Harmonische mechanische Schwingung

Harmonische Schwingung – Physik

Es gibt in der Physik verschiedene Formen von Schwingungen. Eine wichtige Form ist die harmonische mechanische Schwingung oder auch harmonische Schwingung. Aber was ist eine harmonische Schwingung? Finde es in Text und Video heraus!

Harmonische Schwingung – Definition

Eine harmonische Schwingung erhält man in einem System, in dem gilt:

Die einzige wirkende Kraft ist die rücktreibende Kraft $F_H$ mit $F_H = -k \cdot y$. Zudem kann die Bewegung eines harmonisch schwingenden Systems als Sinus- oder Cosinusfunktion dargestellt werden.

Das sind die wichtigsten Eigenschaften der harmonischen Schwingung. Daraus folgt, dass das Federpendel unter Vernachlässigung von Luftreibung und anderen dämpfenden Effekten ein harmonischer Oszillator ist. Harmonischer Oszillator bedeutet, dass es sich um ein harmonisch schwingendes System handelt. Die vereinfachte Betrachtung des Federpendels ist demnach ein Beispiel für die harmonische Schwingung. Bei kleiner Auslenkung, das heißt Auslenkungen von weniger als $5^\circ$, führt auch das Fadenpendel eine harmonische Schwingung durch. Tritt keine Reibung auf, so spricht man von einer ungedämpften harmonischen Schwingung.

Harmonische Schwingung – Diagramm

Eine harmonische Schwingung kann in einem Diagramm dargestellt werden, das den Verlauf der Auslenkung $y(t)$ im Verhältnis zur verstrichenen Zeit $t$ darstellt – ein sogenanntes y(t)–t–Diagramm.

Dafür kann man sich die Bewegung einer Kugel an einem Federpendel vorstellen. Die Bewegung der Kugel kann in ein Diagramm übertragen werden, indem die Auslenkung, also der Abstand zur Ruhelage $y(t)$, über die Zeit $t$ abgetragen wird. Wie das aussieht, ist in der folgenden Grafik zu erkennen.

Der $y(t)$-$t$-Verlauf einer harmonischen Schwingung ist sinusförmig. Der Maximalwert der Auslenkung ist die Amplitude $A$. Bei einer ungedämpften harmonischen Schwingung ist die Amplitude $A$ konstant. Die Dauer eines einzelnen Schwingungsvorgangs ist die Periodendauer $T$.

Harmonische Schwingung – Formel

Als Grundlage für die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung schauen wir uns zuerst das zweite newtonsche Axiom an. Dieses besagt, dass die Kraft $F$ gleich der Masse $m$ mal die Beschleunigung $a$ ist. Die Beschleunigung kann auch als zweite Ableitung der Auslenkung $\ddot{y}$ geschrieben werden.

$F = m \cdot \ddot{y}(t)$

Zudem benötigen wir die Formel für die rücktreibende Kraft $F_H$. Diese ist nach dem hookeschen Gesetz:

$F_H = -k \cdot y$

Hierbei ist $k$ die Federkonstante und $y$ die Auslenkung. Da bei der harmonischen mechanischen Schwingung keine dämpfenden Terme vorhanden sind, gilt also:

$m \cdot \ddot{y}(t) = -k \cdot y(t)$

$\Leftrightarrow m \cdot \ddot{y}(t) + k \cdot y(t) = 0$

Stellen wir diese Gleichung nach $\ddot{y}(t)$ um, so erhalten wir:

$ \ddot{y}(t) = - \frac{k}{m} \cdot y(t)$

Schauen wir uns nun die Schwingungsgleichung der mechanischen Schwingung an. Diese ist durch eine Sinusfunktion gegeben. Der Maximalwert der Auslenkung ist $A$:

$y(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi)$

Das ist die Schwingungsgleichung eines harmonischen Oszillators. Dabei ist $A$ die Amplitude, $\omega$ die Kreisfrequenz und $\phi$ die Phasenverschiebung. Die Kreisfrequenz streckt oder staucht die Periodendauer. Omega ist gegeben durch:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Die Phasenverschiebung verschiebt den Graphen der Funktion nach rechts oder links im Diagramm. Nicht jede Schwingung fängt im Nullpunkt an.

Leiten wir diese Gleichung nach $t$ ab, so erhalten wir für die erste Ableitung, die die Geschwindigkeit $v(t)$ in Abhängigkeit der Zeit angibt:

$\dot{y}(t) = v(t) = A \cdot \cos(\omega t \cdot \phi) \cdot \omega$

Leiten wir diese Gleichung erneut ab, so erhalten wir die zweite Ableitung und somit die Beschleunigung der harmonischen Schwingung:

$\ddot{y}(t) = \dot{v}(t) = a(t) = A \cdot (-\sin(\omega t + \phi)) \cdot \omega^{2}$

Der Term $ A \cdot \sin(\omega t + \phi) $ entspricht gerade $y(t)$, also gilt:

$\ddot{y}(t) = -\omega^{2} \cdot y(t)$

Daraus folgt, dass:

$\omega^{2} = \frac{k}{m}$

Also ist:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Harmonische mechanische Schwingung – Zusammenfassung

Die folgenden Stichpunkte fassen die wichtigsten Fakten zu harmonischen Schwingungen noch einmal zusammen.

• Ist die einzige wirkende Kraft bei einer mechanischen Schwingung die rücktreibende Kraft $F_H = -k y$, so spricht man von einem harmonischen Oszillator.
• Der Auslenkungs-Zeit-Verlauf ($y(t)$-$t$-Verlauf) solch einer Schwingung ist sinusförmig.
• Die Lösung der Schwingungsgleichung eines harmonischen Oszillators lautet: $y(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi)$.

Zum weiteren Üben findest du Arbeitsblätter und Übungen zum harmonischen mechanischen Oszillator auf dieser Seite.