Gravitationsgesetz – Massenbestimmung

Gravitationsgesetz – Massenbestimmung Übung

• Beschreibe, wie du mit Hilfe der gezeigten Formel die Masse der Sonne bestimmen kannst.

  Tipps

  Welcher der genannten Himmelskörper umkreist die Sonne?

  Mit welchen Größen beschreibt man den Umlauf dieses Körpers um die Sonne?

  Lösung

  Um die Masse der Sonne zu bestimmen, benötigst du die Informationen von einem Himmelskörper, der die Sonne umkreist. In diesem Beispiel ist dies die Erde. Die beiden zentralen Größen, mit denen die Bewegung der Erde um die Sonne beschrieben werden, sind der mittlere Abstand der Erde von der Sonne r sowie die Umlaufdauer T der Erde um die Sonne.

• Gib die Herleitung der gezeigten Formel zur Massenbestimmung mit dem Gravitationsgesetz wieder.

  Tipps

  Fertige eine Skizze an, in der die auftretenden Kräfte und die anderen physikalischen Größen verdeutlicht sind.

  Lösung

  Formeln herzuleiten ist immer etwas knifflig. So wie in diesem Fall die Herleitung der Formel zur Massenbestimmung eines Himmelskörpers. Verdeutliche dir am besten zu erst immer den gegebenen Sachverhalt und die bekannten und gesuchten Größen, meist hilft eine Skizze gut.

  Dann brauchst du eine Lösungsidee, also einen Ansatz, mit dem du weiterarbeiten kannst. Bei dieser Formel ist das die zentrale Idee, die wirkende Gravitationskraft mit der Zentripetalkraft gleichzusetzen. Das funktioniert aber nur, weil sich ein Himmelskörper auf einer kreisähnlichen Bahn um den Zentralkörper bewegt.

  Auf solche Lösungsideen kommt man am Anfang in der Regel nicht von alleine. Aber je mehr Lösungsideen für verschiedenen Problemstellungen du kennenlernst, desto leichter findest du dann auch deine eigenen Lösungswege.

• Arbeite heraus, mit welchen Informationen die Massen von Himmelskörpern berechnet werden können.

  Tipps

  Verdeutliche dir, welche Himmelskörper sich auf welchen Bahnen bewegen.

  Die Formel kann nur angewendet werden, um die Masse des Zentralkörpers aus den Daten des ihn umkreisenden Körpers zu bestimmen.

  Lösung

  In unserem Sonnensystem ist die Sonne der Körper, um den alle Planeten kreisen. Um die Masse der Sonne zu bestimmen, können die Daten jedes beliebigen Planeten des Sonnensystems verwendet werden, also sein mittlerer Abstand r zur Sonne sowie seine Umlaufdauer T um die Sonne.

  Die Masse der Planeten kann mit der gegebenen Formel nur bestimmt werden, wenn sie mindestens einen Mond besitzen. Dann nämlich ist der Planet der Zentralkörper und die Daten eines ihn umkreisenden Mondes werden zur Berechnung der Planetenmasse verwendet.

  Bei den anderen Beispielen liegen die Grundbedingungen zur Anwendung der Formel nicht vor, weil nicht die Masse des Zentralkörpers, sondern des ihn umkreisenden Körpers gesucht ist.

• Berechne die Masse des Planeten Mars.

  Tipps

  Der Rechenweg ist der gleiche wie bei der Bestimmung der Sonnenmasse. Bestimmt wird hier die Masse des Mars aus den Umlaufdaten seines Mondes Phobos.

  Notiere dir zunächst die gegebenen und gesuchten Größen. Rechne sie ggf. in Grundeinheiten um.

  Setze die Größen in die hergeleitete Formel zur Bestimmung der Masse von Himmelskörpern ein.

  Als Zwischenergebnis für den mittleren Radius r kannst du $r=9,378\cdot 10^6~m$ und für die Umlaufdauer T du $T=2,7540\cdot 10^4~s$ einsetzen.

  Lösung

  Gegeben sind folgenden Größen:

  $\begin{align} r&=9~378~km=9~378~000~m\\ &=9,378\cdot 10^6~m\\ T&=7,65~h=7,65\cdot 60\cdot 60~s\\ &=27~540~s=2,7540\cdot 10^4~s\\ G&=6,67\cdot10^{-11}~\frac {Nm^2} {kg^2} \end{align}$

  Gesucht ist die Masse M des Planeten Mars. Einsetzen in die Formel ergibt für die Masse rund $6,44\cdot 10^{23}~kg$. (siehe Rechnung)

• Zeige, dass du bei der Rechnung mit der gegebenen Formel die Einheit kg erhältst.

  Tipps

  Betrachtet man nur die Einheit einer Größe, wird diese in eckige Klammern gesetzt.

  In einem Rechenschritt wird die Einheit Newton (N) durch Grundeinheiten ersetzt.

  Da $4\pi^2$ eine Zahl und keine physikalische Größe ist, kann sie bei der Einheitenbetrachtung ignoriert werden.

  Lösung

  In diesem Fall folgt die Einheitenrechnung folgendem Schema:

  Setzte die Einheiten ein, vereinfache den Bruch soweit wie möglich, ersetze dann die abgeleitete Einheit Newton durch Grundeinheiten, vereinfache nochmals und kürze dann den Bruch. Die Schritte können natürlich variiert werden. In jedem Fall muss aber Newton (N) durch Grundeinheiten ersetzt werden.

• Vergleiche die Eigenschaften zweier fiktiver Sonnensysteme miteinander.

  Tipps

  Argumentiere mit der Formel zur Berechnung der Masse von Himmelskörpern.

  Überlege dir, welche Größen für beide Systeme gleich und welche unterschiedlich sind.

  Was bewirkt die Veränderung einer Größe in der Formel für die anderen Größen? Beachte die Potenzen!

  Lösung

  Die Masse M des Zentralkörpers, also hier des jeweiligen Sterns, hängt von zwei Größen des umkreisenden Planeten ab: dem mittleren Abstand r sowie der Umlaufdauer T. Die Masse der Planeten hingegen hat keinen Einfluss auf die beobachteten Bewegungen. Der mittlere Abstand ist in beiden Sonnensystemen gleich. Die Umlaufdauer T ist jedoch verschieden. Daher muss auch die Masse und somit die Dichte der Sterne in beiden Systemen unterschiedlich sein.

  Die Umlaufdauer T ist umkehrt proportional zur Masse M, da sie in der Formel im Nenner steht. Das heißt, eine größere Masse des Zentralkörpers bewirkt eine geringere Umlaufdauer beim Planeten. Der Stern in Sonnensystem B ist daher schwerer als in Sonnensystem A, da Planet B die kleinere Umlaufdauer besitzt. Das kann man auch noch genauer ausdrücken: die Umlaufdauer von Planet A ist dreimal so groß wie von Planet B, daher beträgt die Dichte des Sterns A nur ein Neuntel der Sternendichte von B. Das liegt daran, dass die Umlaufdauer zur Berechnung der Masse quadriert wird.