzel ein Produkt oder ein Quotient steht. Wende Schritt 3 niemals auf Summen oder Differenzen unter der Wurzel an! Beispielsweise gilt:

  $\sqrt[2]{3^2 + 4^2} = 5 \neq 3 + 4$

  Schritt 4

  Rechnen wir diese beiden Werte zusammen, erhalten wir das Ergebnis für die Wurzel $\sqrt{225}$:

  $=15$

• Bestimme, welche Aussagen wahr sind.

  Tipps

  Natürliche Zahlen werden auch als „ganze, nichtnegative Zahlen“ bezeichnet.

  Sieh dir folgendes Beispiel einer Primfaktorzerlegung an:

  $\begin{array}{ll} & &\sqrt[2]{8} \\ &= &\sqrt[2]{2\cdot2\cdot2} \\ &= &\sqrt[2]{2^3} \\ &= &\sqrt[2]{2^2} \cdot \sqrt[2]{2} \\ &= &2\sqrt{2} & \end{array}$

  Dritte Wurzeln und dritte Potenzen heben sich gegenseitig auf:

  $\sqrt[3]{3^3\cdot5^3}=3\cdot5$

  Hier wird die Quersumme gebildet:

  $27=2+7=9$
  $9\div3=3$ $\rightarrow$ durch $3$ teilbar
  $27\div3=9$ $\rightarrow$ auch durch $3$ teilbar

  Lösung

  Bei der Primfaktorzerlegung einer Wurzel wird der Radikand, also die Zahl unter dem Wurzelzeichen, in Primfaktoren zerlegt. Diese werden anschließend dem Wurzelexponenten entsprechend gruppiert und schließlich wird die Wurzel aufgelöst, indem der Wurzelexponent und die Potenzen unter dem Wurzelzeichen sich gegenseitig aufheben.

  Folgende Aussagen sind wahr:

  • Die Primfaktorzerlegung kann man bei natürlichen Zahlen anwenden.
  • Quadratwurzeln und Quadrate heben sich gegenseitig auf: $\sqrt{~}$ bzw. $\sqrt[2]{~}$ und $a^2$.
  • Zahlen mit einer $5$ hinten sind immer durch $5$ teilbar.
  • Ist die Quersumme einer Zahl durch $3$ teilbar, so ist auch die ursprüngliche Zahl durch $3$ teilbar.

  Folgende Aussagen sind unwahr:

  • Jeder beliebige Radikand kann durch Primfaktorzerlegung und anschließendes Wurzelziehen eine ganze Zahl als Ergebnis haben.

  $\rightarrow$ Bei nichtnatürlichen Radikanden (z. B. $\sqrt{2,5}$ oder $\sqrt{\frac{1}{3}}$) lässt sich die Primfaktorzerlegung gar nicht erst anwenden.
  Es kann aber auch bei natürlichen Radikanden vorkommen, dass nach dem Gruppieren einzelne Primfaktoren übrig bleiben. In diesem Fall ist das Ergebnis niemals natürlich:
  $\sqrt{125} = \sqrt{5\cdot5\cdot5} = \sqrt{5\cdot 5^2} = 5 \cdot \sqrt{5} = 11,180339\ldots \mathbf{\notin \mathbb{N}}$

  • Bei dritten Wurzeln oder beliebigen $n$-ten Wurzeln lässt sich dieses Verfahren nicht anwenden.

  $\rightarrow$ Die Primfaktorzerlegung lässt sich bei jedem beliebigen Wurzelexponenten anwenden.

  • Eine Primzahl hat mehr als zwei Teiler.

  $\rightarrow$ Eine Primzahl hat nur zwei Teiler, nämlich sich selbst und $1$.

• Bilde das Ergebnis der Quadratwurzel mithilfe der Primfaktorzerlegung.

  Tipps

  Betrachte folgendes Beispiel:

  $\sqrt[2]{2\cdot2\cdot5\cdot5}$
  $=\sqrt[2]{2^{2}\cdot5^2}$
  $=2\cdot5$

  Es werden hier nur Primzahlen kleiner als $10$ verwendet.

  Lösung

  Bauer Heinrich berechnet die Seitenlänge so:

  $a=\sqrt[2]{1 225}$

  Das ist die vollständige Rechnung mit Wurzelzeichen:

  $a=\sqrt[2]{1 225}$
  $=\sqrt[2]{5\cdot245}$
  $=\sqrt[2]{5\cdot5\cdot49}$
  $=\sqrt[2]{5\cdot5\cdot7\cdot7}$

  An dieser Stelle fasst er zu Quadraten zusammen:

  $=\sqrt[2]{5^2\cdot7^2}$

  Die Quadratwurzel und die Quadrate heben sich gegenseitig auf. Übrig bleibt:

  $=5\cdot7$

  $a=35\,\text{m}$

• Entscheide, welche Ergebnisse zu den Wurzeln gehören.

  Tipps

  Sieh dir das folgende Beispiel an:

  $\begin{array}{rl} &\sqrt{900} \\ =&\sqrt[2]{900} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot450} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot225} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot5\cdot45} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot9} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot3\cdot3} \\ =&\sqrt[2]{2^2\cdot5^2\cdot3^2} \\ =&2\cdot5\cdot3 \\ =&30 \end{array}$

  Ist eine Zahl gerade, kannst du sie durch $2$ teilen.

  Hat eine Zahl hinten eine $5$, ist die Zahl durch $5$ teilbar.

  Ist die Quersumme einer Zahl durch $3$ teilbar, so ist auch die ursprüngliche Zahl durch $3$ teilbar:

  $441\rightarrow4+4+1=9$

  Lösung

  Primzahlen kleiner als $12$ sind $2$, $3$, $5$, $7$ und $11$.
  Ist eine Zahl gerade, kann man sie durch $2$ teilen. Hat sie hinten eine $5$, ist die Zahl durch $5$ teilbar. Eine Zahl ist außerdem durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

  Mit diesen Rechentricks und der Primfaktorzerlegung wurden die folgenden Ergebnisse der Wurzeln ermittelt:

  Term 1

  $\begin{array}{ll} &\sqrt{484} \\ =&\sqrt[2]{484} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot242} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot121} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot11\cdot11} \\ =&\sqrt[2]{2^2\cdot11^2} \\ =&2\cdot11 \\ =&22 \end{array}$

  Term 2

  $\begin{array}{ll} &\sqrt[3]{216} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot108} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot54} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot54} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot9} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3} \\ =&\sqrt[3]{2^3\cdot3^3} \\ =&2\cdot3 \\ =&6 \end{array}$

  Term 3

  $\begin{array}{ll} &\sqrt{44\,100} \\ =&\sqrt[2]{44\,100} \\ =&\sqrt[2]{100\cdot441} \\ =&\sqrt[2]{10\cdot10\cdot441} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot441} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot7\cdot63} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot7\cdot7\cdot9} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot7\cdot7\cdot3\cdot3} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7} \\ =&\sqrt[2]{2^2\cdot3^2\cdot5^2\cdot7^2} \\ =&2\cdot3\cdot5\cdot7 \\ =&210 \end{array}$

  Term 4

  $\begin{array}{lll} =&\sqrt[3]{74\,088} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot37\,044} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot18\,522} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot9\,261} &\vert\text{ Quersumme durch 3 teilbar} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\,087} &\vert\text{ Quersumme durch 3 teilbar} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot1\,029} &\vert\text{ Quersumme durch 3 teilbar} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot343} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot7\cdot49} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot7\cdot7\cdot7} \\ =&\sqrt[3]{2^3\cdot3^3\cdot7^3} \\ =&2\cdot3\cdot7 \\ =&42 \end{array}$

• Ermittle die Primzahlen.

  Tipps

  Primzahlen sind nur durch sich selbst und durch $1$ teilbar.

  Ist die Quersumme einer Zahl durch $3$ teilbar, so hat auch die ursprüngliche Zahl den Teiler $3$:

  $441=4+4+1=9$ $\rightarrow$ durch $3$ teilbar

  Hat eine Zahl hinten eine $5$, ist sie durch $5$ teilbar.

  Die Zahl $47$ hat die Teiler $1$ und $47$. Somit ist sie eine Primzahl.

  Lösung

  Primzahlen haben stets zwei Teiler: sich selbst und $1$. Zum Beispiel hat die Zahl $47$ die Teiler $47$ und $1$ und ist damit eine Primzahl.

  Dementsprechend sind folgende Zahlen Primzahlen:

  • $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$ und $29$

  Und folgende Zahlen sind keine Primzahlen:

  • $1$ $\rightarrow$ hat nur den Teiler $1$
  • $9$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1$, $3$ und $9$
  • $15$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1$, $3$, $5$ und $15$
  • $21$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1$, $3$, $7$ und $21$
  • $27$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1$, $3$, $9$ und $27$
  • $35$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1$, $5$, $7$ und $35$
  • $49$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1$, $7$ und $49$
  • $54$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $18$, $27$ und $54$
  • $81$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1$, $3$, $9$, $27$ und $81$

• Ordne die Ergebnisse den Wurzeln zu.

  Tipps

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\begin{array}{lll} & &\sqrt[2]{7^5} \\ &= &\sqrt[2]{7^4}\cdot\sqrt[2]{7} \\ &= &7^{\frac42}\cdot\sqrt[2]{7} & \\ &= &7^2\cdot\sqrt[2]{7} &= & 49\cdot\sqrt[2]{7} \end{array}$

  Lösung

  Nach dem Schema des oben genannten Beispiels ermitteln wir jetzt die Ergebnisse der gesuchten Terme. Dabei müssen wir nicht bei jedem Term alle oben aufgeführten Schritte anwenden.

  Term 1

  $\begin{array}{llll} & &\sqrt[2]{72} &\vert\text{ Primfaktorzerlegung} \\ &= &\sqrt[2]{3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3} & \\ &= &\sqrt[2]{3^5} &\vert\text{ Potenz auseinanderziehen} \\ &= &\sqrt[2]{3^4\cdot3} &\vert\text{ Wurzel auseinanderziehen} \\ &= &\underbrace{\sqrt[2]{3^4}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt[2]{3}}_{\text{nicht ziehbar}} &\vert\text{ Wurzeln als Potenzen schreiben} \\ &= &3^{\frac42} \cdot \sqrt[2]{3} & \\ &= &3^2 \cdot \sqrt[2]{3} & \\ &= &9\sqrt{3} & \end{array}$

  Term 2

  $\begin{array}{llll} & &\sqrt[2]{243} &\vert\text{ Primfaktorzerlegung} \\ &= &\sqrt[2]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3} & \\ &= &\sqrt[2]{2^3\cdot3^2} &\vert\text{ Potenzen auseinanderziehen} \\ &= &\sqrt[2]{2^2\cdot2\cdot3^2} &\vert\text{ Wurzel auseinanderziehen} \\ &= &\underbrace{\sqrt[2]{2^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt[2]{2}}_{\text{nicht ziehbar}}\cdot \underbrace{\sqrt[2]{3^2}}_{\text{ziehbar}} &\vert\text{ Wurzeln als Potenzen schreiben} \\ &= &2^{\frac22} \cdot \sqrt[2]{2} \cdot 3^{\frac22} & \\ &= &2^1 \cdot \sqrt[2]{2} \cdot3^1 & \\ &= &2 \cdot3\cdot\sqrt[2]{2} & \\ &= &6\sqrt{2} & \end{array}$

  Term 3

  $\begin{array}{llll} & &\sqrt[2]{a^{11}} &\vert\text{ Potenz auseinanderziehen} \\ &= &\sqrt[2]{a^{10}\cdot a} &\vert\text{ Wurzel auseinanderziehen} \\ &= &\underbrace{\sqrt[2]{a^{10}}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt[2]{a}}_{\text{nicht ziehbar}} &\vert\text{ Wurzeln als Potenzen schreiben} \\ &= &a^{\frac{10}{2}} \cdot \sqrt[2]{a} & \\ &= &a^5\sqrt[2]{a} & \end{array}$

  Term 4

  $\begin{array}{llll} & &\sqrt[2]{18a} &\vert\text{ Primfaktorzerlegung} \\ &= &\sqrt[2]{2\cdot3\cdot3\cdot a} & \\ &= &\sqrt[2]{3^2\cdot2a} &\vert\text{ Wurzel auseinanderziehen} \\ &= &\underbrace{\sqrt[2]{3^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt[2]{2a}}_{\text{nicht ziehbar}} &\vert\text{ Wurzeln als Potenzen schreiben} \\ &= &3^{\frac22}\cdot \sqrt[2]{2a} & \\ &= &3^1 \cdot \sqrt[2]{2a} & \\ &= &3\sqrt[2]{2a} \end{array}$