Compton-Effekt – mathematischer Hintergrund

Ich zeige hier, wie das Streuungsverhalten hochfrequenter Strahlung beim Durchgang durch Festkörper der sogenannte Compton Effekt erklärt wird, und skizziere die Herde von der Compton-Wellenlänge. Am Ende gibt es eine kleine Beispielaufgabe. Du solltest mit den Verhältnissen beim elastischen Stoß vertraut sein, den Energie- und Pulserhaltungssatz verstehen, die relativistische Energie und Impulzbeziehung kennen und die Lichtquantenhypotese und die Eigenschaften des Photons verstehen. Wenn man ein Plättchen, aus zum Beispiel Kohlenstoff mit Röntgenwellen bestrahlt, werden sie nach dem Eindringen in das Material in alle Richtungen gestreut. Mit den Mitteln der klassischen Physik würde man das Phänomen damit erklären, dass die einfallende Primärstrahlung die Atome des Materials anregt und diese dann eine Streustahlung derselben Frequenz abstrahlen. Aber hier treten Phänomene auf, die der einfachen Erklärung widersprechen. Das Auffälligste ist, das die Streuwellenlänge größer ist, als die Primärwellenlänge. Das ist das Phänomen das als der Compton Effekt bekannt ist. Dabei ist die Abweichung über dieses noch vom Streuwinkel abhängig. Je größer der Streuwinkel, desto größer die Wellenlänge des gestreuten Anteils. Also desto größer der Unterschied von Primär- und Streuwellenlänge. Selbst wenn sich mit dem klassischen Model eine Wellenlängen Änderung erklären ließe, müsste diese doch in alle Richtungen gleichmäßig auftreten. Außerdem ist der Unterschied von Primär- und Streuwellenlänge auch nicht vom bestrahlten Material abhängig. Bei gleichen Streuwinkeln erhält man immer dieselbe Differenz der Wellenlängen für verschiedene Materialien. Das bedeutet, dass der Effekt offenbar nicht von der Konfiguration der Atome abhängig ist. Zu vermuten ist also, dass er auf Wechselwirkung der Strahlung und freien Elektronen beruht. Dann liegt es nahe, die Vergrößerungen der Wellenlängen bei der Streuung mit dem Dopplereffekt zu erklären. Fliegen die Elektronen gewissermaßen von der Strahlung weg, wird die an ihnen reflektierte Strahlung eine größere Wellenlänge haben. Die wäre der Primärwertlänge natürlich direkt proportional. Aber leider zeigt sich, dass für gleiche Streuwinkel die Differenz der Wellenlänge immer dieselbe ist, ganz unabhängig von der Primärlängenwelle. Nehmen wir aber nun an, das die Röntgenstrahlung quantisiert ist und zwischen ihren Photonen und den freien Elektronen des bestrahlten Materials elastische Stöße stattfinden, können wir die Veränderungen der Wellenlängen als Veränderung der Energie der Photonen beim Stoß erklären. Die Planckformel beschreibt einen eindeutigen Zusammenhang zwischen Photonenenergie und Wellenlänge. Wenn wir für die Berechnung der Verhältnisse beim elastischen Stoß den Energieerhaltungssatz ansetzen, dann den Impulserhaltungssatz formulieren und ihn umstellen, wir gehen in unserem Fall davon aus, dass das Elektron sich vor dem Stoß in Ruhe befindet, können wir schließlich mit Hilfe der relativistisch Energieimpulsbeziehung eine Formel gewinnen, nach der sich die Größe der Wellenlängendifferenz, völlig unabhängig von Materialeigenschaften und Primärwellenlänge, ergibt. Der Propornzionalitätsfaktor h dividiert durch m0 mal c, mit m0 der hohe Maß des Elektrons, wird die Compton-Wellenlänge genannt. Sie gilt natürlich nur für Elektronen. Zum Abschluss will ich noch die Lösung einer kurzen Beispielaufgabe zeigen. Du kannst nach der Aufgabenstellung das Video anhalten und selbst einmal selbst versuchen, einen Lösungsweg zu finden und danach mit meinem vergleichen. Nehmen wir eine Primärstrahlung der Frequenz 3 mal 10 hoch 19 Herz an und die Beobachtung eines Elektrons, das nach einem Stoß durch ein Photon eine Geschwindigkeit von 6,5 mal 10 hoch 6 Meter pro Sekunde hat. Die Frage lautet, wie groß ist die Frequenz des gestreuten Photons? Meinen Lösungsweg habe ich mit folgender Überlegung entwickelt. Weil wir keine Informationen über den Streuwinkel haben, können wir die comptonsche Formel für Delta lamta nicht anwenden. Daher erinnere ich mich daran, dass ich mit bekannten Geschwindigkeiten und bekannter Masse natürlich sehr gut Energieberechnungen durchführen kann und ich setze mit dem Energieerhaltungssatz an. Ich setze für die Energie eines Photons die plancksche Beziehung ein und für die hohe Energie des Elektrons die Masse-Energieäquivalenz. Für die Energie des gestoßenen Elektrons, setze ich die relativistische Energieimpulsbeziehung an. Jetzt muss ich nur noch den Ausdruck für we× einsetzen, etwas umstellen, danach bleibt mir nur noch übrig die Werte einzusetzen und nach dem Taschenrechner zu greifen. Ich erhalte für die Frequenz der gestreuten Wellen 2,4 mal 10 hoch 19 Herz. Es wäre auch eine schöne Fingerübung aus den ermittelten Daten an den gegebenen Größen den Streuwinkel vie zuberechnen, vielleicht willst du das mal versuchen. Kurz zusammengefasst wird der Compton-Effekt, der bei kurzwelliger Strahlung auftritt, mithilfe der Quantentheorie des Lichtes oder allgemeiner der Quantentheorie der elektromagnetischen Strahlung erklärt. Es erfolgen elastische Stöße zwischen Photonen und freien Elektronen bei denen die Photonenenergie auf die Elektronen übertragen also, selbst verlieren, wodurch sich nach der planckschen Beziehung die Wellenlänge vergrößert. Die Erklärung des Compton Effektes mit dem Stoß von Lichtquanten und Elektronen waren entscheidend am Beitrag zur Bestätigung der Lichtquantenhypothese, die Einstein 1905 aufgestellt hat.