Strahlungs- und Energiehaushalt der Erde

Auf der Erde kann aufgrund der Atmosphäre nicht der Wert der Solarkonstante $S_0$ angenommen werden. Es kommt aufgrund von Reflexion, Absorption und anderen Erscheinungen zu Verlusten der auftreffenden Energiestromdichte $S$. Der Einfluss der Erdatmosphäre auf die empfangenen Sonnenstrahlen ist sehr komplex.

Es soll der auf die Erdatmosphäre auftreffende Energiestrom $P_{OA}$ bestimmt werden. Wir kennen die Solarkonstante $S_0$ und wissen, dass diese $S_0=\pu{1,37 kW//m2}$ beträgt. Sie ist definiert als die Energiestromdichte, die auf der Oberfläche der Erdatmosphäre auftrifft.

Gegeben ist:

• Solarkonstante $S_0=\pu{1,37 kW//m2}$
• Erdradius $r_E=\pu{6 371 km}$
• Höhe der Atmosphäre $h_A=\pu{500 km}$

Wir kennen die Formel für die Energiestromdichte $S$:

$S=\dfrac{P}{A}$

Das Umstellen der Formel nach $P$ und das Einsetzen der Solarkonstante $S_0$ ergibt für den auf die Oberfläche der Erdatmosphäre auftreffenden Energiestrom $P_{OA}$:

$P_{OA}=S_0\cdot A$

Als Formelzeichen für den Energiestrom, der an der Oberfläche der Erdatmosphäre ankommt, wählen wir ein $P_{OA}$. Jetzt müssen wir uns nur noch überlegen, wie wir die Fläche der Erdatmosphäre herausfinden, die von der Sonne bestrahlt wird. Die Oberfläche einer Kugel lässt sich mit der Formel $A_O=4\pi r²$ berechnen.

Doch können wir das einfach einsetzen? Um diese Frage zu klären, schau dir die folgende Abbildung an.

Da die Sonne in Wirklichkeit ca. $110$-mal so groß ist wie die Erde, kann man davon ausgehen, dass die Sonnenstrahlen parallel verlaufen. In einer der Realität entsprechenden Darstellung würde man die Erde gar nicht einzeichnen können.

Wenn du dir also vorstellst, dass du genau mittig auf einen kleinen, weit entfernten Ball schaust, erscheint der Ball für dich lediglich wie ein Kreis! Das Gleiche gilt auch in unserer Berechnung mit der Sonne und der Erde. Wenn wir die Erde als Kugel betrachten, ist die von der Sonne beleuchtete Fläche ein Kreis. Somit ist die getroffene Erdfläche:

$A_O=\pi\cdot r²$

Aber Achtung! Es wird die Oberfläche der Erdatmosphäre bestrahlt (das folgt aus der Definition der Solarkonstante $S_0$). Für $r$ gilt also:

$r=r_E+h_A=\pu{6 871 km}$

Setzen wir nun die Werte in $P_{OA}=S_0\cdot A$ ein, erhalten wir Folgendes.

Aber Achtung: Du musst Längen immer in Meter angeben und auch Kilowatt in Watt umrechnen! (SI-Einheiten beachten!)

$P_{OA}=\pu{1 370 W//m2} \cdot \pi \cdot (\pu{6871000 m2})=2{,}03 \cdot 10^{17}~\pu{W}$

Der auf die Oberfläche der Erdatmosphäre auftreffende Energiestrom $P_{OA}$ beträgt also insgesamt:

$P_{OA}=2{,}03 \cdot 10^{17}~\pu{W}$

Dieser Wert ist $17\,000$-mal so groß wie die gesamte auf der Erde gehandelte Energie! Also die Energie, die durch Kraftwerke erzeugt und ins Netz gespeist wurde. Wir müssten sie nur nutzbar machen.

Wenn wir nun den auftreffenden Energiestrom auf der Erde $P_E$ berechnen wollen, wird sich der Radius $r$ der Kugel verändern und nur noch der Erdradius muss beachtet werden. Es folgt für $r$:

$r=r_E=\pu{6 371 km}$

Für $P_E$ folgt also direkt:

$P_E=1{,}747\cdot 10^{17}~\pu{W}$

Wir kennen nun den Betrag des Energiestroms der Sonne, der die Oberfläche der Erdatmosphäre trifft. Dieser ist bereits unglaublich groß und stellt aber nur einen Bruchteil der gesamten Strahlungsleistung der Sonne $P_S$ dar. In dieser Aufgabe wollen wir nun die gesamte Strahlungsleistung der Sonne $P_S$ berechnen – also die Energie, die die Sonne insgesamt in einer Sekunde abstrahlt.

Gegeben ist:

• $S_0=\pu{1,37 kW//m2}$
• Abstand der Erdoberfläche von der Sonnenoberfläche $r= 149\,600\,000~\text{km}$
• Höhe der Atmosphäre $r_A=\pu{500 km}$

Bekannt ist uns wieder durch die Solarkonstante $S_0$, wie viel Energie im Durchschnitt auf einen Quadratmeter der Oberfläche der Erdatmosphäre auftrifft. Wie in der vorherigen Beispielaufgabe ergibt sich somit für die Strahlungsleistung der Sonne $P_S$:

$P_S=S_0\cdot A$

Wir müssen also einen Weg suchen, wie wir die gesamte abgestrahlte Leistung der Sonne erfassen können. $S_0$ aus der Formel ist uns bekannt. Wir müssen nur für die Fläche $A$ einen Ausdruck finden.

Du ahnst es bestimmt: Auch hierfür müssen wir wieder eine geometrische Überlegung anstellen. Diese sind nebenbei bemerkt unglaublich hilfreich in der Physik! Eine saubere Skizze der Aufgabe wird dir in unglaublich vielen Fällen die richtige Lösung der Aufgabe bieten können.

Die Skizze ist aber nur zweidimensional. Da müssen wir aufpassen! In Wirklichkeit ist die Sonne eine Kugel und auch der Kreis, den wir mit einem Abstand $r_E$ um die Sonne legen, wäre in Wirklichkeit eine Kugeloberfläche!

Multiplizieren wir also die Solarkonstante $S_0$ mit der Oberfläche der Kugel erhalten wir unsere Lösung:

$P_S=S_0\cdot 4\pi r²$
Nun müssen wir nur noch klären, wie groß der Radius $r$ der Kugeloberfläche ist. Wegen der Solarkonstante behandeln wir hier die Oberfläche der Erdatmosphäre! Also ergibt sich für den Radius der Kugeloberfläche:

$r=r_E-r_A=149\,600\,000~\pu{km} - \pu{500 km} = 149\,599\,500~\pu{km}$

Das Einsetzen der Werte in unsere Gleichung liefert uns:

$P_S=1\,370~\frac{\text{W}}{\text{m}^2} \cdot 4\pi \cdot (149\,599\,500\,000~\text{m})^2$

Und somit schlussendlich:

$P_S=3\,850\cdot 10^{23}~ \pu{W} = 3{,}85\cdot 10^{23}~ \pu{kW}$

Die Strahlungsleistung der Sonne beträgt also insgesamt $P_S=3{,}85\cdot 10^{23} ~\pu{kW}$.

Mit Beachtung der Atmosphäre ergibt sich:

$P_{S,1}=1\,370~\frac{\text{W}}{\text{m}^2}\cdot4\pi\cdot(149\,599\,500\,000\pu{m})^2=3{,}852926\cdot 10^{23}~\pu{kW}$

Ohne Beachtung der Atmosphäre ergibt sich:

$P_{S,2}=\pu{1 370 W//m2} \cdot 4 \pi \cdot (149\,600\,000\,000\pu{m})^2=3{,}852952\cdot 10^{23}~\pu{kW}$

Die Ergebnisse unterscheiden sich erst an der fünften Nachkommastelle! Du kannst es in diesem Fall tatsächlich vernachlässigen.

Um die Energiestromdichte an der Oberfläche der Sonne $S_{OS}$ zu berechnen, benötigen wir unser Ergebnis der gesamten Energiestromstärke bzw. der gesamten Strahlungsleistung der Sonne $P_S$ aus der vorherigen Aufgabe und den gelernten Zusammenhang für die Energiestromdichte:

$S_S=\dfrac{P_S}{A}$

Aber was müssen wir nun hier für die Fläche $A$ einsetzen?

Der Name Energiestromdichte an der Oberfläche der Sonne $S_{OS}$ verrät es uns bereits. Das heißt, unsere Fläche ergibt sich durch die Oberfläche der Sonnenkugel mit dem Radius der Sonne $r_S$. Somit ist für $A$ und den Sonnenradius $r_S$ das Folgende einzusetzen:

$A=4\pi\cdot {r_S}^2$ und $r_S=696\,000~\pu{km}$

Insgesamt ergibt das Einsetzen der Werte:

$S_{OS} =\dfrac{3\,850\cdot 10^{23}~\pu{W}}{4\pi\cdot (696\,000\,000~ \pu{m})^2} = 63\,245\,000~ \pu{W//m2} = 63\,245~ \pu{kW//m2}$

Die Energiestromdichte an der Oberfläche der Sonne $S_{OS}$ beträgt also insgesamt $S_{OS}=63\,245~ \pu{kW//m2}$.

Der Strahlungs- und Energiehaushalt meint die Aufnahme, Reflexion und Umwandlung der von der Sonne in Form von Strahlung abgegebenen Energie in der Atmosphäre der Erde und auf der Erdoberfläche.

Die Solarkonstante S$_0$ gibt die durchschnittliche Leistung pro Fläche an, die senkrecht auf die Erdatmosphäre auftrifft. Sie beträgt $S_0=1,37\pu{kJ//m2*s}=\pu{1,37 kW//m2}$ und ist ein Maß für die Energiestromdichte $S$ des Sonnenlichts an der oberen Grenze der Erdatmosphäre. Aufgrund von Verlusteffekten in der Erdatmosphäre ist sie immer kleiner als die Energiestromdichte, die auf die Erdoberfläche trifft!

Während die Energiestromstärke $P$ angibt, wie schnell eine gewisse Energie $E$ übertragen wird und somit eine Leistung darstellt, bezieht sich die Energiestromdichte auf die Energiestromstärke, die senkrecht auf eine gewisse Fläche $A$ auftrifft!