Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen

Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen

In diesem Text betrachten wir geradlinig gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegungen in einer etwas komplizierten Situation – nämlich bei einem Überholvorgang, in dem beide nacheinander vorkommen.

Geradlinig gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegungen – Bewegungsgleichungen

Wir wiederholen zunächst die Bewegungsgleichungen der geradlinig gleichförmigen Bewegung und der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Geradlinig gleichförmige Bewegungen – Bewegungsgleichungen

Dabei ist:

$s(t)$: der zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegte Weg $s$,

$v(t)$: die zum Zeitpunkt t vorliegende Geschwindigkeit,

$v_0$: die Anfangsgeschwindigkeit,

$s_0$: der Abstand zum Startpunkt zu Beginn des Vorgangs.

Bei der geradlinig gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit konstant.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegungen – Bewegungsgleichungen

Dabei ist:

$s(t)$: der zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegte Weg $s$,

$v(t)$: die zum Zeitpunkt t vorliegende Geschwindigkeit,

$a$: die Beschleunigung,

$v_0$: die Anfangsgeschwindigkeit,

$s_0$: der Abstand zum Startpunkt zu Beginn des Vorgangs.

Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung konstant.

Überholvorgang/Einholvorgang mit Vorsprung

Wir betrachten jetzt eine Aufgabe, wie sie typisch für anspruchsvolle Rechenaufgaben in der Schule ist. Dabei bewegt sich ein Körper zunächst geradlinig gleichförmig, beschleunigt dann bis zu seiner Höchstgeschwindigkeit und bewegt sich dann wieder geradlinig gleichförmig, während ein anderer Körper später startet, sofort beschleunigt und dann in einer geradlinig gleichförmigen Bewegung den anderen Körper einholt, da er schneller ist.

Gegebene Größen

Für das Cabrio:

$v_{\text{C}_{0}}=\pu{90 km//h}$ (Startgeschwindigkeit des Cabrios)

$v_{\text{C}_{\text{max}}}=\pu{180 km//h}$ (Höchstgeschwindigkeit des Cabrios)

$a_\text{C}=\pu{5m//s2}$ (Beschleunigung des Cabrios)

Für den Polizeiwagen:

$v_{\text{P}_{0}}=\pu{0 km//h}$ (Startgeschwindigkeit des Polizeiwagens)

$v_{\text{P}_{\text{max}}}=\pu{180 km//h}$ (Höchstgeschwindigkeit des Polizeiwagens)

$a_\text{P}=\pu{10m//s2}$ (Beschleunigung des Polizeiwagens)

Wir setzen als Startpunkt der Bewegung den Ort des Blitzers fest. Es gilt also:

$s_{\text{C}}(\pu{0 s})=s_{\text{P}}(\pu{0 s})= \pu{0 m}$

Umrechnung der Einheiten

Zuallererst rechnen wir die in $\pu{km//h}$ gegebenen Einheiten in $\pu{m//s}$ um. Für den zu Beginn stehenden Polizeiwagen müssen wir nicht rechnen, $\pu{0 km//h}$ sind auch $\pu{0 m//s}$.

$v_{\text{C}_{0}}=\pu{90 km//h}=\frac{90}{3,6}\pu{m//s} = \pu{25 m//s}$

$v_{\text{C}_{\text{max}}}=\pu{180 km//h}=\frac{180}{3,6}\pu{m//s} = \pu{50 m//s}$

$v_{\text{P}_{\text{max}}}=\pu{234 km//h}=\frac{234}{3,6}\pu{m//s} = \pu{65m//s}$

Analyse der Bewegungsabschnitte

In den ersten zwanzig Sekunden fährt das Cabrio mit konstanter Geschwindigkeit, während der Polizeiwagen steht. Es handelt sich also um eine geradlinig gleichförmige Bewegung.

Dann vergeht jeweils eine gewisse Zeit, in der Cabrio und Polizeiwagen beschleunigen, bis sie ihre Höchstgeschwindigkeit erreichen. Es handelt sich also jeweils um gleichmäßig beschleunigte Bewegungen.

Nach diesem für beide Fahrzeuge vermutlich verschiedenen Zeitpunkt fahren beide mit ihrer Höchstgeschwindigkeit so lange weiter, bis der Polizeiwagen das Cabrio einholt. Dies ist dann bis zu ihrem unrühmlichen Ende jeweils eine geradlinig gleichförmige Bewegung.

Die ersten zwanzig Sekunden

Wir berechnen zunächst, wie weit das Cabrio kommt, bis der Fahrer im Rückspiegel den Verfolger, also den Polizeiwagen, sieht.

$s_{\text{C}}(\pu{20 s})= \pu{25 m//s} \cdot \pu{20 s} = \pu{500 m}$

Bis dahin hat sich der Polizeiwagen nicht nennenswert bewegt.

Beschleunigungsphase des Cabrios

Wie lange dauert die Beschleunigung des Cabrios von seiner anfänglichen, bereits erhöhten Geschwindigkeit bis zu seiner Höchstgeschwindigkeit?

Die Gleichung der Geschwindigkeit für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung lautet für den vorliegenden Fall:

$v_{\text{C}_{\text{max}}}=a_\text{C} \cdot \Delta t_{\text{B}_{\text{C}}} + v_{\text{C}_{\text{0}}}$

Dabei ist $\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}$ die Beschleunigungszeit, also die Zeitspanne, die das Cabrio zum Erreichen seiner Höchstgeschwindigkeit benötigt.

Wir formen diesen Ausdruck nach $\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}$ um und setzen dann ein:

$v_{\text{C}_{\text{max}}}=a_\text{C} \cdot \Delta t_{\text{B}_{\text{C}}} + v_{\text{C}_{0}}\quad \big\vert~-v_{\text{C}_{0}}$
$a_\text{C} \cdot \Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}=v_{\text{C}_{\text{max}}}-v_{\text{C}_{0}}\quad \big\vert~:a_\text{C}$

$\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}=\dfrac{v_{\text{C}_{\text{max}}}-v_{\text{C}_{0}}}{a_\text{C}}$

$\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}=\dfrac{\pu{50 m//s}-\pu{25 m//s}}{\pu{5 m//s2}}$
$\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}=\pu{5 s}$

Zum Erreichen seiner Höchstgeschwindigkeit benötigt das Cabrio also fünf Sekunden.

Zurückgelegter Weg des Cabrios bis zum Erreichen seiner Höchstgeschwindigkeit

Wir berechnen jetzt, wie weit vom Blitzer sich das Cabrio befindet, nachdem es seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat, also nach $\pu{25 s}$.

Dies setzt sich zusammen aus den $\pu{500 m}$, die es bis zum Start des Polizeiwagens zurückgelegt hat, und der Strecke, die es in der Beschleunigungsphase zurücklegt.

$s_{\text{C}}(\pu{25 s}) = \dfrac{1}{2} \cdot a_\text{C} \cdot \Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}^2+ \color{red}{{v_{\text{C}_{0}}} \cdot \Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}} \color{666666}{+ s_{\text{C}}(\pu{20 s})}$

$s_{\text{C}}(\pu{25 s}) = \dfrac{1}{2} \cdot \pu{5 m//s2} \cdot (\pu{5 s})^2 + {\color{red}{\pu{25 m//s} \cdot \pu{5 s}}} + \pu{500 m}$

$s_{\text{C}}(\pu{25 s})=\pu{62,5 m} + \color{red}{\pu{125 m}} \color{666666}{+ \pu{500 m}}=\pu{687,5 m}$

Der rot eingefärbte Term wird oft vergessen. Während der quadratische Term aussagt, welche Strecke durch die Beschleunigung allein zurückgelegt wird, berücksichtigt der rot eingefärbte Term die Strecke, die aufgrund der Anfangsgeschwindigkeit zurückgelegt wird.

Beschleunigungsphase des Polizeiwagens

Nach zwanzig Sekunden beschleunigt der Polizeiwagen aus dem Stand. Wir berechnen zunächst die Beschleunigungszeit $\Delta t_{\text{B}_{\text{P}}}$, die der Polizeiwagen benötigt, um Höchstgeschwindigkeit zu erreichen.

Das Vorgehen ist dem Vorgehen beim Cabrio ähnlich, nur diesmal ist die Startgeschwindigkeit null:

$\Delta t_{\text{B}_{\text{P}}}=\dfrac{v_{\text{P}_{\text{max}}}-v_{\text{P}_{\text{Start}}}}{a_\text{P}}$

$\Delta t_{\text{B}_{\text{P}}}=\dfrac{\pu{65 m//s}-\pu{0}}{\pu{10 m//s2}} = \pu{6,5 s}$

Zurückgelegter Weg des Polizeiwagens bis zum Erreichen seiner Höchstgeschwindigkeit

Um den Weg des Polizeiwagens in seiner Beschleunigungsphase zu berechnen, müssen wir diesmal keine Anfangsgeschwindigkeit und keine bereits zurückgelegten Strecken berücksichtigen.

Es gilt also für den Weg des Polizeiwagens in seiner Beschleunigungsphase, also nach $\pu{26,5 s}$, von denen er die ersten zwanzig Sekunden stillsteht und dann aus dem Stand beschleunigt:

$s_{\text{P}}(\pu{26,5 s})= \dfrac{1}{2} \cdot \pu{10 m//s2} \cdot (\pu{6,5 s})^2 \color{red}{+ 0 \cdot \pu{20 s}}$
$s_{\text{P}}(\pu{26,5 s})= \pu{211,25 m}$

Der Polizeiwagen ist nach $\pu{26,5 s}$ noch nicht so weit vom Blitzer entfernt wie das Cabrio nach $25$ Sekunden. Der Einholvorgang findet also erst statt, wenn beide Wagen mit verschiedener, aber konstanter Geschwindigkeit fahren.

Um es uns möglichst einfach zu machen, setzen wir für die weitere Rechnung die Zeit bei $t=\pu{26,5 s}$ noch einmal auf null (und addieren sie nachher wieder dazu).

Damit wir aber die beiden Wagen dann vernünftig vergleichen können, sollten wir noch wissen, wo denn das Cabrio nach $t=\pu{26,5 s}$ ist.

Da es seit Sekunde $25$ mit konstanter Geschwindigkeit unterwegs ist und wir wissen, wo es sich zu diesem Zeitpunkt befindet, müssen wir nur die Strecke ausrechnen, die es in den fehlenden $\pu{1,5 s}$ zurückgelegt hat, und zu der bereits bekannten Strecke addieren:

$s_{\text{C}}(\pu{26,5 s})=s_{\text{C}}(\pu{25 s}) + v_{\text{C}_{\text{max}}} \cdot \pu{1,5 s}$
$s_{\text{C}}(\pu{26,5 s})=\pu{687,5 m} + \pu{50 m//s} \cdot \pu{1,5 s} = \pu{687,5 m} + \pu{75 m}=\pu{762,5 m}$

Einholvorgang mit Neustart der Zeit

Mit einer neuen Zeitmessung, die bei $t_{\text{alt}}=\pu{26,5 s }$ beginnt, lassen sich die Bewegungen einfach so darstellen:

$s_{\text{C}}(t_{\text{neu}})=\pu{50 m//s} \cdot t_{\text{neu}}+ \pu{762,5 m}$
$s_{\text{P}}(t_{\text{neu}})=\pu{65 m//s} \cdot t_{\text{neu}} + \pu{211,25 m}$

Wir interessieren uns nun für den Zeitpunkt $t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}$, an dem beide Wagen die gleiche Entfernung zum Blitzer haben, also der Polizeiwagen das Cabrio einholt.

Wir können diesen Zeitpunkt ermitteln, indem wir beide Gleichungen gleichsetzen und nach $t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}$ auflösen:

$s_{\text{C}}(t_{\text{neu}_{\text{Ein}}})=s_{\text{P}}(t_{\text{neu}_{\text{Ein}}})$

$\pu{50 m//s} \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}+ \pu{762,5 m}=\pu{65 m//s} \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}} + \pu{211,25 m} \quad \big\vert~-\pu{50 m//s} \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}-\pu{211,25 m}$

$ \pu{762,5 m}-\pu{211,25 m}=\pu{65 m//s} \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}-\pu{50 m//s} \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}$

$\pu{551,25 m}=\left( \pu{65 m//s} - \pu{50 m//s} \right) \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}$

$\pu{551,25 m} = \pu{15 m//s} \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}\quad \big\vert~: \pu{15 m//s}$

$t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}=\dfrac{\pu{551,25 m}}{\pu{15 m//s}}$

$t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}=\pu{36,75 s}$

$\pu{36,75 s}$ nach Beendigung des Beschleunigungsvorgangs des Polizeiwagens holt dieser das Cabrio ein!

Wo holt der Polizeiwagen das Cabrio ein?

Um diese Frage zu beantworten, setzen wir die ermittelte Zeit in die beiden Gleichungen für den Weg ein:

$s_{\text{C}}(\pu{36,75 s})=\pu{50 m//s} \cdot \pu{36,75 s}+ \pu{762,5 m}$

$s_{\text{C}}(\pu{36,75 s})=1\,837,5~\text{m}+\pu{762,5 m} =2\,600~\text{m}$

$s_{\text{P}}(\pu{36,75 s})=\pu{65 m//s} \cdot \pu{36,75 s}+ \pu{211,25 m}$

$s_{\text{P}}(\pu{36,75 s})=2\,388,75~\text{m}+\pu{211,25 m} = 2\,600~\text{m}$

Der Polizeiwagen holt das Cabrio $2\,600~\text{m}$ hinter dem Blitzer ein.

Dass wir zweimal das gleiche Ergebnis erhalten, ist eine gute Kontrollrechnung. Die beiden Autos müssen sich ja beim Einholen an der gleichen Position befinden.

Umrechnung auf die ursprüngliche Zeitmessung

Nun ermitteln wir, wie viel Zeit vergangen ist, seit das Cabrio den Blitzer passiert hat.

Dazu müssen wir nur zu der ermittelten Zeit $\pu{26,5 s}$ addieren, denn zu diesem Zeitpunkt haben wir die neue Zeitmessung begonnen.

In Formeln gilt nämlich:

$t_{\text{alt}}=t_{\text{neu}}+\pu{26,5 s}$

Also gilt:

$t_{\text{alt}_{\text{Ein}}}=\pu{36,75 s}+\pu{26,5 s}=\pu{63,25 s}$

$\pu{63,25 s}$ nachdem das Cabrio den Blitzer passiert hat, wird es vom Polizeiwagen eingeholt.

Kontrolle

Wir können die Richtigkeit des Ergebnisses auch direkt für die ursprüngliche Zeitmessung bestätigen. Wir wissen, dass das Cabrio nach Beendigung seines Beschleunigungsvorgangs, also nach $\pu{25 s}$, eine Strecke von $\pu{687,5 m}$ zurückgelegt hat.

Von da an fährt es mit seiner Höchstgeschwindigkeit $v_{\text{C}_{\text{max}}}=\pu{50 m//s}$ und legt dann in den verbleibenden $\pu{63,25 s}-\pu{25 s}=\pu{38,25 s}$ die Strecke $\pu{50 m//s} \cdot \pu{38,25 s}=1\,912,5~\text{m}$ zurück. Insgesamt ergibt das eine Strecke von $\pu{687,5 m}+1\,912,5~\text{m}=2\,600~\text{m}$. Unsere Rechnung stimmt also.

Häufig gestellte Fragen zum Rechnen mit beschleunigten und zusammengesetzten Bewegungen