Gleichungssysteme graphisch lösen – Durchführung

Gleichungssysteme graphisch lösen – Durchführung Übung

• Gib die Normalform der gegebenen Geradengleichungen an.

  Tipps

  Die Normalform einer Geradengleichung ist nichts anderes als die nach $y$ aufgelöste Geradengleichung.

  Die Normalform sieht immer folgendermaßen aus:

  $y = m\cdot x + b$

  Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  So sieht es aus, wenn wir eine andere Geradengleichung in die Normalform bringen:

  $\begin{array}{rllll} 3y-2 &=& 3x && \vert +2 \\ 3y &=& 3x+2 & &\vert :3 \\ y &=& x+\frac{2}{3} && \end{array}$

  Lösung

  Die Normalform einer Geradengleichung lautet:

  $y = m\cdot x + b$

  Die Gleichung $2y-4=x$ können wir in zwei Schritten nach $y$ auflösen.

  Als Erstes wollen wir alle Summanden auf der linken Seite der Gleichung, in denen $y$ nicht vorkommt, auf die rechte Seite bringen. In diesem Fall steht auf der linken Seite $2y-4$, also addieren wir zu beiden Seiten $4$ hinzu. Wir erhalten aus der ursprünglichen Gleichung:

  $\begin{array}{llll} 2y-4 &=& x &\vert +4 \\ 2y &=& x+4 &\\ \end{array}$

  Im zweiten Schritt suchen wir denjenigen Faktor, durch den wir beide Seiten der Gleichung teilen, sodass auf der linken Seite nur noch $y$ steht. Bei dieser Gleichung teilen wir also durch $2$ und erhalten folgende Lösung:

  $\begin{array}{llll} 2y &=& x+4 & \vert :2 \\ y &=& \frac{1}{2}x+2 & \\ \end{array}$

• Bestimme zeichnerisch, welchen Weg der Wolf nehmen muss, damit er Rotkäppchens Weg schneidet.

  Tipps

  Um die Steigungen der Geraden zu vergleichen, solltest du zunächst alle Brüche in den Geradengleichungen kürzen. Beispielsweise gilt:

  $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

  Achte darauf, dass verschiedene Schreibweisen die gleiche Bedeutung haben können, zum Beispiel:

  $\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x$

  Geraden mit unterschiedlichen Steigungen schneiden sich immer in einem Punkt. Geraden mit gleicher Steigung können hingegen nur entweder parallel oder identisch sein.

  Lösung

  Sehen wir uns die möglichen Wege des Wolfs der Reihe nach an. Wir vergleichen diese mit der Geradengleichung, welche Rotkäppchens Weg beschreibt. Diese lautet:

  $y = \frac{1}{2}x+2$

  Vergewissere dich als Erstes, dass hier alle Geraden in der Normalform stehen!

  Rotkäppchens Weg: $y = \frac{1}{2}x+2$

  Wir betrachten erst einmal Rotkäppchens Weg. Dazu zeichnen wir den Punkt $(0\vert 2)$ ein, der durch den $y$-Achsenabschnitt gegeben ist. Da eine Steigung von $\frac 12$ gegeben ist, gehen wir von hier aus zwei Einheiten nach rechts und eine Einheit nach oben. Wir erhalten so den Punkt $(2\vert 3)$ und können durch die beiden Punkte unsere Gerade ziehen. Damit vergleichen wir jetzt die verschiedenen möglichen Wege des Wolfs.

  Erster Weg: $y = 2x-10$

  Diese Gerade hat die Steigung $2$ und den $y$-Achsenabschnitt $-10$. Damit unser Koordinatensystem nicht ins Negative reichen muss, zeichnen wir nicht den $y$-Achsenabschnitt ein, sondern behelfen uns dadurch, dass wir $x=5$ einsetzen:

  $y = 2\cdot5-10 = 0$

  Also können wir den Punkt $(5\vert 0)$ einzeichnen.

  Um die Steigung $2$ zu erhalten, gehen wir von diesem Punkt aus eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Wir können demnach noch den Punkt $(6\vert 2)$ einzeichnen und dann durch diese beiden Punkte eine Gerade ziehen.

  Wenn wir gut gezeichnet haben, dann treffen sich die beiden Geraden im Punkt $(8\vert 6)$. Wir können das überprüfen, indem wir den $x$-Wert in die beiden Geradengleichungen einsetzen. In beiden Fällen erhalten wir den Funktionswert $6$.

  Zweiter Weg: $y=\frac{x}{2}+3$

  Wenn wir uns die Steigungen der beiden Geraden ansehen, dann merken wir:

  $\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x$

  Die Steigungen sind gleich, also können die Geraden nur entweder parallel oder identisch sein! Um herauszufinden, was von beiden sie sind, sehen wir uns den $y$-Achsenabschnitt an: Hier haben wir $2$ beim Rotkäppchen und $3$ beim Wolf. Der Weg des Wolfs liegt daher bei jedem $x$-Wert um eine $y$-Einheit über dem des Rotkäppchens. Demnach schneiden sich die Wege nie!

  Dritter Weg: $y = \frac{2x}{4}+\frac{4}{2}$

  Zuerst kürzen wir die Brüche in der Gleichung und erhalten:

  $y = \frac{x}{2}+2$

  Doch das ist genau die Gleichung, die wir schon beim Rotkäppchen gesehen haben. Es ist nämlich $\frac{x}{2} = \frac{1}{2}x$. Ohne viel Zeichnen wissen wir also: Die beiden Geraden sind identisch.

  Vierter Weg: $y = \frac{1}{4}x+3$

  Hier sehen wir, dass sich sowohl die Steigungen als auch die $y$-Achsenabschnitte unterscheiden. Demnach zeichnen wir wieder als Erstes den $y$-Achsenabschnitt $(0\vert 3)$ ein. Da die Steigung $\frac{1}{4}$ ist, gehen wir um vier Einheiten nach rechts und um eine Einheit nach oben. Damit erhalten wir den Punkt $(4\vert 4)$ und können unsere Geraden durch die beiden Punkte einzeichnen. Aber wenn wir gut gezeichnet haben, bemerken wir schon vorher, dass der Punkt $(4\vert 4)$ auch auf dem Weg des Rotkäppchens liegt. Damit haben wir den Schnittpunkt also schon gefunden!

• Bestimme die Geradengleichungen der dargestellten Geraden in Normalform.

  Tipps

  Suche dir zwei Punkte auf der Geraden, deren Lage du möglichst genau am Gitter ablesen kannst. Gehe vom linken der beiden Punkte so weit nach rechts, bis du dich genau unter oder über dem rechten Punkt befindest. Gehe dann nach oben oder unten bis zu diesem Punkt.

  Zeichne den im ersten Tipp beschriebenen Weg auf. Aus dem entstandenen Steigungsdreieck kannst du die Steigung ablesen.

  Hast du das Steigungsdreieck gezeichnet, kannst du die Steigung folgendermaßen berechnen:

  $m = \dfrac{\text{Anzahl der Kästchen nach }\mathbf{oben}}{\text{Anzahl der Kästchen nach }\mathbf{rechts}}>0$

  oder:

  $m = \dfrac{\text{Anzahl der Kästchen nach }\mathbf{unten}}{\text{Anzahl der Kästchen nach }\mathbf{rechts}}<0$

  Wenn du beim Zeichnen nach oben gehen musstest, dann ist $m$ positiv, musstest du nach unten, ist $m$ negativ.

  Bist du dir nicht sicher, welches Vorzeichen die Steigung deiner Geraden hat? Dann stelle dir vor, du läufst von links nach rechts auf der Geraden: Wenn du bergab gehst, dann ist die Steigung negativ. Gehst du bergauf, ist sie positiv.

  Der $y$-Achsenabschnitt entspricht in allen Graphen dem $y$-Wert des Schnittpunktes der Geraden mit der $y$-Achse. Eine Gerade, die die $y$-Achse im Punkt $(0\vert 5)$ schneidet, hat den $y$-Achsenabschnitt $5$.

  Lösung

  Grüne Gerade

  Diese Gerade verläuft als einzige durch den Ursprung $(0\vert 0)$. Der $y$-Achsenabschnitt muss also gleich null sein. Das ist nur bei der Gleichung $y = \frac{2x}{3}$ der Fall.

  Ist der $y$-Achsenabschnitt einer Geraden gleich $0$, wird er in der Geradengleichung weggelassen.

  Orange Gerade

  Diese Gerade ist die einzige, auf der man bergab geht, wenn man von links nach rechts auf ihr entlangläuft. Sie muss also eine negative Steigung haben. Infrage kommt damit nur die Gleichung $y = -\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$.

  Gelbe Gerade

  Diese Gerade schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0\vert {-1})$, der $y$-Achsenabschnitt ist also $b = {-1}$. Eigentlich sind wir jetzt schon fertig, da nur eine Geradengleichung diesen $y$-Achsenabschnitt hat, aber wir überprüfen noch die Steigung: Wenn wir von $(0\vert{-1})$ eine Einheit nach rechts und eine nach oben gehen, landen wir wieder auf der Geraden. Die Steigung ist also $m = 1$. Damit lautet die richtige Geradengleichung $y = x-1$.

  Blaue Gerade

  Diese Gerade schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0\vert{-2})$, also wissen wir, dass $b = {-2}$ ist. Wenn wir von diesem Punkt aus zwei Einheiten nach rechts und fünf nach oben gehen, landen wir wieder auf der Geraden. Daraus folgt $m=\frac{5}{2}$ und die Geradengleichung lautet $y = \frac{5}{2}x-2$.

• Bestimme zeichnerisch die Schnittpunkte der gegebenen Geraden.

  Tipps

  Die Normalform erhältst du, indem du die Geradengleichung nach $y$ umstellst.

  Beispiel:

  $\begin{array}{llll} 2y-4 &=& 3x & \vert +4 \\ 2y &=& 3x+4 & \vert :2 \\ y &=& \frac{3}{2}x+2 & \\ \end{array}$

  Hast du eine Gerade in die Normalform $y=mx+b$ gebracht, kannst du sie leicht zeichnen.

  Zeichne dafür zuerst den $y$-Achsenabschnitt gemäß dem erhaltenen Wert für $b$ ein. Von dort aus kannst du ein Steigungsdreieck gemäß dem Wert für $m$ zeichnen. Damit hast du zwei Punkte, durch die du die Gerade ziehen kannst.

  Lösung

  Zuerst bringen wir alle Gleichungen in die Normalform.

  1. Geradengleichung:

  $\begin{array}{llll} y_1-5 &=& 2x & \vert +5 \\ y_1 &=& 2x+5 & \\ \end{array}$

  2. Geradengleichung

  $y_2 = -x+2$

  Dies ist bereits die Normalform.

  3. Geradengleichung:

  $\begin{array}{llll} 2y_3+4 &=& 2x & \vert -4 \\ 2y_3 &=& 2x-4 & \vert :2 \\ y_3 &=& x-2 & \\ \end{array}$

  Jetzt, da alle Gleichungen in der Normalform vorliegen, können wir sie gut einzeichnen. Dafür zeichnen wir jeweils zuerst den $y$-Achsenabschnitt ein und von dort aus ein Steigungsdreieck.

  Für die erste Geradengleichung zeichnen wir den Punkt $(0\vert 5)$ ein (denn $b=5$) und gehen von diesem aus eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben zu $(1\vert 7)$ (denn $m=2$). Durch diese zwei Punkte ziehen wir unsere Gerade, im Bild grün dargestellt.

  Für die zweite Geradengleichung zeichnen wir den Punkt $(0\vert 2)$ ein (denn $b=2$) und gehen von diesem aus eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach unten zu $(1\vert 1)$ (denn $m=-1$). Durch diese zwei Punkte ziehen wir unsere Gerade, im Bild orange dargestellt.

  Für die dritte Geradengleichung zeichnen wir den Punkt $(0\vert -2)$ ein (denn $b=-2$) und gehen von diesem aus eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach oben zu $(1\vert -1)$ (denn $m=1$). Durch diese zwei Punkte ziehen wir erneut unsere Gerade, im Bild geld dargestellt.

  Nun sehen wir die Schnittpunkte. Die Lösungsmengen lauten:

  $\mathbb{L}$ von $y_1=y_2$: $(-1\vert 3)$

  $\mathbb{L}$ von $y_1=y_3$: $(-7\vert -9)$

  $\mathbb{L}$ von $y_2=y_3$: $(2\vert 0)$

• Gib die Bezeichnungen für die Größen $m$ und $b$ an.

  Tipps

  Ein Beispiel: Die Gerade $y = 4x+3$ ist steiler, hat also eine größere Steigung als die Gerade $y = 2x+3$.

  Noch ein Beispiel: Die Gerade $y = 2x+5$ schneidet die $y$-Achse weiter oben, hat also einen größeren $y$-Achsenabschnitt als die Gerade $y = 2x+3$.

  Lösung

  Eine Geradengleichung in der Normalform hat zwei Parameter, durch die sie eindeutig definiert ist: die Steigung $m$ und der $y$-Achsenabschnitt $b$. In der Formel ist also das $m$ mit Steigung und das $b$ mit $y$-Achsenabschnitt zu beschriften – alle anderen Begriffe sind hier Unfug.

  Eine Gerade ist durch die Angabe der Steigung und des $y$-Achsenabschnitts eindeutig festgelegt. Es können also nicht zwei Geraden die gleichen Werte für $m$ und $b$ besitzen und dann unterschiedlich aussehen, wenn wir sie einzeichnen. Umgekehrt müssen zwei Geraden, die nicht die gleichen Werte für $m$ und $b$ besitzen, in jedem Fall verschieden aussehen! Beachte hierbei: Ausschlaggebend sind die Werte von $m$ und $b$ und nicht, wie diese Werte dargestellt sind. So beschreiben folgende Gleichungen dieselbe Gerade, obwohl sie auf den ersten Blick unterschiedlich aussehen:

  $y = 3x+\dfrac{1}{2}\quad$ und $\quad y = \dfrac{6x}{2}+\dfrac{5}{10}$

  Denke dir selbst einige Geradengleichungen mit verschiedenen Werten für $m$ und $b$ aus und zeichne sie in ein Koordinatensystem ein. So bekommst du ein Gefühl dafür, wie Geraden mit bestimmten Steigungen oder $y$-Achsenabschnitten aussehen. Wann sind Geraden flacher, wann steiler? Wie sehen Geraden mit einer negativen Steigung oder einem negativen $y$-Achsenabschnitt aus?

• Untersuche, ob die Aussagen zu Geraden richtig sind.

  Tipps

  Zwei Geraden können immer nur:

  • identisch sein,
  • parallel sein oder
  • genau einen Schnittpunkt haben.

  Wenn du dir bei einer Antwort nicht sicher bist, dann zeichne selbst die entsprechenden Geraden oder stelle eine entsprechende Geradengleichung auf und überprüfe die Aussage grafisch oder rechnerisch.

  Lösung

  Richtig sind die folgenden drei Aussagen:

  • Zwei nicht identische Geraden, die beide den $y$-Achsenabschnitt $0$ haben, schneiden sich immer im Ursprung.

  Suchen wir uns zwei beliebige Geraden mit $y$-Achsenabschnitt $0$ aus: $y_1=m_1x$ und $y_2=m_2x$. Im Allgemeinen ist die Steigung der beiden Geraden verschieden, also $m_1\neq m_2$. Da im Schnittpunkt aber $m_1x=m_2x$ gilt, muss $x=0$ gelten. Der Schnittpunkt ist in diesem Fall also immer $(0\vert 0)$.

  • Wenn zwei Geraden genau einen Schnittpunkt haben, dann liegt die Gerade mit der größeren Steigung rechts vom Schnittpunkt immer über der Geraden mit der geringeren Steigung.

  Das ist richtig, weil die Geraden mit der größeren Steigung immer steiler nach oben (bzw. weniger steil nach unten) verläuft als die mit der geringeren Steigung. Haben sie sich also einmal geschnitten, liegt die Geraden mit der größeren Steigung rechts vom Schnittpunkt immer über der mit der geringeren Steigung.
  Beachte: Von zwei negativen Zahlen ist diejenige Zahl größer, die weiter rechts auf dem Zahlenstrahl liegt. Das bedeutet beispielsweise, dass die Steigung $-1$ größer ist als die Steigung $-5$.
  Wenn sich also zwei Geraden $y_1$ und $y_2$ mit den Steigungen $m_1=-\frac{1}{2}$ und $m_2=-3$ in einem Punkt schneiden, dann hat rechts dieses Punktes $y_1$ immer einen größeren Wert als $y_2$, da sie weniger steil abfällt. Vergleiche dazu auch die Graphen in der Abbildung.

  • Zwei Geraden, die nicht identisch und nicht parallel sind, können sich niemals in mehr als einem Punkt schneiden.

  Weil Geraden, wie der Name schon sagt, bis in alle Unendlichkeit immer gerade sind und keine Krümmung besitzen, können sie sich niemals „zueinander hinkrümmen“. Haben sie sich also einmal geschnitten, so laufen sie vom Schnittpunkt aus in beide Richtungen für immer auseinander.

  Die anderen Aussagen sind falsch:

  • Zwei Geraden mit gleicher Steigung sind immer identisch.

  Sie können auch zueinander parallel sein! Zueinander parallele Geraden haben ebenfalls die gleiche Steigung.

  • Zwei nicht identische Geraden haben immer einen Schnittpunkt.

  Hier gilt ebenfalls: Die Geraden können auch zueinander parallel sein! Zueinander parallele Geraden sind nicht identisch, haben aber auch keinen Schnittpunkt.

  • Zwei nicht identische Geraden mit gleichem $y$-Achsenabschnitt schneiden sich immer auf der $x$-Achse.

  Hier müsste es $y$-Achse heißen, dann wäre die Aussage richtig. Da die Geraden den gleichen $y$-Achsenabschnitt haben, können sie nicht parallel sein, denn sonst müssten sie die $y$-Achse in verschiedenen Höhen schneiden. Weil sie nicht parallel sind und definitionsgemäß außerdem nicht identisch, müssen sie genau einen Schnittpunkt haben. Und weil ihr $y$-Achsenabschnitt gleich ist, sie also beide durch den Punkt $(0\vert b)$ verlaufen, wobei $b$ der $y$-Achsenabschnitt ist, muss dieser Punkt auch der Schnittpunkt sein.