Balmer-Formel

Balmer-Formel Übung

• Beschreibe den Versuchsaufbau nach Balmer zur Herleitung der Balmer-Serienformel.

  Tipps

  Schaue dir das Bild an und überlege dir den Ablauf des Versuches. Beginne links.

  Elektronen sind elektrisch negativ geladen (-). Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, gegensätzliche Ladungen ziehen sich an.

  Überlege dir, welche Funktion die einzelnen optischen Bauteile im Aufbau erfüllen. Die Linse könnte zum Beispiel aus einer Lupe stammen. Das Gitter kennst du aus den Interferenzversuchen.

  Lösung

  Die Vorrichtung, die für das Experiment benötigt wird, ist hier eine Wasserstoff-Gasentladungsröhre. Innerhalb dieser Röhre befinden sich eine Kathode (negativ geladen) und eine Anode (positiv geladen). Dadurch entsteht innerhalb der Röhre ein elektrisches Feld $\vec{E}$. Von der Anode werden nun durch Glühemission Elektronen emittiert und im elektrischen Feld zur Kathode hin beschleunigt. Dabei treffen die Elektronen auf die Wasserstoffmoleküle. Durch einen inelastischen Streuprozess wird wie beim Franck-Hertz-Versuch das Wasserstoff-Gas zum Leuchten angeregt. Das dadurch emittierte Licht wird durch eine Linse gebündelt und auf ein Gitter gelenkt. Am Gitter wird das Licht je nach seiner Wellenlänge unterschiedlich stark gebeugt. Ähnlich wie bei einem Prisma kann das einfallende Licht somit in seine Spektralfarben zerlegt werden. Diese können dann auf einem Schirm betrachtet werden. Anwendung findet so ein Spektrometer zum Beispiel in der Chemie, um Aussagen über die in einer Probe vorkommenden Elemente zu machen. Das gleiche Prinzip wird auch in der Astronomie verwendet. Dort kann auf diese Weise ermittelt werden, aus welchen Elementen unsere Sonne oder andere Sterne bestehen.

• Erläutere die Anwendung der Frequenzspektren und den Nutzen der Balmer-Serienformel.

  Tipps

  Überlege dir, wozu der Versuchsaufbau von Balmer diente. Dort kamen eine Linse, ein Gitter und ein Schirm vor.

  Lösung

  Jeder Mensch hat einen individuellen und unverwechselbaren Fingerabdruck. Und genauso hat jede Atomsorte ein individuelles Spektrum, das sich von dem der anderen Atomsorten unterscheidet. Du kannst dir zum Beispiel jeden Stern als einen Tatort vorstellen und das Spektrum ist eine Wand voller individueller Fingerabdrücke der dort vorkommenden Elemente. Durch einen Vergleich mit den Spektren aus einer Datenbank können die Elemente dieses Sterns dann identifiziert werden. Die Balmer-Serienformel erlaubt nun im Speziellen sogar die Berechnung der Wasserstoff-Spektrallinien, also der Frequenzen, aus denen sich das Licht einer Wasserstoff-Gasröhre zusammensetzt. Dadurch, dass nur bestimmte Frequenzen im Wasserstoff-Spektrum zu beobachten sind, ist die Balmer-Serienformel einer der ersten Hinweise auf die quantenhafte Emission gewesen. Bei der quantenhaften Emission werden nur Lichtquanten ganz bestimmter Energie (und damit bestimmter Frequenz) emittiert. Das Wasserstoffspektrum ist für die Astronomie weiterhin von ganz zentraler Bedeutung. Außerdem ließ sich mit der Spektroskopie sogar nachweisen, dass sich das Weltall ausdehnt. Zudem kann die Spektroskopie dazu benutzt werden, um Entfernungen von Galaxien zu bestimmen.

• Leite die Balmer Serienformel her.

  Tipps

  Überlege dir, wie die Balmer-Serienformel aussehen würde, wenn du die Klammern und den Bruch ausrechnen würdest.

  Mit der Balmer-Serien-Formel wird im Allgemeinen eine Frequenz ausgerechnet. Überlege dir, welche Einheiten eine Frequenz hat.

  Lösung

  Durch reines Probieren konnte Balmer die Gemeinsamkeiten der Wellenlängen herausfinden.

  • $H_\alpha=\frac{3^2}{3^2-4}\cdot k=\frac95 \cdot 3645,6\cdot 10^{-10}\text{ m}=656,208 \text{nm}$
  • $H_\beta=\frac{4^2}{4^2-4}\cdot k=\frac{4}{3} \cdot 3645,6\cdot 10^{-10}\text{ m}=486,08\text{nm}$
  • $H_\gamma=\frac{5^2}{5^2-4}\cdot k=\frac{25}{21} \cdot 3645,6\cdot 10^{-10}\text{ m}=434,00\text{nm}$
  • $H_\sigma=\frac{6^2}{6^2-4}\cdot k=\frac{36}{32} \cdot 3645,6\cdot 10^{-10}\text{ m}=410,13\text{nm}$

  Das Wasserstoffatom kann aber auch noch weitere Wellenlängen emittieren:

  • $H_\epsilon=\frac{7^2}{7^2-4}\cdot k=\frac{49}{45} \cdot 3645,6\cdot 10^{-10}\text{ m}=396,97\text{nm}$
  • $H_\zeta=\frac{8^2}{8^2-4}\cdot k=\frac{16}{15} \cdot 3645,6\cdot 10^{-10}\text{ m}=388,86\text{nm}$

  Die kleinste Wellenlänge die Wasserstoff emittieren kann wäre $H_\eta=364,56 \text{nm}$ welches $1 \cdot k$ entspricht.

  Diese Linien sind jedoch nur schwach ausgeprägt oder befinden sich schon im UV-Bereich des Spektrums.

• Bestimme, welche Atome sich in dem Gas befinden.

  Tipps

  Jedes der Referenzspektren kann aus der Überlagerung einer oder mehrerer Atomspektren bestehen.

  Lösung

  Am leichtesten machst du dir es, indem du die gegebenen Spektren über ein Referenzspektrum hältst und vergleichst, ob dort alle vorkommenden Spektralfarben auch im atomaren Spektrum vorkommen. Zum Referenzspektrum 1 gehören somit sowohl Natrium (Na), Quecksilber (Hg) und Lithium (Li). Zum Referenzspektrum 2 gehören Barium (Ba) und Wasserstoff (H$_2$). Zum Referenzspektrum 3 gehört nur Xenon (Xe). Nach dem selben Verfahren zur Bestimmung der in einer Probe vorkommenden Elemente gehen auch die Forscher vor, egal ob es sich bei den "Proben" um Sterne oder Galaxie handelt, Gasgemische in einem Behälter oder chemische Verbindungen.

• Gib wieder, was man unter quantenhafter Emission versteht.

  Tipps

  Überlege dir, welche Bedeutung das Wort Emission hat.

  Was macht die Spektroskopie und was nutzt sie dazu?

  Lösung

  Bei der quantenhaften Emission geben die Atome nur Lichtquanten mit einer ganz bestimmten Wellenlänge $\lambda$ ab. Mit Hilfe der Relation $E=\frac{hc}{\lambda}$ kann jeder Wellenlänge auch eine Energie $E$ zugeordnet werden, $h$ ist hierbei das Planck'sche Wirkungsquantum, $c$ ist die Lichtgeschwindigkeit. Diese Energien entsprechen gerade der Differenz zweier möglicher Energiezustände, die das Elektron besetzen kann und die beim Übergang vom energetisch höheren Zustand in den energetisch niedrigeren Zustand frei wird.

• Beschreibe den Vorgang der quantenhaften Emission.

  Tipps

  Überlege dir zuerst, was in der Röhre passiert, wenn diese nicht mit Gas gefüllt wäre.

  Wenn durch einen Draht ein Strom fließt, der so hoch ist, dass der Draht zu glühen beginnt, dann treten dort Elektronen aus. Dieser Vorgang wird Glühemission genannt.

  Lösung

  Wenn durch einen Draht ein Strom fließt, der so hoch ist, dass der Draht zu glühen beginnt, dann treten dort Elektronen aus. Dieser Vorgang wird Glühemission genannt. Die freien Elektronen befinden sich dann in der Gasröhre. Aufgrund der Potentialdifferenz zwischen Anode und Kathode entsteht ein elektrisches Feld, in welchem die freien Elektronen zur Anode hin beschleunigt werden. Es fließt ein Strom. Erreichen die freien Elektronen eine bestimmte kinetische Energie $E_{kin}$, so können inelastische Stöße mit den gebundenen Elektronen der Wasserstoffmoleküle stattfinden. Dabei gibt das freie Elektron gerade so viel Energie an ein gebundenes Elektron ab, um dieses vom Energiezustand $E_1$ in den nächst höheren, erlaubten Energiezustand $E_2$ zu bringen, der auch als angeregter Energiezustand bezeichnet wird. Beim Wasserstoff gibt es sogar vier verschiedene erlaubte Energieniveaus, die angeregt werden können. Nach einer kurzen Zeit (wenige Picosekunden) geht das Wasserstoffmolekül von diesem angeregten Zustand wieder in seinen Grundzustand über, hier also vom Energiezustand $E_2$ in den Energiezustand $E_1$ über. Aber auch Übergänge von anderen Energieniveaus in den Grundzustand sind möglich. Bei diesem Übergang emittiert es ein Photon, dessen Energie hier genau der Energiedifferenz $\Delta E=E_2 - E_1$ der beiden energetisch erlaubten Zuständen $E_1$ und $E_2$ im Wasserstoffmolekül entspricht. Dieser Übergang ergibt dann die rote Linie im Wasserstoffspektrum. Die blauen und die lila Linie im Spektrum werden durch Übergänge von höheren Energieniveaus verursacht. Diese Photonenemission wird auch als quantenhafte Emission bezeichnet, da nur Photonen bestimmter Energie (und somit bestimmter Wellenlänge) emittiert werden können.