Der Hebel und das Hebelgesetz

Der Hebel und das Hebelgesetz Übung

• Definiere, wann sich ein Hebel im Gleichgewicht befindet.

  Tipps

  Lies dir jede Aussage sorgfältig durch, um zu verstehen, was sie aussagen will. Vergleiche die Aussagen miteinander und überlege, welche Aussage am besten zum Hebelgesetz passt.

  Überlege auch, was Gleichgewicht heißt: Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn er sich nicht bewegt, sondern stabil bleibt. Was bedeutet das für die Kräfte und Hebelarme an beiden Angriffspunkten?

  Denke zudem darüber nach, welche Beispiele, die das Hebelgesetz illustrieren können, du kennst: unter anderem ein Hebel, der ein Gewicht anhebt, oder ein Steg, der über einen Fluss führt.

  Teste jede Aussage mit Beispielen: Wenn eine Aussage nicht stimmt, dann wird der Hebel nicht im Gleichgewicht sein.

  Lösung

  Das Hebelgesetz besagt, dass ein Hebel im Gleichgewicht ist, wenn das Produkt aus Kraft und Hebelarm auf der einen Seite des Drehpunkts gleich dem Produkt aus Kraft und Hebelarm auf der anderen Seite des Drehpunkts ist.
  Das bedeutet, dass ein Hebel, der auf der einen Seite mit einer großen Kraft bei kleinem Hebelarm belastet wird, auf der anderen Seite mit einer kleinen Kraft bei großem Hebelarm ausgeglichen werden kann. Dieses Prinzip kommt bei vielen Alltagsgegenständen zur Anwendung, beispielsweise bei Scheren, Zangen, Waagen oder Wippen.

  • Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Produkte aus Kraft und Hebelarm an beiden Angriffspunkten gleich sind.

  $\Rightarrow$ Diese Antwort ist also richtig.

  • Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summen aus Kraft und Hebelarm an beiden Angriffspunkten gleich sind.

  $\Rightarrow$ Diese Antwort ist demnach falsch.

  • Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Differenzen aus Kraft und Hebelarm an beiden Angriffspunkten gleich sind.

  $\Rightarrow$ Diese Antwort ist ebenfalls falsch.

  • Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Quotienten aus Kraft und Hebelarm an beiden Angriffspunkten gleich sind.

  $\Rightarrow$ Diese Antwort ist auch falsch.

• Bestimme, um was für einen Hebel es sich handelt.

  Tipps

  Ein Beispiel für einen zweiseitigen Hebel ist eine ganz normale Wippe.

  Als zweiseitigen Hebel bezeichnet man einen Aufbau, der einen Drehpunkt und zwei Hebelarme hat, die zu beiden Seiten des Drehpunkts nach außen laufen.

  Ein Beispiel für einen einseitigen Hebel ist dein Unterarm.

  Der Drehpunkt bei einem einseitigen Hebel ist das Ende des Stabes.

  Lösung

  Nussknacker:

  $F_K$ muss vom Benutzer des Nussknackers aufgewendet werden und $F_L$ wirkt auf die Nussschale. Beide Kräfte greifen auf derselben Seite des Drehpunkts = Scharnier des Nussknackers an.

  $\Rightarrow$ Er ist also ein einseitiger Hebel.

  Flaschenöffner:

  Hier befindet sich der Drehpunkt an der vorderen Spitze des Flaschenöffners. Ein Kraftarm reicht von dieser Spitze bis zu der Stelle, wo du den Flaschenöffner hälst. Der andere Kraftarm reicht ebenfalls von der Spitze bis zu der Stelle, an welcher der Flaschenverschluss angehoben wird.

  $\Rightarrow$ Er ist also ein einseitiger Hebel.

  Pinzette:

  Eine Pinzette besteht aus zwei länglichen Metallstücken, die miteinander verbunden sind. Durch leichten Druck auf beide Teile kann man mit den beiden Enden der Metallstücke Gegenstände greifen. Der Drehpunkt befindet sich im Verbindungspunkt der beiden Metallstücke.

  $\Rightarrow$ Sie ist also ein einseitiger Hebel.

  Zimmermannshammer:

  Ein Zimmermannshammer besteht aus einem Griff, an dessen einem Ende sich ein Kopf mit einer flachen Schlagfläche und an dessen anderem Ende sich eine spitze Klaue zum Herausziehen von Nägeln befindet. Beim Gebrauch des Hammers wird eine Kraft auf den Hammerkopf ausgeübt, um einen Nagel in das Holz zu treiben. Durch die Hebelwirkung wird die Kraft auf den Nagel durch den Hammerkopf verstärkt. Die Spitze der Klaue wird dann verwendet, um den Nagel aus dem Holz zu ziehen. Die Schlagfläche des Hammers ist normalerweise schwerer als die Klaue, was bedeutet, dass das Verhältnis zwischen Widerstand (Nagel) und Kraft (Schlagfläche) ungleichmäßig ist. Der Hammerkopf ist demzufolge der längere Hebelarm, während die Klaue der kürzere Hebelarm ist.

  $\Rightarrow$ Er ist also ein zweiseitiger Hebel.

• Ermittle die fehlenden Werte, sodass der Hebel im Gleichgewicht ist.

  Tipps

  Wenn der eine Kraftarm kürzer wird, dann muss die Kraft, die dort angreift, größer werden. Die Produkte aus Kraft und Kraftarm sind immer gleich.

  Für die erste Zeile muss also gelten:

  $\square\cdot40=6\cdot20$

  Überlege dir nun, welche Zahl in dem Kästchen fehlt.

  Du kannst die Formel einfach umstellen:

  $\square\cdot40=120~~~~~~~~~~~|:40$

  $\square=120:40$

  Berechne das und wende diese Rechnung für alle weiteren Zeilen der Tabelle an.

  Lösung

  Wenn der eine Kraftarm kürzer wird, dann muss die Kraft, die dort angreift, größer werden. Die Produkte aus Kraft und Kraftarm sind immer gleich.
  Für die erste Zeile muss also gelten:

  $\square\cdot40=6\cdot20$

  $\square\cdot40=120~~~~~~~~~~~|:40$

  $\square=3$

  Für den Rest der Tabelle folgt:

  $\begin{array}{c|c|c|c} F_1~\text{in}~\pu{N} & r_1~\text{in}~\pu{cm} & F_2~\text{in}~\pu{N} & r_2~\text{in}~\pu{cm} \\ \hline \color{#99CC00}{3} & 40 & 6 & 20 \\ 2 & \color{#99CC00}{40} & 2 & 40 \\ 3 & 50 & 2 & \color{#99CC00}{75} \\ 2 & 80 & \color{#99CC00}{8} & 20 \end{array}$

• Berechne, wie viel Kraft Asra aufwenden muss, um den Stein zu bewegen.

  Tipps

  Die Formel des Hebelgesetzes lautet:

  $F_K\cdot r_K=F_L\cdot r_L$

  Da $F_K$ gesucht ist, musst du die Formel nach $F_K$ umstellen.

  Die umgestellte Formel lautet:

  $F_K\cdot r_K=F_L\cdot r_L~~~~~~~~~~~|:r_K$

  $F_K=\dfrac{F_L\cdot r_L}{r_K}$

  Setze in diese Formel nun alle gegebenen Werte ein und berechne.

  Lösung

  Die Formel des Hebelgesetzes lautet:

  $F_K\cdot r_K=F_L\cdot r_L$

  Diese Formel müssen wir nach $F_K$ umstellen:

  $F_K\cdot r_K=F_L\cdot r_L~~~~~~~~~~~|:r_K$

  $F_K=\dfrac{F_L\cdot r_L}{r_K}$

  Dann setzen wir alle Werte ein und berechnen:

  $F_K=\dfrac{600~\text{N}\cdot0{,}4~\text{m}}{0{,}8~\text{m}}$

  $F_K=300~\text{N}$

  $\Rightarrow$ $F_K$ muss größer sein als $300~\text{N}$, damit Asra den Stein bewegen kann.

• Beschreibe den Unterschied zwischen einseitigem und zweiseitigem Hebel.

  Tipps

  Eine Schubkarre ist ein Beispiel für einen einseitigen Hebel.

  Eine Schere ist ein Beispiel für einen zweiseitigen Hebel.

  Achte darauf, dass du die Begriffe „Last“, „Kraft“ und „Hebelarm“ genau verstehst: Welche Bedeutung haben sie im Hebelgesetz?

  Denke darüber nach, was das Gleichgewicht des Hebels ausmacht und wie die Kräfte auf den beiden Seiten des Hebels zusammenhängen müssen, um das Gleichgewicht zu halten.

  Lösung

  Ein Hebel ist ein starrer Stab oder eine Stange, der bzw. die an einem Drehpunkt befestigt ist. Der Hebel kann die aufgewendete Kraft verändern.

  Bei einem einseitigen Hebel wirkt die Last zwischen der Kraft und dem Drehpunkt. Ein Beispiel für einen einseitigen Hebel ist ein Nussknacker: Der Hebelarm der Kraft ist länger als der Hebelarm der Last. Auf diese Weise wird auf die Nuss im Nussknacker eine größere Kraft ausgeübt, als auf die Enden des Nussknackers per Hand ausgeübt wird. Ein weiteres Beispiel für einen einseitigen Hebel ist ein Flaschenöffner.

  Bei einem zweiseitigen Hebel greifen Kraft und Last auf verschiedenen Seiten des Drehpunkts an. Ein Beispiel für einen zweiseitigen Hebel ist eine Wippe. Im Gleichgewicht sind die Produkte aus Kraft und Kraftarm sowie Last und Lastarm gleich. Wird der zweiseitige Hebel als Kraftwandler benutzt, z. B. bei einer Zange oder Schere, so wird durch den kürzeren Lastarm die auf die Enden der Zange oder Schere aufgewendete Kraft verstärkt. Dann ist das Produkt aus Kraft und Kraftarm größer als das Produkt aus Last und Lastarm.

• Bestimme, wie lang der Lastarm sein müsste, um mit einem Elefanten auf einer Wippe im Gleichgewicht zu stehen.

  Tipps

  Folgendes kannst du der Aufgabe entnehmen:

  • Masse Elefant: $6~\text{t}$
  • Lastarmlänge Elefant: $1{,}5~\text{m}$
  • Masse Mensch: $75~\text{kg}$

  Im Hebelgesetz tauchen allerdings nur die Kräfte auf, die der Elefant und der Mensch auf den Lastarm ausüben. Die Kräfte, die auf den Hebel wirken, sind die Gewichtskräfte des Menschen und des Elefanten. Somit musst du diese noch berechnen. Weißt du, wie das ermittelt wird?

  Für die Gewichtskraft $F_G$ gilt:

  $F_G=m\cdot g$

  Dabei ist $g$ der Ortsfaktor mit rund $10~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Du musst ihre Massen in $\text{kg}$ angeben, also mit $10$ multiplizieren.

  Da nach der Länge des Lastarms des Menschen gesucht ist, musst du die Formel nach dieser Länge umstellen. Setze dann alle Werte ein und berechne.

  Lösung

  Folgendes können wir der Aufgabe entnehmen:

  • Masse Elefant: $6~\text{t}$
  • Lastarmlänge Elefant: $1{,}5~\text{m}$
  • Masse Mensch: $75~\text{kg}$

  Im Hebelgesetz tauchen allerdings nur die Kräfte auf, die der Elefant und der Mensch auf den Lastarm ausüben. Die Kräfte, die auf den Hebel wirken, sind die Gewichtskräfte des Menschen und des Elefanten. Somit müssen wir diese noch berechnen:

  $F_G=m\cdot g$

  Dabei ist $g$ der Ortsfaktor mit rund $10~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Wir müssen ihre Massen in $\text{kg}$ angeben, also mit $10$ multiplizieren. Es ergibt sich:

  Gewichtskraft Elefant: $6\,000~\text{kg}\cdot10~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}=60\,000~\text{N}$

  Gewichtskraft Mensch: $75~\text{kg}\cdot10~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}=750~\text{N}$

  Die Formel des Hebelgesetztes lautet:

  $F_K\cdot r_K=F_L\cdot r_L$

  Sei nun $F_K = 60\,000~\text{N}$ die Gewichtskraft des Elefanten und $r_K=1{,}5~\text{m}$ die Länge des Lastarms des Elefanten.

  Dann sei $F_L=750~\text{N}$ die Gewichtskraft des Menschen und $r_L$ die Länge des Lastarms des Menschen.

  Da nach der Länge des Lastarms des Menschen gesucht ist, stellen wir die Formel nach $r_L$ um:

  $F_K\cdot r_K=F_L\cdot r_L~~~~~~~~~~|:F_L$

  $\dfrac{F_K\cdot r_K}{F_L}=r_L$

  Dann setzen wir alle Werte ein und berechnen:

  $r_L= \dfrac{60\,000~\text{N}\cdot1{,}5~\text{m}}{750~\text{N}}$

  $r_L=120~\text{m}$

  Der Lastarm des Menschen müsste also $120~\text{m}$ lang sein, damit dies funktionieren könnte.