Die Linsengleichung

Die Linsengleichung Übung

• Beschreibe den Strahlengang an einer Sammellinse.

  Tipps

  Der pinke Strahl im Bild ist ein Mittelpunktstrahl.

  Der grüne Strahl im Bild ist der Parallelstrahl.

  Der blaue Strahl im Bild ist der Brennpunktstrahl.

  Lösung

  Betrachte noch einmal das Bild:

  Der vom Gegenstand ausgehende Parallelstrahl (in Grün) wird an der Linsenebene gebrochen und verläuft danach als Brennpunktstrahl weiter.
  Der vom Gegenstand ausgehende Brennpunktstrahl (in Blau) wird an der Linsenebene gebrochen und verläuft danach als Parallelstrahl weiter.

  Ein Mittelpunktstrahl (in Pink) wird nicht gebrochen.
  Der Weg des Lichtes ist immer umkehrbar.

• Vervollständige die Darstellung zur Bildentstehung an einer Sammellinse.

  Tipps

  Die Höhe der Kerze links ist die Gegenstandsgröße $G$.

  Die Brennweite $f$ ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Linse und dem Brennpunkt $F_1$ oder $F_2$.

  Lösung

  Schaue dir das Bild genau an: Fast alle Elemente sind mit Buchstaben beschriftet. Daran kannst du erkennen, welche Begriffe in diese Lücken gesetzt werden müssen:

  • $G$: Gegenstandsgröße
  • $g$: Gegenstandsweite
  • $F$: Brennpunkte
  • $f$: Brennweite
  • $B$: Bildgröße
  • $b$: Bildweite

  Die großen Buchstaben beschreiben den Gegenstand, das Bild und den Brennpunkt.
  Die kleinen Buchstaben beschreiben Abstände (Weiten): Gegenstandsweite, Bildweite und Brennweite.
  Die optische Achse verläuft mittig und waagerecht durch die Linse.
  Die Linsenebene verläuft mittig und senkrecht durch die Linse.

• Gib an, welche der aufgeführten Formeln das Abbildungsgesetz oder die Linsengleichung beschreiben.

  Tipps

  Im Abbildungsgesetz wird der Zusammenhang zwischen der Gegenstandsweite $g$, der Gegenstandsgröße $G$, der Bildweite $b$ und der Bildgröße $B$ dargestellt:

  $\dfrac{b}{B} = \dfrac{g}{G}$

  Mit der Linsengleichung wird der Zusammenhang zwischen der Gegenstandsweite $g$, der Bildweite $b$ und der Brennweite $f$ dargestellt:

  $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{g}$

  Lösung

  Im Abbildungsgesetz wird der Zusammenhang zwischen der Gegenstandsweite $g$, der Gegenstandsgröße $G$, der Bildweite $b$ und der Bildgröße $B$ dargestellt. Die Bildweite verhält sich zur Bildgröße wie die Gegenstandsweite zur Gegenstandsgröße. Aus diesem Zusammenhang ergibt sich die erste gesuchte Gleichung zum Abbildungsgesetz:

  $\color{#99CC00}{\dfrac{b}{B} = \dfrac{g}{G}}$

  Die andere gesuchte Gleichung kann durch Umstellen abgeleitet werden:

  $\dfrac{b}{B} = \dfrac{g}{G} \quad | \cdot {(B \cdot G)}$

  $\Rightarrow \quad \dfrac{b \cdot B \cdot G}{B} = \dfrac{g \cdot B \cdot G}{G}$

  Durch Kürzen von $B$ auf der linken Seite und $G$ auf der rechten Seite der Gleichung erhältst du die zweite gesuchte Gleichung, die dem Abbildungsgesetz zugeordnet werden kann:

  $\color{#99CC00}{b \cdot G = g \cdot B}$

  Hurra, das Abbildungsgesetz ist erledigt.

  
  

  Mit der Linsengleichung wird der Zusammenhang zwischen der Gegenstandsweite $g$, der Bildweite $b$ und der Brennweite $f$ dargestellt.

  Die Summe aus den Kehrwerten von Bildweite und Gegenstandsweite ergibt den Kehrwert der Brennweite. Daraus folgt die erste der gesuchten Gleichungen, die zur Linsengleichung zugeordnet werden kann:

  $\color{#99CC00}{\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{g}}$

  Die andere gesuchte Gleichung erhältst du ebenfalls durch Umstellung dieser Gleichung:

  $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{g} \quad | - \dfrac{1}{g}$

  $\Rightarrow \quad \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{g} = \dfrac{1}{b} \quad | \cdot {f \cdot g}$

  $\Rightarrow \quad \dfrac{f \cdot g}{f} - \dfrac{f \cdot g}{g} = \dfrac{f \cdot g}{b}$

  Du kannst dann auf der linken Seite der Gleichung beim Minuend $f$ kürzen und beim Subtrahend $g$ kürzen:

  $g - f = \dfrac{f \cdot g}{b} \quad | \cdot \dfrac{b}{g - f}$

  Das ist dann die zweite der gesuchten Gleichungen, die der Linsengleichung zugeordnet werden kann:

  $\color{#99CC00}{b = \dfrac{f \cdot g}{g - f}}$

  Hurra, die Linsengleichung ist auch geschafft.

• Berechne die jeweils fehlende Größe mit der Linsengleichung.

  Tipps

  Die Linsengleichung lautet:

  $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{g} + \dfrac{1}{b}$

  Zur Umrechnung der Einheiten solltest du wissen:

  $\pu{1 m} = \pu{100 cm} = \pu{1 000 mm}$

  Stelle die Linsengleichung nach den gesuchten Größen um und beachte, dass du die verschiedenen Größen nur in der gleichen Einheit zusammenrechnen kannst.

  Lösung

  Du kannst die Linsengleichung nutzen und mit den Kehrwerten die fehlende Größe berechnen:

  $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{g} + \dfrac{1}{b}$

  Du kannst die Formel aber auch nach den einzelnen Größen umstellen.

  
  

  1. Rechnung:

  Wir wissen, dass für die Bildweite $b$ gilt:

  • Bildweite: $b = \dfrac{f \cdot g}{g - f}$

  Außerdem kennen wir diese Größen:

  • Gegenstandsweite: $g = \pu{100 mm}$
  • Brennweite: $f = \pu{50 mm}$

  Damit ergibt sich:

  $\quad \Rightarrow$ Bildweite: $\color{#99CC00}{b = 100~\text{mm}}$

  
  

  2. Rechnung:

  Wir wissen, dass für die Gegenstandsweite $g$ gilt:

  • Gegenstandsweite: $g = \dfrac{f \cdot b}{b - f}$

  Des Weiteren kennen wir in diesem Fall diese Größen:

  • Bildweite: $b = \pu{90 m}$
  • Brennweite: $f = \pu{9 m}$

  Damit ergibt sich:

  $\quad \Rightarrow$ Gegenstandsweite: $\color{#99CC00}{g = 10~\text{m}}$

  
  

  3. Rechnung:

  Wir wissen, dass für die Brennweite $f$ gilt:

  • Brennweite: $f = \dfrac{b \cdot g}{b + g}$

  Zudem haben wir schon diese Größen:

  • Bildweite: $b = \pu{60 cm}$
  • Gegenstandsweite: $g = \pu{12 cm}$

  Damit ergibt sich:

  $\quad \Rightarrow$ Brennweite: $\color{#99CC00}{f = 100\text{mm}}$

• Gib an, mit welchen Strahlen die Konstruktion eines Bildes an einer Sammellinse möglich ist.

  Tipps

  Ein Mittelpunktstrahl verläuft durch den Schnittpunkt von optischer Achse und Linsenebene.

  Den physikalischen Begriff „Bildpunktstrahl“ gibt es bei der Betrachtung einer Sammellinse nicht.

  Lösung

  Schaue dir das Bild oben sehr gut an: Es sind drei wichtige Strahlen an der Sammellinse zu erkennen:

  • der Mittelpunktstrahl,
  • der Brennpunktstrahl und
  • der Parallelstrahl.

  Mit diesen Strahlen ist es möglich, das Bild eines Gegenstandes an einer Sammellinse zu konstruieren.

• Gib an, welche Gleichungen zur Berechnung der Bildgröße an einer Projektionswand genutzt werden können.

  Tipps

  Du kannst das Abbildungsgesetz nutzen:

  $\dfrac{b}{B} = \dfrac{g}{G}$

  Du kannst den Strahlensatz nutzen.

  Welche Formeln richtig sind, kannst du herausbekommen, indem du das Abbildungsgesetz und die aus dem Strahlensatz resultierende Formel nach der Bildgröße $B$ umstellst.

  Lösung

  Die richtigen Gleichungen sind:

  $\color{#99CC00}{B = \dfrac{b \cdot G}{g}}$

  und

  $\color{#99CC00}{B = \dfrac{G}{f} \cdot({b - f})}$

  
  

  Die erste Gleichung kann aus dem Abbildungsgesetz ermittelt werden:

  $\dfrac{B}{G} = \dfrac{b}{g}$

  Beim Umstellen nach $B$ werden beide Seiten mit $G$ multipliziert. Daraus ergibt sich:

  $B = \dfrac{b \cdot G}{g}$

  
  

  Die zweite Gleichung kann aus dem 2. Strahlensatz abgeleitet werden. Dazu kannst du dir das Bild und die Formel anschauen. Aus dem 2. Strahlensatz ergibt sich:

  $\dfrac{G}{f} = \dfrac{b}{(b-f)}$

  Wenn du beide Seiten der Gleichung mit $(b - f)$ multiplizierst, dann kannst du die Bildgröße $B$ berechnen:

  $B = \dfrac{G}{f} \cdot{(b - f)}$