Additionsverfahren

Additionsverfahren Übung

• Bestimme die Lösung.

  Tipps

  Multipliziere jeden Term der Gleichung $\text{I}$ mit $2$ und trage die Ergebnisse in die oberste Zeile mit Lücken ein.

  Addiere die mit $2$ multiplizierte Gleichung zu der Gleichung $\text{II}$ und trage die Koeffizienten der Variablen ein, die nicht wegfällt.

  Setze das Ergebnis für die Variable $y$ in die Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach der Variablen $x$ auf.

  Lösung

  Mit dem Additionsverfahren kannst du lineare Gleichungssysteme aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen lösen. Direkt anwendbar ist das Additionsverfahren, wenn der Koeffizient einer der Variablen in beiden Gleichungen mit demselben Betrag, aber verschiedenen Vorzeichen vorkommt. In diesem Fall kannst du die Gleichungen addieren und erhältst eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die du lösen kannst.

  Ist der Koeffizient einer Variablen in einer Gleichung ein Vielfaches des Koeffizienten derselben Variablen in der anderen Gleichung, so kannst du das Additionsverfahren auch anwenden. Dazu musst du einen Faktor ermitteln, mit dem die andere Gleichung multipliziert werden muss, um für eine Variable betragsgleiche Koeffizienten mit verschiedenen Vorzeichen zu erhalten. Mit diesem Faktor muss dann die ganze Gleichung multipliziert werden. Dann kannst du das Additionsverfahren anwenden.

  Nachdem du die eine verbliebene Gleichung nach der Variablen aufgelöst hast, kannst du den erhaltenen Wert in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen und so den Wert der anderen Variablen bestimmen.

  Hier ist die Rechnung im konkreten Fall: Das lineare Gleichungssystem lautet:

  $ \begin{array}{rrcll} \text{I} & 10x+5y &=& 15 \\ \text{II} & -20x -8y &=& -8 \end{array} $

  Du multiplizierst die erste Gleichung mit $2$ und erhältst:

  $ \begin{array}{rrcll} \text{I}' & 20x+10y &=& 30 & \\ \end{array} $

  Dann addierst du die beiden unteren Gleichungen $\text{I}'$ und $\text{II}$ und erhältst:

  $ \begin{array}{rrcll} \text{I}' +\text{II} & 10y -8y &=& 30 -8 \\ & 2y &=& 22 & \vert :2 \\ & y &=& 11 \end{array} $

  Nun setzt du den Wert $y=11$ in die Gleichung $\text{I}$ ein und erhältst:

  $ \begin{array}{rrcll} 10x + 5 \cdot 11 &=& 15 & \vert-55 \\ 10x &=& -40 & \vert :10\\ x&=& -4 & \end{array} $

• Beschreibe die Anwendung des Additionsverfahrens.

  Tipps

  Jedes lineare Gleichungssystem hat keine, eine oder unendlich viele Lösungen.

  Auf das lineare Gleichungssystem

  $\begin{array} {rcl} 3x+4y & = & 2 \\ 2x+3y & = & 4 \end{array}$

  ist das Additionsverfahren nicht direkt anwendbar.

  Mit dem Gleichsetzungsverfahren kannst du Gleichungssysteme lösen, bei denen beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind.

  Lösung

  Die Idee des Additionsverfahrens ist, die beiden Gleichungen zu addieren, um eine Gleichung mit nur noch einer Variablen zu erhalten. Das gelingt dann, wenn eine der Variablen in beiden Gleichungen mit betragsgleichen Koeffizienten und unterschiedlichen Vorzeichen auftritt. Ist das nicht der Fall, so kannst du das Additionsverfahren nicht direkt anwenden. Oft kannst du aber eine der Gleichungen mit einem Faktor multiplizieren und dadurch betragsgleiche Koeffizienten mit verschiedenen Vorzeichen erreichen.

  Für ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen gibt es entweder keine oder genau eine oder unendlich viele Lösungen. Andere Fälle sind nicht möglich. Jede Lösung besteht dann aus einem Wertepaar, nämlich einem Wert für jede Variable.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Jede Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen besteht aus zwei Werten, einem für jede Variable.“ Eine Lösung besteht also immer aus zwei Werten oder einem Wertepaar.

  • „Das Additionsverfahren ist direkt anwendbar, wenn die Koeffizienten einer Variablen in den Gleichungen denselben Betrag, aber verschiedene Vorzeichen haben.“ Addierst du unter dieser Voraussetzung die beiden Gleichungen, so heben sich die Terme mit betragsgleichen Koeffizienten verschiedenen Vorzeichens auf. Übrig bleibt eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die du nach der Variablen auflösen kannst.

  • „Enthält die Gleichung nach Anwendung des Additionsverfahrens keine Variable mehr, so ist das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar.“ Ohne Variablen ist die resultierende Gleichung eine Gleichung zweier Zahlen. Sind die beiden Zahlen gleich, so hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, sind sie ungleich, so hat es keine Lösung. In beiden Fällen ist es nicht eindeutig lösbar.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Jedes lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen hat zwei Lösungen.“ Es gibt kein Gleichungssystem mit genau zwei Lösungen. Jede Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen besteht aus zwei Werten, nämlich einem für jede Variable. Ein solches Wertepaar ist trotzdem nur eine Lösung.

  • „Mit dem Additionsverfahren kannst du nur Gleichungssysteme lösen, bei denen die Gleichungen jeweils nach einer Variable aufgelöst sind.“ Dies ist eine notwendige Voraussetzung zur Anwendung des Gleichsetzungverfahrens, nicht des Additionsverfahrens.

  • „Das Additionsverfahren ist direkt anwendbar, wenn die Koeffizienten einer Variablen in den Gleichungen verschiedene Beträge, aber dasselbe Vorzeichen haben.“ Stattdessen brauchst du Koeffizienten derselben Variablen, die denselben Betrag und verschiedene Vorzeichen haben. In diesem Fall heben sich nämlich diese beiden Terme bei Addition der Gleichungen auf. Übrig bleibt eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die du nun direkt lösen kannst.

• Bestimme die Lösung.

  Tipps

  Multipliziere die Gleichung $\text{II}$ mit einer geeigneten Zahl, sodass die Koeffizienten der Variablen $x$ in der Gleichung $\text{I}$ und der multiplizierten Gleichung $\text{II}$ denselben Betrag und verschiedene Vorzeichen erhalten.

  Löse die addierten Gleichungen nach der Variablen $y$ auf.

  Setze den Wert der Variablen $y$ in die erste Gleichung ein, um den Wert der Variablen $x$ zu bestimmen.

  Lösung

  Mit dem Additionsverfahren kannst du lineare Gleichungssysteme lösen. Um zu erreichen, dass sich bei Addition der beiden Gleichungen alle Terme einer Variablen gegenseitig aufheben, musst du zuvor erreichen, dass betragsgleiche Koeffizienten verschiedener Vorzeichen in den beiden Gleichungen stehen. Die Koeffizienten der Variablen $x$ in den beiden Gleichungen $\text I$ und $\text{II}$ haben verschiedene Vorzeichen, aber nicht denselben Betrag. Das kannst du ändern, indem du die Gleichung $\text{II}$ mit $3$ multiplizierst. So erhältst du die Gleichung $\text{II}'$:

  $\text{II}' \qquad -3x+ 9y = -15 $

  Nun kannst du die Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}'$ addieren. Sortierst du die Terme jeweils nach den Variablen, so erhältst du:

  $3x+(-3x) + (-2y) + 9y = 1+(-15)$

  Nun kannst du die Terme mit derselben Variablen zusammenfassen bzw. die Koeffizienten ausklammern. Die Terme $3x$ und $-3x$ heben einander auf. Das war ja genau der Zweck der Addition der Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}'$. Übrig bleibt also:

  $7y = -14$

  Dividierst du die Gleichung durch $7$, so hast du sie nach der Variablen $y$ aufgelöst und erhältst:

  $y=-2$

  Um den Wert der anderen Variablen $x$ zu bestimmen, kannst du $y=-2$ in eine der Gleichungen $\text{I}$ oder $\text{II}$ oder $\text{II}'$ einsetzen und dann nach der Variablen $x$ auflösen. Für die Gleichung $\text{I}$ sieht die Rechnung so aus:

  $ \begin{array}{rcl} 3x + (-2) \cdot (-2) &=& 1 & | -4 \\ 3x &=& -3 & | :3\\ x &=& -1 \end{array} $

  Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist also das Wertepaar:

  $(x|y) = (-1|-2)$

• Erschließe die Lösungen.

  Tipps

  Setze die Werte in die Gleichungen ein, um die Lösungen zu überprüfen.

  Addierst du in dem linearen Gleichungssystem

  $ \begin{array}{rlll} \text{I} & 2x+3y &=& 5 \\ \text{II} & -2x +2y &=& 0 \end{array} $

  die beiden Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$, so erhältst du:

  $3y + 2y =5$.

  Die Gleichung kannst du nach $y$ auflösen und das Ergebnis in $\text{I}$ oder $\text{II}$ einsetzen, um den Wert der Variablen $x$ zu bestimmen.

  Lösung

  Du kannst die linearen Gleichungssysteme mit dem Additionsverfahren lösen. Zur Probe kannst du deine Lösungen in die Gleichungen einsetzen und überprüfen. So erhältst du folgende Zuordnungen:

  Beispiel 1:

  Die beiden Gleichungen des linearen Gleichungssystems

  $ \begin{array}{rlll} \text{I} & x-y &=& 2 \\ \text{II} & x+y &=& 0 \end{array} $

  kannst du direkt addieren und erhältst $2x=2$, also $x=1$. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt $1-y=2$, also $y=-1$.

  Beispiel 2:

  Bei dem linearen Gleichungssystem

  $ \begin{array}{rlll} \text{I} & -2x-y &=& 1 \\ \text{II} & x-2y &=& 0 \end{array} $

  kannst du das Additionsverfahren nicht direkt anwenden, da keine betragsgleichen Koeffizienten vorliegen. Multiplikation der zweiten Gleichung mit $2$ und Addition zu der ersten Gleichung liefert aber $-5y=1$, also $y=-0,2$. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt dann $-2x -(-0,2) = 1$, sodass $x=-0,4$.

  Beispiel 3:

  Auf das lineare Gleichungssystem

  $ \begin{array}{rlll} \text{I} & 2x-y &=& -1 \\ \text{II} & x+y &=& 1 \end{array} $

  kannst du das Additionsverfahren wieder direkt anwenden und erhältst durch Addition der beiden Gleichungen $3x=0$, also $x=0$. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt $-y=-1$ und daher $y=1$.

  Beispiel 4:

  Das lineare Gleichungssystem

  $ \begin{array}{rlll} \text{I} & x-y &=& 1 \\ \text{II} & -x+y &=& 0 \end{array} $

  ist unlösbar, denn die Addition der beiden Gleichungen ergibt: $x+(-x) -y +y = 1+0$. Die linke Seite dieser Gleichung ergibt $0$, die rechte Seite $1$. Da $0 \neq 1$ gilt, ist das lineare Gleichungssystem nicht lösbar.

• Belege, dass das Wertepaar das lineare Gleichungssystem löst.

  Tipps

  Setze an jeder Stelle, an der in dem Gleichungssystem die Variable $y$ vorkommt, den Wert $-0,8$ ein.

  Beachte die Regel:

  Minus mal Minus ergibt Plus

  Das Wertepaar $(x|y) =(-1|1)$ löst das lineare Gleichungssystem:

  $ \begin{array}{rrcll} \text{I} & x+y &=& 0 \\ \text{II} & -x+y &=& 2 \end{array} $

  Denn Einsetzen ergibt:

  $ \begin{array}{rrcll} \text{I} & (-1)+1 &=& 0 \\ \text{II} & -(-1)+1 &=& 2 \end{array} $

  Lösung

  Mit der Probe zeigst du, dass ein gegebenes Wertepaar wirklich das vorgegebene lineare Gleichungssystem löst. Dazu setzt du die beiden Werte in beiden Gleichungen an jeder Stelle der jeweiligen Variablen ein. Ergeben sich durch Ausrechnen richtige Gleichungen, so ist das gegebene Wertepaar eine Lösung des linearen Gleichungssystems.

  Hier erhältst du folgende konkrete Rechnung für das lineare Gleichungssystem:

  $ \begin{array}{rrcll} \text{I} & 2 x - 5 y &=& 14 \\ \text{II} & 3 x + 5 y &=& 11 \end{array} $

  Gegeben ist als Lösung das Wertepaar $(x|y) = (5|-0,8)$. Einsetzen in die beiden Gleichungen ergibt:

  $ \begin{array}{rcl} 2 \cdot 5 - 5 \cdot (-0,8) &=& 14 \\ 10 - (-4) &=& 14 \\ & \\ 3 \cdot 5 + 5 \cdot (-4) &=& 11 \\ 15 - 4 &=& 11 \end{array} $

  Die beiden jeweils unteren Gleichungen sind offensichtlich erfüllt, daher ist $(x|y) = (5|-0,8)$ wirklich eine Lösung des linearen Gleichungssystems.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Haben die Gleichungen eines linearen Gleichungssystems die rechte Seite $0$, so ist jedes Vielfache einer Lösung wieder eine Lösung.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Das lineare Gleichungssystem

  $\begin{array}{rrcll} \text{I}: & 2x-4y &=&2 \\ \text{II}: & -x+2y &=& -1 \end{array}$

  hat zwei Lösungen.“ Tatsächlich hat es unendlich viele Lösungen. Denn Addition des Zweifachen der zweiten Gleichung zur ersten Gleichung ergibt $0x+0y=0$.

  • „Hat ein lineares Gleichungssystem mehr als eine Lösung, so hat es unendlich viele Lösungen.“ Denn jedes lineare Gleichungssystem hat entweder keine oder genau eine oder unendlich viele Lösungen.

  • „Die Lösungen eines linearen Gleichungssystems, die du mit dem Additionsverfahren findest, sind dieselben wie die, die du mit dem Gleichsetzungsverfahren findest.“ Mit beiden Methoden kannst du lineare Gleichungssysteme (unter geeigneten Voraussetzungen) lösen. Die Lösungen hängen nicht von der Lösungsmethode ab.

  • „Haben die beiden Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$ eines linearen Gleichungssystems beide die rechte Seite $0$, so hat das Gleichungssystem mindestens eine Lösung.“ In diesem Fall ist nämlich $(x|y) = (0|0)$ eine Lösung. Ob es weitere Lösungen gibt, hängt von den konkreten Gleichungen ab.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Es gibt ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen, zwei Variablen und genau zwei Lösungen.“ Jedes lineare Gleichungssystem hat entweder keine oder genau eine oder unendlich viele Lösungen.

  • „Ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems nicht eindeutig, so ist auch jedes Vielfache einer Lösung wieder eine Lösung.“ Dies gilt nur, wenn die rechten Seiten beider Gleichungen $0$ sind. Zum Beispiel hat das lineare Gleichungssystem ganz oben die Lösung $(x|y) =(1|1)$, aber $2 \cdot (1|1) = (2|2)$ ist keine Lösung.

  • „Das lineare Gleichungssystem

  $\begin{array}{rrcl} \text{I}: & x-4y &=& 1 \\ \text{II}: & -2x+8y &=& -4 \\ \end{array}$

  hat genau eine Lösung.“ Addition des Zweifachen der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung ergibt die Gleichung $0 = -2$. Da aber $0 \neq -2$, hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung.