Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Überblick

Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Überblick Übung

• Beschreibe das Vorgehen beim zeichnerischen Lösen eines linearen Gleichungssystems.

  Tipps

  Um die beiden Geraden in ein Koordinatensystem zeichnen zu können, müssen beide Gleichungen in der Normalform $y=mx+b$ vorliegen.

  Wenn du beide Geraden in ein Koordinatensystem eingezeichnet hast, kannst du als Nächstes ihren Schnittpunkt ablesen. Dieser ist dann die Lösung des linearen Gleichungssystems.

  Lösung

  Um herauszufinden, wie viele der $13$ Zimmer $2$-Bett-Zimmer und wie viele $3$-Bett-Zimmer sein müssen, soll das folgende lineare Gleichungssystem graphisch gelöst werden:

  $\begin{array}{lllllll} && (1) & & 2x+3y &=& 30 \\ && (2) & & x+y &=& 13 \end{array}$

  Dabei steht die Variable $x$ für die Anzahl der $2$-Bett-Zimmer und $y$ für die Anzahl der $3$-Bett-Zimmer. Wir gehen beim graphischen Lösen dieses linearen Gleichungssystems so vor:

  Zunächst bringen wir beide Gleichungen in die Normalform $y=mx+b$. Wir erhalten dann dieses lineare Gleichungssystem:

  $\begin{array}{lllllll} && (1) & & y &=& -\frac 23x+10 \\ && (2) & & y &=& -x+13 \end{array}$

  Die Graphen dieser beiden Gleichungen zeichnen wir jetzt in ein Koordinatensystem ein. Dabei gehen wir so vor:

  • Wir bestimmen für beide Gleichungen je zwei Punkte. Durch diese Punkte verlaufen dann die jeweiligen Geraden.
  • Dann können wir den Schnittpunkt dieser Geraden bestimmen, indem wir diesen einfach nur ablesen. Dabei stellt die $x$-Achse die Anzahl der $2$-Bett-Zimmer und die $y$-Achse die Anzahl der $3$-Bett-Zimmer dar.
  • Wir wissen nun, dass die beiden gegebenen Gleichungen in dem Punkt $(9\vert 4)$ übereinstimmen. Dieser Punkt ist die Lösung des gegebenen linearen Gleichungssystems.

• Stelle das gesuchte lineare Gleichungssystem auf und löse es graphisch.

  Tipps

  Ein Gleichungssystem aus zwei identischen Geraden hat unendlich viele Lösungen.

  Ein Gleichungssystem aus zwei parallelen Geraden hat keine Lösungen.

  Die Gleichungen setzen sich wie folgt zusammen:

  $2~\cdot$ Anzahl der $2$-Bett-Zimmer $+~3~\cdot$ Anzahl der $3$-Bett-Zimmer $=$ Gesamtzahl Personen

  Die Gleichung $(1)$ stellst du für die Mädchen und die Gleichung $(2)$ für die Jungen auf.

  Bringe die beiden linearen Gleichungen zunächst in die Normalform $y=mx+b$ und zeichne sie anschließend in ein Koordinatensystem ein.

  Lösung

  Zum Aufstellen des gesuchten linearen Gleichungssystems nutzen wir folgende Angaben:

  • $9$ $2$-Bett-Zimmer
  • $4$ $3$-Bett-Zimmer
  • $18$ Mädchen
  • $12$ Jungen

  Für das lineare Gleichungssystem verwenden wir die folgenden Variablen:

  • $x$: Anzahl der $2$-Bett-Mädchen-Zimmer
  • $y$: Anzahl der $3$-Bett-Mädchen-Zimmer

  Demnach entspricht die Anzahl der $2$-Bett-Jungen-Zimmer dem Term $(9-x)$ und die Anzahl der $3$-Bett-Jungen-Zimmer dem Term $(4-y)$. Damit erhalten wir das Gleichungssystem:

  $\begin{array}{lllll} (1) & & 2x+3y &=& 18 \\ (2) & & 2(9-x)+3(4-y) &=& 12 \end{array}$

  Die beiden Gleichungen bringen wir nun in die Normalform $y=mx+b$:

  $\begin{array}{lllll} (1) & & y &=& -\frac 23+6 \\ (2) & & y &=& -\frac 23+6 \end{array}$

  Auf diese Weise erhalten wir zwei identische lineare Gleichungen und somit zwei Geraden, die genau übereinanderliegen. Übereinanderliegende Geraden schneiden sich in jedem ihrer Punkte. Somit hat dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

  Es sind allerdings bloß neun $2$-Bett-Zimmer und vier $3$-Bett-Zimmer gegeben. Außerdem ist hier eine Anzahl gesucht, sodass ausschließlich natürliche Zahlen infrage kommen. Daher treffen nur folgende Punkte als Lösung zu:

  • $(3\vert 4)$
  • $(6\vert 2)$
  • $(9\vert 0)$

• Bestimme die graphische Lösung der gegebenen linearen Gleichungssysteme.

  Tipps

  Die Normalform einer linearen Gleichung lautet $y=mx+b$.

  Dabei ist $m$ die Geradensteigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Ist die Steigung $m$ zweier Funktionsgleichungen gleich und der $y$-Achsenabschnitt $b$ verschieden, so sind die zugehörigen Geraden parallel.

  Schaue dir die hier abgebildete Gerade an. Diese schneidet bei $y=1$ die $y$-Achse. Demnach ist der $y$-Achsenabschnitt $b=1$.

  Die Steigung bestimmst du mithilfe eines Steigungsdreiecks. Du startest hier im Punkt $(0\vert 1)$ und gehst entlang der $y$-Achse eine Einheit nach unten. Anschließend gehst du drei Einheiten entlang der $x$-Achse nach rechts. Es folgt dann $m=\frac {\Delta y}{\Delta x}=-\frac 13$.

  Peter wählt als $x$-Wert $1$ und setzt diesen in die Gleichung $y=x+1$ ein:

  $y=x+1$
  $y=1+1$
  $y=2$

  Somit schneidet die Gerade der Funktion $y=x+1$ den Punkt $(1\vert2)$.

  Lösung

  Um den graphischen Lösungen die zugehörigen linearen Gleichungen zuordnen zu können, betrachten wir zunächst die Normalform einer linearen Gleichung. Diese lautet:

  $y=mx+b$

  Dabei ist $m$ die Geradensteigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Die Steigung einer Geraden bestimmst du mithilfe eines Steigungsdreiecks. Dabei teilst du die Anzahl der Einheiten entlang der $y$-Achse durch die Anzahl der Einheiten entlang der $x$-Achse. Ist die Gerade fallend, so ist die Steigung $m$ negativ. Für eine positive Steigung $m$ liegt eine steigende Gerade vor.
  Den $y$-Achsenabschnitt $b$ kannst du einfach ablesen. Dieser ist nämlich der $y$-Wert, in dem die Gerade die $y$-Achse schneidet.

  Graphische Lösung 1

  Hier abgebildet ist die erste graphische Lösung. Wir sehen zwei Geraden mit den $y$-Achsenabschnitten $2$ und $1$. Es ist also:

  $\begin{array}{lll} (1) && y=m_1x+2 \\ (2) && y=m_2x-1 \end{array}$

  Für die Steigung der ersten Geraden zählen wir ausgehend von $(0\vert 2)$ eine Einheit entlang der $y$-Achse nach unten und eine Einheit entlang der $x$-Achse nach rechts. Es ist also $m_1=-1$. Für die Steigung der zweiten Geraden zählen wir ausgehend von $(0\vert 1)$ zwei Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben und eine Einheit entlang der $x$-Achse nach rechts. Es ist somit $m_2=2$ und das gesuchte lineare Gleichungssystem lautet:

  $\begin{array}{lll} (1) && y=-x+2 \\ (2) && y=2x-1 \end{array}$

  Graphische Lösung 2

  Ebenso gehst du bei diesen Geraden vor und erhältst folgendes Gleichungssystem:

  $\begin{array}{lll} (1) && y=-\frac 12x \\ (2) && y=\frac 12x-1 \end{array}$

  Graphische Lösung 3

  Diese Graphen werden folgendem linearen Gleichungssystem zugeordnet:

  $\begin{array}{lll} (1) && y=x-1 \\ (2) && y=x+1 \end{array}$

• Ermittle mittels der graphischen Methode die Lösungsmengen der linearen Gleichungssysteme.

  Tipps

  Bringe die Gleichungen eines linearen Gleichungssystems zunächst in die Normalform $y=mx+b$. Zeichne diese anschließend in ein Koordinatensystem.

  Zum Zeichnen einer Geraden genügen zwei Punkte, durch welche diese Gerade verläuft.

  Du kannst mit einer linearen Gleichung der Form $y=mx+b$ für beliebige $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte berechnen, indem du die Größe $x$ in der Gleichung durch die entsprechende Zahl ersetzt und $y$ ausrechnest. Beachte dabei Punkt- vor Strichrechnung.

  Sind zwei Geraden parallel zueinander, hat das zugehörige lineare Gleichungssystem keine Lösung. Zwei parallele Geraden haben dieselbe Steigung $m$ in der Geradengleichung $y=mx+b$.

  Lösung

  Im Folgenden möchten wir die gegebenen linearen Gleichungssysteme graphisch lösen. Hierfür bringen wir die Gleichungen der linearen Gleichungssysteme zunächst in die Normalform $y=mx+b$.

  Anschließend zeichnen wir diese in ein Koordinatensystem und lesen die Lösung ab. Dabei können drei Fälle vorliegen:

  1. Fall: Geraden schneiden sich $\rightarrow$ lineares Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung
  2. Fall: Geraden sind parallel zueinander $\rightarrow$ lineares Gleichungssystem besitzt keine Lösung
  3. Fall: Geraden sind identisch $\rightarrow$ lineares Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen

  Für unsere Beispiele erhalten wir folgende Lösungen:

  Beispiel 1

  $\begin{array}{llllr} (1) && 4x+2y &=& 12 \\ (2) && 2x-4y &=& -4 \end{array}$

  In der Normalform lauten die Gleichungen:

  $\begin{array}{llllr} (1) && y &=& -2x+6 \\ (2) && y &=& 0,5x+1 \end{array}$

  Wir zeichnen diese Geraden in ein Koordinatensystem und lesen den Schnittpunkt ab. Wir erhalten dann die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(2\vert 2)\}$.

  Beispiel 2

  $\begin{array}{llllr} (1) && 2x+y &=& 5 \\ (2) && 2x-2y &=& 2 \end{array}$

  In der Normalform lauten die Gleichungen:

  $\begin{array}{llllr} (1) && y &=& -2x+5 \\ (2) && y &=& x-1 \end{array}$

  Wir zeichnen diese Geraden in ein Koordinatensystem und lesen den Schnittpunkt ab. Wir erhalten dann die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(2\vert 1)\}$.

  Beispiel 3

  $\begin{array}{llllr} (1) && x+0,5y &=& -1 \\ (2) && x-y &=& -1 \end{array}$

  In der Normalform lauten die Gleichungen:

  $\begin{array}{llllr} (1) && y &=& -2x-2 \\ (2) && y &=& x+1 \end{array}$

  Wir zeichnen diese Geraden in ein Koordinatensystem und lesen den Schnittpunkt ab. Wir erhalten dann die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(-1\vert 0)\}$.

  Beispiel 4

  $\begin{array}{llllr} (1) && -x+y &=& 3 \\ (2) && -x+y &=& 1 \end{array}$

  In der Normalform lauten die Gleichungen:

  $\begin{array}{llllr} (1) && y &=& x+3 \\ (2) && y &=& -x+1 \end{array}$

  Wir zeichnen diese Geraden in ein Koordinatensystem und lesen den Schnittpunkt ab. Wir erhalten dann die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(-1\vert 2)\}$.

• Bestimme die Anzahl der Lösungen der gegebenen linearen Gleichungssysteme.

  Tipps

  Wenn zwei Geraden eines linearen Gleichungssystems übereinanderliegen, so besitzt dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

  Das lineare Gleichungssystem zu den hier abgebildeten Geraden besitzt genau eine Lösung. Diese entspricht dem Schnittpunkt der beiden Geraden.

  Lösung

  Bei der graphischen Lösung eines linearen Gleichungssystems unterscheiden wir diese drei Fälle:

  1. Fall: Geraden schneiden sich $\rightarrow$ lineares Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung
  2. Fall: Geraden sind parallel zueinander $\rightarrow$ lineares Gleichungssystem besitzt keine Lösung
  3. Fall: Geraden sind identisch $\rightarrow$ lineares Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen

  Demnach erhalten wir nachfolgende Lösungen für die gegebenen Graphen:

  Beispiel 1

  Die zwei Geraden schneiden sich in dem Punkt $(-1\vert 0)$. Dieser Schnittpunkt ist die Lösung des zugehörigen linearen Gleichungssystems. Es hat daher genau eine Lösung.

  Beispiel 2

  Die zwei Geraden sind parallel zueinander. Da diese beiden Geraden in keinem einzigen Punkt übereinstimmen werden, hat das zugehörige lineare Gleichungssystem keine Lösung.

  Beispiel 3

  Die zwei Geraden schneiden sich in dem Punkt $(1\vert2)$. Dieser Schnittpunkt ist die Lösung des zugehörigen linearen Gleichungssystems. Es hat deshalb genau eine Lösung.

  Beispiel 4

  Die zwei Geraden liegen exakt übereinander. Übereinanderliegende Geraden schneiden sich in jedem Punkt. Darum hat das zugehörige lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

• Prüfe die Aussagen zu linearen Gleichungssystemen auf ihre Richtigkeit.

  Tipps

  Die Normalform einer linearen Gleichung lautet $y=mx+b$. In dieser Gleichung ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Stimmen Steigung und $y$-Achsenabschnitt zweier Geraden überein, so liegen diese beiden Geraden übereinander.

  Geraden mit unterschiedlichen Steigungen schneiden sich in genau einem Punkt.

  Lösung

  Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem:

  $\begin{array}{llllr} (1) && y &=& m_1x+b_1 \\ (2) && y &=& m_2x+b_2 \end{array}$

  Die beiden linearen Gleichungen sind je in der Normalform gegeben. Die Normalform einer linearen Gleichung lautet $y=mx+b$. In dieser Gleichung ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Für dieses Gleichungssystem schauen wir uns jetzt einige Spezialfälle an:

  Gleiche Steigungen und $y$-Achsenabschnitte

  Wenn $m_1=m_2$ und $b_1=b_2$ gilt, besitzt das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Es handelt sich dann nämlich um zwei identische Geraden.

  Gleiche Steigungen und unterschiedliche $y$-Achsenabschnitte

  Wenn $m_1=m_2$ und $b_1\neq b_2$ gilt, besitzt das lineare Gleichungssystem keine Lösungen. Es handelt sich dann nämlich um zwei parallele Geraden.

  Unterschiedliche Steigungen

  Wenn $m_1\neq m_2$ gilt, besitzt das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung. Es handelt sich dann nämlich um zwei Geraden, welche unterschiedliche Steigungen besitzen und sich somit in genau einem Punkt schneiden.

  Unterschiedliche Steigungen und gleiche $y$-Achsenabschnitte

  Wenn $m_1\neq m_2$ und $b_1=b_2$ gilt, besitzt das lineare Gleichungssystem die Lösung $(0\vert b_1)$. Es handelt sich dann nämlich um zwei Geraden, welche unterschiedliche Steigungen besitzen und die $y$-Achse je im gleichen Punkt schneiden. Daher schneiden sich die beiden Geraden genau in ihren $y$-Achsenschnittpunkten.